北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练三试题 Word版含解析

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- 1 - 人大附中 2021 届高三上学期数学统练三 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1. 设集合  | 2xA y y  Z ，  | ( 2) 0B x x x   R ，则 A B  （ ） A.  0,2 B.  1,2 C.  0,1 D.  0,1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ,A B 然后根据集合运算即可得出答案. 【详解】解：由 2 ,xy x R  得 0y  ， 所以  | 2 {1,2,3, }xA y y    Z ， 由 ( 2) 0x x   得 0 2x  ， 所以  | 0 2B x x   ， 所以  1,2A B  ， 故选：B. 【点睛】集合基本运算的方法技巧: （1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解，对于端点处的取舍，可以单独检验. 2. 已知各项均为正数的等比数列{ na }， 1 2 3a a a =5， 7 8 9a a a =10，则 4 5 6a a a = A. 5 2 B. 7 C. 6 D. 4 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 成等比数列，所以 a4a5a6＝ - 2 - 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思 想． 3. 已知 (sin ) cos3 , (0, )2f x x x   ，则 (cos )18f  的值为（ ） A. 1 2  B. 1 2 C. 3 2  D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意将 (cos )18f  化为 4sin 9f      即可求解. 【详解】 (sin ) cos3 , (0, )2f x x x   4 4 4 1cos sin sin cos 3 cos18 2 18 9 9 3 2f f f                                      . 故选：A. 4. 如图，向量b a  等于（ ） A. 1 22 4e e   B. 1 24 2e e   C. 1 23e e  D. 1 23e e   【答案】C - 3 - 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算可得结果. 【详解】如图： 设 AC a  ， BC b  ，则b a BC AC BC CA BA           1 23e e   ， 故选：C 5. 已知实数 ,x y 满足 (0 1)x ya a a   ，则下列关系式恒成立的是（ ） A. 2 2 1 1 1 1x y   B. tan tanx y C. 2 2( )ln 1 l 1)n(x y   D. 3 3x y 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 (0 1)x ya a a   ，利用指数函数的单调性得到 x y ，然后再逐项判断. 【详解】因为 (0 1)x ya a a   ， 所以由指数函数的单调性得： x y A. 当 2, 1x y  时， 2 2 1 1 1 1x y   ，故错误； B. 当 5 ,4 4x y   时， tan tanx y ，故错误； C. 当 x 1, y 2   时， 2 2( )ln 1 l 1)n(x y   ，故错误； - 4 - D. 因为幂函数 3y x 在 R 上是增函数，所以 3 3x y ，故正确； 故选：D 6. 函数 2 2 2 xy log x   的图像 A. 关于原点对称 B. 关于主线 y x  对称 C. 关于 y 轴对称 D. 关于直线 y x 对称 【答案】A 【解析】 因为函数的定义域为(-2,2),又因为 2 2 2 2( ) log log ( )2 2 x xf x f xx x         所以函数 f(x)为奇函数，所以关于原点对称. 7. 已知函数 ( ) sin( )f x A x   ( , 0, 0, )2x R A      的图象（部分）如图所示，则 ( )f x 的解析式是（ ） A. ( ) 5sin( )3 3f x x   B. ( ) 5sin( )6 6f x x   C. ( ) 5sin( )3 6f x x   D. ( ) 5sin( )6 6f x x   【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数图象得到 5A  ， 12T  ，根据周期即可求得 ，然后再根据函数图象过点 2,5 ， 代入即可求解. 【详解】解：由图像可知 5A  ，  4 5 2 12T     ， - 5 - 2 2 12 6T       ， 即   5sin 6f x x      ， 又  2 5f  ， 即   5sin 2 5sin 56 3f x                  ， 即  23 2 k k z      ， 解得：  26 k k z    ， 又 2   ， 6   ， 即 ( ) 5sin( )6 6f x x   . 故选：D. 8. 函数 32 2 2x x xy   在 6,6 的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 - 6 - 由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 (4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设 32( ) 2 2x x xy f x    ，则 3 32( ) 2( ) ( )2 2 2 2x x x x x xf x f x         ，所以 ( )f x 是 奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 C．又 3 4 4 2 4(4) 0,2 2f    排除选项 D； 3 6 6 2 6(6) 72 2f    ，排除选项 A，故选 B． