北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期第三次调研考试文科数学试题

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北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试 文科数学试题 本试卷共5页.全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号.用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑.‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.考生必须保持答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知为虚数单位，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的周期求解.‎ ‎【详解】由于，‎ 且的周期为4，，‎ 所以原式=.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎5 ‎C. 6 D. 无数个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接列举求出A和A中元素的个数得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以A中元素的个数为6.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2根阳线和1根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算.‎ ‎【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，‎ 其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦，‎ ‎∴概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力.‎ ‎4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（　　）‎ A. 64 B. ‎73 ‎C. 512 D. 585‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：运行程序，，否，，，否，，，否，，，是，输出.‎ 考点：程序框图.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点满足不等式组，向圆内均匀撒粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是，则圆周率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出平面区域，根据黄豆落在区域内的概率列方程得出的值．‎ ‎【详解】作出点所在的平面区域如图所示：‎ 黄豆落在内的概率，‎ 即，故．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查利用随机模拟求，考查几何概型的概率计算，属于中档题．‎ ‎6.已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面.现有以下四个结论：‎ ‎①平面；‎ ‎②；‎ ‎③若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积；‎ ‎④与平面所成的角为.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角，判断选项的正误即可．‎ ‎【详解】对①，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，所以是正方形．所以，平面，所以平面；故①正确；‎ 对②，因为，平面，、平面，平面，所以；故②正确；‎ 对③，若是底面圆周上的动点，当时，则的最大面积等于的面积；当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，故③不正确；‎ 对④，因为，与平面所成的角就是与平面所成角，就是；故④正确；‎ 综上所述正确的个数为3个，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.‎ ‎7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围;‎ 设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,，‎ ‎，故选A．‎ 考点：椭圆与双曲线离心率问题．‎ ‎8.在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（ ）‎ A. 64 B. C. 36 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这9个数的和为，得解．‎ ‎【详解】由数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，‎ 设，，的公比为，‎ 因为，所以，，‎ 所以这9个数的和为，‎ 即这9个数和的最小值为36，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法.‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为，由渐近线过点，可得，即，，可得，故答案为.‎ ‎10.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是奇函数可得，得到函数解析式，则可得，再求在处的导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可.‎ ‎【详解】为奇函数,则，，‎ ‎，，又，‎ 曲线在点处的切线方程为,即.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数解析式是本题解题关键.‎ ‎11.已知，，分别是锐角的角，，所对的边，且，，若，则______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换将条件进行化简得，由正弦定理，得，根据余弦定理解得的值．‎ ‎【详解】，‎ 由已知得，又，‎ ‎，由正弦定理，得．‎ 由，，根据余弦定理得：，解得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想．‎ ‎12.数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，再由配方法求数列的最小值．‎ ‎【详解】由，得，‎ 当时，，‎ 适合上式，‎ ‎．‎ 则．‎ 当时．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．‎ ‎13.已知抛物线上有三个不同的点，，，抛物线的焦点为，且满足，若边所在直线的方程为，则______；‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线的方程代入抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合直线与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用，即可求得值，从而解决问题．‎ ‎【详解】由可得．‎ 由△，有，或．‎ 设，，，，则，‎ 设，，抛物线的焦点为，且满足，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 点在抛物线上，，.‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式 ‎，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算.‎ ‎14.若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.‎ ‎【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.‎ 因为球体积，故最小当且仅当最小.‎ 圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，‎ 当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，‎ 所以,圆柱的表面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15.如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，取最小值 ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．‎ 试题解析：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．‎ ‎（2）＝‎ ‎．‎ 当时，取最小值．‎ 考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．‎ ‎16.在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan+1的等差中项 ‎（1）求证：数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式 ‎（2）求数列{}的前n项和Sn ‎【答案】（1）证明见解析，an＝1；（2）Sn＝．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得所求；‎ ‎（2）求得，运用数列裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】（1）a1＝2，an是1与anan+1的等差中项，‎ 可得2an＝1+anan+1，‎ 即an+1，an+1﹣1，‎ 可得1，‎ 可得数列{}是首项和公差均为1的等差数列，‎ 即有n，可得an＝1；‎ ‎（2），‎ 则前n项和Sn＝11．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意变形和等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．‎ ‎17.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；‎ ‎（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；‎ ‎（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.‎ ‎【答案】（1）第四组的频率为0.2（2）8.15（3）15‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据小长方形的面积之和为1，即可求出a；（Ⅱ）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方；（Ⅲ）根据回归方程即可求出答案.‎ 详解：（Ⅰ），‎ 第四组的频率为：‎ ‎（Ⅱ）因 所以 ‎（Ⅲ）且 所以张某7月份的用水费为 设张某7月份的用水吨数吨，‎ 则张某7月份的用水吨数15吨.‎ 点睛：这个题目考查了频率分布直方图的应用，方图中求中位数的方法，即出现在概率是0.5的地方，以及回归方程的求法，在频率分布直方图中求平均值，需要将每个长方条的中点值乘以相应的概率值相加即可.‎ ‎18.已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，且底面，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在边上找一点，使平面，并求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：(1) 取中点，由平几相似得，再由底面得 ，又是正方形，有，因此平面，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在边上取一点，使，由平几知识得四边形是平行四边形，即有平面. 设，由（1）得为高，最后根据锥体体积公式求结果.‎ 详解： （1）取中点，连结，，‎ 在，∴平面.‎ ‎∵面，面，∴，∵是正方形，∴，‎ 又平面，平面，，‎ ‎∴平面，∵平面，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）在边上取一点，使，‎ ‎∵为梯形的中位线，，，‎ ‎∴，，又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，‎ 设，则.∴.‎ ‎∴ .‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎19.已知，（其中常数）‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求证：.‎ ‎【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出a＝e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证.‎ ‎【详解】函数的定义域为，‎ ‎（1）当时，，，在单调递增且 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 所以有极小值，无极大值.‎ ‎（2）先证明：当恒成立时，有成立 若，则显然成立；‎ 若，由得，令，则，‎ 令，由得在上单调递增，‎ 又∵，所以在上为负，递减，在上为正，递增，∴ ，从而.‎ 因而函数若有两个零点，则，所以，‎ 由得，则，‎ ‎∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴在上单调递增∴，则 ‎∴，由得，‎ 则，∴，综上.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．‎ ‎20.如图，抛物线：的焦点为，以为直角顶点的等腰直角的三个顶点，，均在抛物线上.‎ ‎（1）过作抛物线的切线，切点为，点到切线的距离为2，求抛物线的方程；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出过点的抛物线的切线的方程，联立抛物线的方程，消去得关于的方程，利用△以及到切线的距离，求出的值即可；‎ ‎（2）由题意设直线的方程，联立抛物线方程，得关于的方程，利用根与系数的关系，以及，求得面积的最小值．‎ ‎【详解】（1）过点的抛物线的切线：，‎ 联立抛物线：，得，‎ ‎，即.‎ ‎∵，到切线的距离为，‎ 化简得，∴，‎ ‎∵，∴，得，‎ ‎∴，∴抛物线方程为.‎ ‎（2）已知直线不会与坐标轴平行，设直线：，‎ 联立抛物线方程得，‎ 则，，‎ 同理可得；‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎∵（当且仅当时，等号成立），‎ ‎（当且仅当时等号成立），‎ 故，面积的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式应用时要验证等号成立的条件.‎