- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题
2020北京人大附中高三考前热身练习 数 学 2020.6 本试卷共4页.满分150分,考试时长120分钟.考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上,在试卷上作答无效. 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1.已知集合( ) A. B. C. D. 2.复数的模为( ) A.1 B.2 C. D. 3.若,则不等式等价于( ) A. B. C. D. 4.某几何体的主视图和左视图如右上图所示,则它的俯视图不可能是( ) 5.公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12% ,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:) A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年 6.为非零向量,为“”“为共线”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 7.已知函数(其中)的最小值为1,则( ) A. 1 B. C. D. 8.已知函数,若函数在区间内没有零点,则的最大值为 A. B. C. D. 9.已知不过坐标原点的直线交抛物线于两点,若直线的斜率分别为2和6,则直线 的斜率为( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 10.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元,占全球GDP的16.0%;人口总数约为32.1亿,占全球总人口的43.4%;对外贸易总额(进口额+出口额)约为71885.6亿美元,占全球贸易总额的21.7%. 2016年“一带一路”沿线国家情况 人口(万人) GDP(亿美元) 进口额(亿美元) 出口额(亿美元) 蒙古 301.4 116.5 38.7 45.0 东南亚11国 63852.5 25802.2 11267.2 11798.6 南亚8国 174499.0 29146.6 4724.1 3308.5 中亚5国 6946.7 2254.7 422.7 590.7 西亚、北非19国 43504.6 36467.5 9675.5 8850.7 东欧20国 32161.9 26352.1 9775.5 11388.4 关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况,能够从上述资料中推出的是( ) A.超过六成人口集中在南亚地区 B.东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上 C.平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元 D.平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分.) 11.在的展开式中,的系数为_______.(用数字作答) 12.双曲线的离心率为 ,双曲线与双曲线有共同的渐近线,且过点,则双曲线的方程为 . 13.锐角三角形中,若,则的取值范围是 . 14.已知非零向量满足,则实数的值为 15.已知函数, (1)的零点是 ; (2)若的图象与直线有且只有三个公共点,则实数的取值范围是______. 三、解答题(共5小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 16.(本题满分14分) 设函数,其中.已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象。求在上的最小值. 17.(本题满分14分) 为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表. 套数 人数 性别 1 2 3 4 5 男生 1 4 3 2 2 女生 0 1 3 3 1 (Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率? (Ⅱ)若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变量的分布列和数学期望; (Ⅲ)试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小(只需写出结论). 18.(本题满分14分) 平行四边形所在的平面与直角梯形 所在的平面垂直,,且为的中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:; (Ⅲ)若直线上存在点,使得所成角的余弦值为,求与平面所成角的大小. 19.(本题满分15分) 已知椭圆的离心率为过的左焦点做轴的垂线交椭圆于两点,且 (Ⅰ)求椭圆的标准方程及长轴长; (Ⅱ)椭圆的短轴的上下端点分别为,点,满足,且,若直线分别与椭圆交于两点,且面积是面积的5倍,求的值. 20.(本题满分14分)已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)若对任意,都有成立,求实数的最小值. 21.