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本 题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 9. 若曲线   cosf x a x 与曲线   2 1g x x bx   在交点 0,m 处有公切线，则 a b （ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 分析：由曲线 ( ) cosf x a x 与曲线 2( ) 1g x x bx   在交点 (0, )m 出有公切线，根据斜率相 等，求解 0b  ，根据点 (0, )m 在曲线  g x 上，求得 1m  ，进而求得 a 的值，即可求解． 详解：由曲线 ( ) cosf x a x ，得 ( ) sinf x a x  ，则 (0) sin 0 0f a    ， 由曲线 2( ) 1g x x bx   ，得 ( ) 2g x x b  ，则 (0)g b  ， 因为曲线 ( ) cosf x a x 与曲线 2( ) 1g x x bx   在交点 (0, )m 出有公切线， 所以 (0) (0)f g  ，解得 0b  ， 又由 (0) 1g  ，即交点为 (0,1) ， 将(0,1) 代入曲线 ( ) cosf x a x ，得 cos0 1a a  ，所以 1a b  ，故选 D． 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点 (0, )m 处的公切线，建立 方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 10. 已知 a，b 是不相等的两个正数，在 a，b 之间插入两组实数：x1，x2，…，xn 和 y1，y2，…， yn，（n∈N*，且 n≥2），使得 a，x1，x2，…，xn，b 成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b 成等比 - 7 - 数列，给出下列四个式子：①   1 2 2n n a bx x x     ； ②   2 1 2 1 ( )2n a bx x x abn      ；③ 1 2 n ny y y ab ；④ 1 2 2 n n a by y y  . 其中一定成立的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质，求得 1 2 nx x x   ，结合差比较法，判断①②的真假性.根据等比数 列的性质求得 1 2 ny y y ，结合基本不等式，判断③④的真假性. 【 详 解 】 依 题 意 1 2, , , , ,na x x x b 成 等 差 数 列 ， 令 1 2n nS a x x x b      ， 则 1 2 1n n nS b x x x x a       ， 两 式 相 加 ， 利 用 等 差 数 列 的 性 质 化 简 得   2 2n n a bS   ， 所 以       1 2 2 2n n n a bx x x S a b a b             2 n a b  . 所 以 ① 正 确 . 所 以  1 2 1 2n a bx x xn     ，而 2( ) 42 2a ba bb a a b  ，由于 ,a b 是不相等的 正 数 ， 所 以  2 2 04 42 a ba aa b bb     ， 所 以   2 1 2 1 ( )2n a bx x x abn      成立，所以②正确. 依题意 1 2, , , , ,na y y y b 成等比数列，设其公比为 q，则 1 2 n ny y y 2 nn aq aq aq     1 2 n n n na q    .当 q为负数时，则 n 必为奇数，此时  1 2 0 n n n na q   ，所以③不正确. 由③的分析可知，当 q为负数时，则 n 必为奇数，且  1 2 0 n n n na q   ，所以 - 8 - 1 2 2 n n a by y y  ；当 q为正数时，   1 2 1 2 12 n n n n n n a q aq qa        1na a q    ab ，由于 ,a b 是不相等的正数，所以 由基本不等式可知 2 a bab  .所以④正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查基本不等式，考查化归与转化的 数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 已知幂函数  y f x 的图象过点 2, 2 ，则  9f  ______． 【答案】3 【解析】 【分析】 先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数  y f x 的解析式，再求  9f 的值. 【详解】设   ay f x x  ，由于图象过点  2, 2 , 得 12 2 , 2 a a  ，   1 2y f x x   ，   1 29 9 3f   ，故答案为 3. 【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握 与应用，属于基础题. 12. 在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且sin sin cosA B C  ，则 B  _______；若 6A  ，则 a c  ______. 【答案】 (1). 2  (2). 3 3 【解析】 【分析】 先 用 两 角 和 的 正 弦 展 开  sin sin sin cos cos sinA B C B C B C    ， 根 据 - 9 - sin sin cosA B C  ，得到 cos sin 0B C  求解. 根据 6A  ，求得 3C A B     ，再 利用正弦定理求解. 【详解】在 ABC 中， A B C    ， 所以  sin sin sin cos cos sinA B C B C B C    ， 因为 sin sin cosA B C  所以 cos sin 0B C  ， 解得 2B  ， 若 6A  ， 3C A B     ， 由正弦定理得： sin 3 sin 3  a A c C . 故答案为：(1). 2  (2). 