2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2
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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？
1．直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条． ( )
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． ( )
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
B [圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.]
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B．
C． D．2
D [直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.]
4．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
x＋2y－5＝0 [由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.]
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－
0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．
4 [因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为，
当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝≥3，所以切线长的最小值为＝4.]
直线与圆相交问题
【例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[思路探究] (1)利用交点坐标直接求解．
(2)直线l要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．
[解] (1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
[跟进训练]
3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．4 B．2 C． D．
B [∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝
＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.故选B.]
直线与圆位置关系的综合
【例4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．
[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为( )
A．14米 B．15米
C．米 D．2米
D [以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
∴水面宽度|A′B′|＝2米．]
1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
3．坐标法解决问题的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；
(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；
(4)反演回去，得到几何问题的结论．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]
2．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为( )
A．±1 B．±
C．± D．±2
A [由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，所以有＝，解得k＝±1.]
3．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )
A． B．5
C． D．25
C [设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.由直线与圆相切可得r＝.故选C.]
4．过点A(－1,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________．
y＝4或3x＋4y－13＝0 [设方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0.∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，
解得k＝0或k＝－.故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.]
5．已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
[解] (1)AB的中点坐标，AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，
∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，
即y＝kx＋－k，
则圆心(0,0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则有＋()2＝4，解得：k＝－，
则直线l的方程为y＝－x＋.
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.
