北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题

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北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题

‎2020北京人大附中高三考前热身练习 ‎ 数 学 2020.6‎ 本试卷共4页.满分150分,考试时长120分钟.考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上,在试卷上作答无效.‎ 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)‎ ‎1.已知集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数的模为( )‎ A.1 B.‎2 ‎ C. D.‎ ‎3.若,则不等式等价于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.某几何体的主视图和左视图如右上图所示,则它的俯视图不可能是( )‎ ‎5.公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%‎ ‎,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )‎ ‎(参考数据:)‎ A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年 ‎6.为非零向量,为“”“为共线”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 ‎7.已知函数(其中)的最小值为1,则( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎8.已知函数,若函数在区间内没有零点,则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎9.已知不过坐标原点的直线交抛物线于两点,若直线的斜率分别为2和6,则直线 的斜率为( )‎ A.3 B‎.2 ‎ C.-2 D.-3‎ ‎10.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元,占全球GDP的16.0%;人口总数约为32.1亿,占全球总人口的43.4%;对外贸易总额(进口额+出口额)约为71885.6亿美元,占全球贸易总额的21.7%.‎ ‎2016年“一带一路”沿线国家情况 人口(万人)‎ GDP(亿美元)‎ 进口额(亿美元)‎ 出口额(亿美元)‎ 蒙古 ‎301.4‎ ‎116.5‎ ‎38.7‎ ‎45.0‎ 东南亚11国 ‎63852.5‎ ‎25802.2‎ ‎11267.2‎ ‎11798.6‎ 南亚8国 ‎174499.0‎ ‎29146.6‎ ‎4724.1‎ ‎3308.5‎ 中亚5国 ‎6946.7‎ ‎2254.7‎ ‎422.7‎ ‎590.7‎ 西亚、北非19国 ‎43504.6‎ ‎36467.5‎ ‎9675.5‎ ‎8850.7‎ 东欧20国 ‎32161.9‎ ‎26352.1‎ ‎9775.5‎ ‎11388.4‎ 关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况,能够从上述资料中推出的是( )‎ A.超过六成人口集中在南亚地区 B.东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上 C.平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元 D.平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分.)‎ ‎11.在的展开式中,的系数为_______.(用数字作答)‎ ‎12.双曲线的离心率为 ,双曲线与双曲线有共同的渐近线,且过点,则双曲线的方程为 . ‎ ‎13.锐角三角形中,若,则的取值范围是 .‎ ‎14.已知非零向量满足,则实数的值为 ‎ ‎15.已知函数,‎ ‎(1)的零点是 ;‎ ‎(2)若的图象与直线有且只有三个公共点,则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题(共5小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 设函数,其中.已知.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象。求在上的最小值.‎ ‎17.(本题满分14分)‎ 为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.‎ 套数 人数 性别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 男生 ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 女生 ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率?‎ ‎(Ⅱ)若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变量的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小(只需写出结论).‎ ‎18.(本题满分14分)‎ 平行四边形所在的平面与直角梯形 所在的平面垂直,,且为的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:;‎ ‎(Ⅲ)若直线上存在点,使得所成角的余弦值为,求与平面所成角的大小.‎ ‎19.(本题满分15分)‎ 已知椭圆的离心率为过的左焦点做轴的垂线交椭圆于两点,且 ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程及长轴长;‎ ‎(Ⅱ)椭圆的短轴的上下端点分别为,点,满足,且,若直线分别与椭圆交于两点,且面积是面积的5倍,求的值.‎ ‎20.