3 3 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，两角和的正弦以及正弦定理，还考查了运算求解 的能力，属于中档题. 13. 在平面直角坐标系中，已知点  1 0A  ， 、  2 0B ， ， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且 2EF  ，则的 AE BF  最小值为____． 【答案】-3 【解析】 【分析】 据题意可设 E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即 a=b+2，或 b=a+2，并可求得 2AE BF ab     ，将 a=b+2 带入上式即可求出 AE BF  的最小值，同理将 b=a+2 带入，也 可求出 AE BF  的最小值． 【详解】根据题意，设 E（0，a），F（0，b）； ∴ 2EF a b   ； ∴a=b+2，或 b=a+2； 且    1 2AE a BF b   ， ， ， ； - 10 - ∴ 2AE BF ab     ； 当 a=b+2 时，   22 2 2 2AE BF b b b b          ； ∵b2+2b﹣2 的最小值为 8 4 34     ； ∴ AE BF  的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2 时， AE BF  的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的 数量积运算，二次函数求最值的公式． 14. 已知二次函数 f（x）=x2-mx+6（m∈R），若 f（x）在区间（1，3）内恰有一个零点，则实 数 m 的取值范围是_____. 【答案】{2 6 }  [5，7） 【解析】 【分析】 由 2 6 0x mx   分离常数 m ，根据 x 的取值范围，求得 m 的取值范围. 【 详 解 】 令   2 6 0f x x mx    ， 当 1 3x  时 ， 有 6m x x   . 令   6g x x x   ，     2 ' 2 2 2 6 66 61 x xxg x x x x      ，所以  g x 在 1, 6 上递减，在 6,3 上递 增，在 6x  时有最小值为  6 2 6g  .  1 7g  ，  3 5g  . 因为  f x 在区间 1,3 内恰有一个零点，所以5 7m  或 2 6m  故答案为：   2 6 5,7 【点睛】本小题主要考查根据零点的分布求参数的取值范围，属于基础题. 15. 若数列 na 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得 ma n＜ 成立，记这样的 m 的个数为 ( )na  ，则得到一个新数列 ( )na  ．例如，若数列 na 是1,2,3 ,n…， …，则数列  ( )na  是 0,1,2, 1,n …， …．已知对任意的 Nn  ， 2 na n ，则 5( )a   ， (( ) )na    ． 【答案】2， 2n - 11 - 【解析】 【分析】 对任意的 n ∈ N*，an＝n2，可得 * 1a ＝0， * 2a ＝1＝ * 3a ＝ * 4a ， * 5 2a  ＝…＝ * 9a ，…， 可得   ** 1a ＝1，   ** 2a ＝4，   ** 3a ＝9，…，猜想出： (( ) )na    n2． 【详解】对任意的 n ∈ N*，an＝n2，则 * 1a ＝0， * 2a ＝1＝ * 3a ＝ * 4a ，  * 5 2a  ＝…＝ * 9a ， * 10a ＝3＝…＝  * 16a ，…， ∴   ** 1a ＝1，   ** 2a ＝4，   ** 3a ＝9，…，猜想： (( ) )na    n2． 故答案为 2，n2． 【点睛】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于 中档题． 三、解答题共 3 小题，共 35 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知 (2sin ,sin cos )m x x x  ， ( 3 cos ,sin cos )n x x x  ，记函数 ( )f x m n   ． （1）求函数 ( )f x 取最大值时 x 的取值集合； （2）设函数 ( )f x 在区间 ,2 m     是减函数，求实数 m 的最大值． 【答案】（1） ,3x x k k Z      ；（2） 5 6  . 【解析】 【分析】 （1）根据三角恒等变换化简函数 ( )f x ，根据三角函数图像和性质令 ( ) 2f x  ，求出 x 的取值 集合； （2）求出函数 ( )f x 单调减区间，当 1k  时 ( )f x 的减区间为 5,3 6       ，并且 5 2 ,3 6         ， 所以 5 2 6m   即可求得实数 m 的最大值. 【详解】（1）由题意，得 ( ) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x m n x x x        ， 当 ( )f x 取最大值时，即sin(2 ) 16x   ，此时 2 2 ( )6 2x k k Z     - 12 - 所以 x 的取值集合为 ,3x x k k Z      ． （2）由 32 2 22 6 2k x k        得 4 102 2 26 6k x k      ， 5 3 6k x k      所以 ( )f x 的减区间 5, ,3 6k k k Z        ， 当 1k  ，得 5,3 6       是一个减区间，且 5 2 ,3 6         所以 5, ,2 3 6m            ， 所以 5( , ]2 6m   ， 所以 m 的最大值为 5 6  . 【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路： （1）利用降幂、升幂公式将 ( )f x 化为 sin cosa x b x+ 的形式； （2）构造 2 2 2 2 2 2 ( ) ( sin cos )a bf x a b x x a b a b      ； （3）和差公式逆用，得 2 2( ) sin( )f x a b x    (其中 为辅助角， tan b a   )； （4）利用 2 2( ) sin( )f x a b x    研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 17. 