(本题满分14分)若无穷数列满足:是正实数,当时,,则称是“Y-数列”. (Ⅰ)若是“Y-数列”且,写出的所有可能值; (Ⅱ)设是“Y-数列”,证明:是等差数列当且仅当单调递减;是等比数列当且仅当单调递增; (Ⅲ)若是“Y-数列”且是周期数列(即存在正整数,使得对任意正整数,都有),求集合的元素个数的所有可能值的个数. 2020北京人大附中高三考前热身练习数学 参考答案 1.解析:故,选B 2.解析:法一: 法二:选择A 3.解析:令,移项分式不等式,可求得或,符合的只有一个,选D. 4.解析:对于A,可以是圆锥;对于B,可以是中间提点,对于C,中间提点,选D. 5. 解析:即选C 6. 解析:因为,即同向,故选B. 7.解析:令,变形得,若结果不含,只能令选A 8.解析:, 首先排除 D;剩下 3个选项从大到小代入,当时,符合题意,选C 9.解析:令,则,联立得选D 10.解析:估算 对于A,估算,故A错误; 对于B,估算错误; 对于C,正确; 对于D,D错误. 故选C 二、填空题 11.解析:,故系数为. 12.解析:,离心率 因为共渐近线,故令将代入,解得故 13.解析:因为锐角三角形,即 故即取值范围为. 14.解析: 15.解析:海淀查漏补缺题.零点不是点,是横坐标. (1) 时,时, ,故的零点是; (2)数形结合,直线过定点,实数的取值范围是. 三、解答题(共 5小题,共 85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 16.(本题满分 14 分) 解:(I)因为 所以··········2分 ·····4分 由题设知所以·····6分 故所以·····7分 (II)由(I)得,所以, ·····10分 因为,,所以·····11分 当即时,取得最小值······13分 17.解析:(Ⅰ)设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4. 由题意可知,·····4分 (Ⅱ)完成套卷数不少于4 本的学生共8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的取值为 0,1, 2,3, 4 . …………5 分 由题意可得 ······8分 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P ·······9分 随机变量X的均值······11分 (III)·····13分 18.解析:(1)解法1:取AF的中点Q,连结, 在直角梯形中,, 所以四边形为平行四边形,…………1分 所以, 在中, 所以,…………2分 又因为, 所以平面平面,…………3分 又平面, 所以平面…………4分 解法2取中点,连结,在中,, 所以,且 又 所以, 所以四边形为平行四边形 所以, 因为平面,平面, 所以平面. (2)在中, 所以, 所以, 所以,…………5分 又平面平面,平面平面平面, 所以平面,…………7分 因为平面, 所以…………8分 (3)由(1)(2)以A为原点,以 所在直线为轴建立空间直角坐标系,…………9分 所以 所以 所以 设 所以 所以 所以 所以·····10分 所以····11分 设平面的法向量为 所以 所以令····12分 如与平面成的角为, 所以···13分 所以即与面成的角为···14分 19. 解析:(Ⅰ)因为椭圆C 的左焦点横坐标为-c , 由·····2分 故解得: 所以,椭圆 C 的标准方程为:·····4分 长轴长为 4. …………5 分 (II) ∴直线的斜率为直线BM斜率为 ∴直线的方程为,直线BM的方程为…………7分 由 由…………9分 ∴ 即…………11分 又 …………13分 整理方程得:, 解得:..…………14分 20.解析:(I)由解得.…………2分 则的情况如下: X 2 - 0 + 极小值 所以函数的单增区间为,单减区间为;…………6分 (Ⅱ)当时, 当时,…………8分 若,由(Ⅱ)可知的最小值为, 的最大值为,…………10分 所以“对任意,有恒成立” 等价于“” …………12分 即解得.所以的最小值为1.…………13 分 21.解析:(Ⅰ)-2,0,2,8………………………………………………………………4分 (Ⅱ)证明:因为,所以或. 是等差数列时,假设,则.此时,,而 ,矛盾!所以.于是公差, 所以单调递减……………………5分 当单调递减时,对任意,. 又,所以,从而是等差数列…………6分 当是等比数列时,,所以,于是公比.又,所以单调递增.…………7分 当单调递增时,对任意,所以,即.因为,所以是等比数列………8分 (Ⅲ)解:先证明是数列中的最大项. 事实上,如果i是第一个大于的项的脚标,则由知,是 的倍数.假设都是的倍数, 则由 知,也是的倍数.所以由归纳法知,对任意都是的倍数.但不是的倍数,这与是周期数列矛盾! 所以是数列中的最大项,从而当时,.………………9分 再证明当是奇数时,是的奇数倍;当是偶数时,是的偶数倍 事实上,当时结论成立,假设时成立,当时,由 知,结论也成立………………10分 所以,若的值只可能为奇数,所以集合的元素个数最多有1009个。 下证集合的元素个数可以是1~1009的所有整数。 事实上,对于,可取数列为: 也即:所有的奇数项均等于,所有的偶数项均等于0,此时,数列为Y数列,且………………11分 对于任意整数构造数列的前2018项如下: 由于数列是无穷数列,故可取,显然满足数列是Y数列。………………12分 综上,集合的元素个数的所有可能值的个数为1009. ………………13分查看更多