(本题满分14分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若对任意,都有成立,求实数的最小值.‎ ‎21.(本题满分14分)若无穷数列满足:是正实数,当时,,则称是“Y-数列”.‎ ‎(Ⅰ)若是“Y-数列”且,写出的所有可能值;‎ ‎(Ⅱ)设是“Y-数列”,证明:是等差数列当且仅当单调递减;是等比数列当且仅当单调递增;‎ ‎(Ⅲ)若是“Y-数列”且是周期数列(即存在正整数,使得对任意正整数,都有),求集合的元素个数的所有可能值的个数.‎ ‎2020北京人大附中高三考前热身练习数学 参考答案 ‎1.解析:故,选B ‎2.解析:法一:‎ 法二:选择A ‎3.解析:令,移项分式不等式,可求得或,符合的只有一个,选D.‎ ‎4.解析:对于A,可以是圆锥;对于B,可以是中间提点,对于C,中间提点,选D.‎ ‎5. 解析:即选C ‎6. 解析:因为,即同向,故选B.‎ ‎7.解析:令,变形得,若结果不含,只能令选A ‎8.解析:, ‎ 首先排除 D;剩下 3个选项从大到小代入,当时,符合题意,选C ‎9.解析:令,则,联立得选D ‎10.解析:估算 对于A,估算,故A错误;‎ 对于B,估算错误;‎ 对于C,正确;‎ 对于D,D错误.‎ 故选C 二、填空题 ‎11.解析:,故系数为.‎ ‎12.解析:,离心率 因为共渐近线,故令将代入,解得故 ‎13.解析:因为锐角三角形,即 故即取值范围为.‎ ‎14.解析:‎ ‎15.解析:海淀查漏补缺题.零点不是点,是横坐标.‎ ‎(1) 时,时, ,故的零点是;‎ ‎(2)数形结合,直线过定点,实数的取值范围是.‎ 三、解答题(共 5小题,共 85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)‎ ‎16.(本题满分 14 分)‎ 解:(I)因为 所以··········2分 ‎·····4分 由题设知所以·····6分 故所以·····7分 ‎(II)由(I)得,所以,‎ ‎·····10分 因为,,所以·····11分 当即时,取得最小值······13分 ‎17.解析:(Ⅰ)设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4.‎ 由题意可知,·····4分 ‎(Ⅱ)完成套卷数不少于4 本的学生共8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的取值为 0,1, 2,3, 4 . …………5 分 由题意可得 ‎······8分 所以随机变量X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎·······9分 随机变量X的均值······11分 ‎(III)·····13分 ‎18.解析:(1)解法1:取AF的中点Q,连结,‎ 在直角梯形中,,‎ 所以四边形为平行四边形,…………1分 所以,‎ 在中,‎ 所以,…………2分 又因为,‎ 所以平面平面,…………3分 又平面,‎ 所以平面…………4分 解法2取中点,连结,在中,,‎ 所以,且 又 所以,‎ 所以四边形为平行四边形 所以,‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)在中,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,…………5分 又平面平面,平面平面平面,‎ 所以平面,…………7分 因为平面,‎ 所以…………8分 ‎(3)由(1)(2)以A为原点,以 所在直线为轴建立空间直角坐标系,…………9分 所以 所以 所以 设 所以 所以 所以 所以·····10分 所以····11分 设平面的法向量为 所以 所以令····12分 如与平面成的角为,‎ 所以···13分 所以即与面成的角为···14分 ‎19. 解析:(Ⅰ)因为椭圆C 的左焦点横坐标为-c ,‎ 由·····2分 故解得:‎ 所以,椭圆 C 的标准方程为:·····4分 长轴长为 4. …………5 分 ‎ ‎(II)‎ ‎∴直线的斜率为直线BM斜率为 ‎∴直线的方程为,直线BM的方程为…………7分 由 由…………9分 ‎∴‎ 即…………11分 又 ‎…………13分 整理方程得:,‎ 解得:..…………14分 ‎20.解析:(I)由解得.…………2分 则的情况如下:‎ X ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以函数的单增区间为,单减区间为;…………6分 ‎(Ⅱ)当时,‎ 当时,…………8分 若,由(Ⅱ)可知的最小值为,‎ 的最大值为,…………10分 所以“对任意,有恒成立”‎ 等价于“” …………12分 即解得.所以的最小值为1.…………13 分 ‎21.解析:(Ⅰ)-2,0,2,8………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)证明:因为,所以或.‎ 是等差数列时,假设,则.此时,,而 ‎,矛盾!所以.于是公差,‎ 所以单调递减……………………5分 当单调递减时,对任意,.‎ 又,所以,从而是等差数列…………6分 当是等比数列时,,所以,于是公比.又,所以单调递增.…………7分 当单调递增时,对任意,所以,即.因为,所以是等比数列………8分 ‎(Ⅲ)解:先证明是数列中的最大项.‎ 事实上,如果i是第一个大于的项的脚标,则由知,是 的倍数.假设都是的倍数,‎ 则由 知,也是的倍数.所以由归纳法知,对任意都是的倍数.但不是的倍数,这与是周期数列矛盾!‎ 所以是数列中的最大项,从而当时,.………………9分 再证明当是奇数时,是的奇数倍;当是偶数时,是的偶数倍 事实上,当时结论成立,假设时成立,当时,由 知,结论也成立………………10分 所以,若的值只可能为奇数,所以集合的元素个数最多有1009个。‎ 下证集合的元素个数可以是1~1009的所有整数。‎ 事实上,对于,可取数列为:‎ 也即:所有的奇数项均等于,所有的偶数项均等于0,此时,数列为Y数列,且………………11分 对于任意整数构造数列的前2018项如下:‎ 由于数列是无穷数列,故可取,显然满足数列是Y数列。………………12分 综上,集合的元素个数的所有可能值的个数为1009. ………………13分
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