已知数列{an}满足：a1=1， 1 12 2 n n n a n na a n n        ， 为奇数 ， 为偶数 ，记  * 2 Nn nb a n  . （1）求 b1，b2 的值； （2）证明：数列{bn}是等比数列； （3）求数列{an}的通项公式. - 13 - 【答案】（1） 1 1,2 4 ；（2）证明见解析；（3）an 1 1( ) 22 1( ) 4 4 2 12 k k n k k n k         ， ， . 【解析】 【分析】 （1）根据递推关系式，求得 1 2,b b 的值. （2）根据递推关系式，推导出 1 1 2n nb b  ，由此证得 nb 是等比数列. （3）由（1）求得数列 nb 通项公式，由此求得 2na 的表达式，进而 2 1na  的表达式，从而求 得数列 na 的通项公式. 【详解】（1）a1=1， 1 12 2 n n n a n na a n n        ， 为奇数 ， 为偶数 ，记  * 2 Nn nb a n  . b1=a2 1 2  a1+1﹣1 1 2  . a3=a2﹣4 1 2   4 7 2   . b2=a4 1 2  a3+3﹣1 1 2  a3+2 7 4    2 1 4  . （2）bn=a2n 1 2  a2n﹣1+2n﹣2， n≥2 时，a2n﹣1=a2n﹣2﹣2（2n﹣2）=a2n﹣2﹣4n+4. ∴bn 1 2  a2n﹣1+2n﹣2 1 2  （a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣2 1 2  a2n﹣2 1 2  bn﹣1， n=1 时，b2 1 2  b1. ∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为 1 2 . （3）解：由（2）可得：bn 1( )2 n . ∴a2n 1( )2 n . 又 a2n 1 2  a2n﹣1+2n﹣2 1( )2 n . 解得：a2n﹣1 11( )2 n  4﹣4n. - 14 - 综上可得：数列{an}的通项公式：an 1 1( ) 22 1( ) 4 4 2 12 k k n k k n k         ， ， ，k∈N*. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查等比数列的通项公式，考查化归 与转化的数学思想方法，属于中档题. 18. 已知函数 ( ) 1xf x e ax a    ， a R （I）若 ( )f x 的极值为 1e  ，求 a 的值； （Ⅱ）若  ,x   时， ( ) 0f x  恒成立，求 a 的取值范围 【答案】（I） a e ；（II） 0a  【解析】 【分析】 （I）求导 ( ) xf x e a   ，然后根据 ( )f x 的极值为 1e  ，分 0a  ， 0a  讨论求解. （II） ( ) xf x e a   ，( )x a ，由  ,x   时， ( ) 0f x  恒成立，分 0a  ， 0a  ， 0a  讨论，由 min( ) 0f x ≥ 求解即可. 【详解】（I） ( ) e 1xf x ax a    ，. ( ) xf x e a   ， 当 0a  时， ( ) 0f x  恒成立，故 ( )f x 无极值点， 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，则 lnx a ， 当 lnx a 时， ( ) 0f x  ， lnx a 时， ( ) 0f x  ， 所以， ( )f x 在区间 ln a， 上递减，在区间 ln a ， 上递增， 所以当且仅当 lnx a 时， ( )f x 取到极小值，      lnln ln 1 2 ln 1 1af x f a e a a a a a a e           极小 ， 设函数 ( ) 2 ln 1h a a a a   ， ( ) 1 lnh a a   ， - 15 - 当 0 a e  时， ( ) 0 h a ， a e 时， ( ) 0h a  ， ∴ ( )h a 在区间 0 e， 上递增，在区间 e ， 上递减， ∴ ( )h a 在 a e 时取得最大值 1e  ， 所以 a e 是唯一解 （II） ( ) xf x e a   ， ( )x a ， (1)当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ,a  单调递增，  0 ,a  0(0) e 0 1 0f a a      ， ( ) 0f x  不恒成立. (2)当 0a  时， ( ) 0xf x e   ， ( )f x 在 0, 单调递增， 0( ) (0) e 0 1 0f x f a a       ， ( ) 0f x  恒成立.- (3)当 0a  时， ( ) 0xf x e a    ， lnx a ， ( )f x 在 ,ln a 单调递减，在 ln ,a 单调递增， 令   lnu a a a  ，   1 11 au a a a     ，  u a 在 0,1 单调递减，  1, 单调递增    1 1 ln1 1 0u a u      ， lna a  ， ( )f x 在 ,a  单调递增， 2( ) ( ) 1af x f a e a a     ， 2g( ) 1xx e x x    ， g ( ) 2 1xx e x    ， ( ) 2xg x e   ， ( )g x 在 0,ln 2 单调递减，在 2,ln  单调递增， g ( ) g (ln 2) 3 2ln 2 0x      ， ( )g x 在 0, 上单调递增， - 16 -   0g( ) g 0 0 0 1 1 1 0x e        恒成立， 0a  ， ( ) 0f x  恒成立. 综上： 0a  【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法： 若 ( )f x 在区间 D 上有最值，则    min, 0 0x D f x f x     ；    max, 0 0x D f x f x     ； 若能分离常数，即将问题转化为：  a f x （或  a f x ），则    maxa f x a f x   ；    mina f x a f x   .