高中数学人教版选修1-2：单元质量评估（二）word版含答案
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单元质量评估(二)
(第二章)
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.(2016·锦州高二检测)下列说法正确的是( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一般是正确的；③演绎推理的一
般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解析】选 C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故②错
误，其他说法都正确.
2.(2016·菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是( )
A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检验溶液的 PH 值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数
【解析】选 B.由题设及推理知识知，A 是归纳推理.C，D 都是演绎推理.B 是类比推理.
3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”
此推理方法是( )
A.演绎推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.以上都不对
【解析】选 B.由部分推断全体，是归纳推理.
4.(2016·珠海高二检测)若 a>b>0，c
B. <
C. > D. <
【解析】选 B.因为 a>b>0，c-d>0，
所以-ac>-bd>0，即 ac0，所以 < ，即 < .
5.(2015·浙江高考)设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t.( )
A.若 t 确定，则 b2 唯一确定
B.若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定
C.若 t 确定，则 sin 唯一确定
D.若 t 确定，则 a2+a 唯一确定
【解析】选 B.当 t=0 时，sinb=0，b=kπ(k∈Z)，
此时 b2 不确定，故 A 错.
sin =sin =0，1 或-1，故 C 错；
当 t=2 时，|a+1|=2 得 a=1 或 a=-3，所以 a2+a=2 或 a2+a=6，故 D 错.
因为当|a+1|=t 时 a2+2a=t2-1.
当 t 确定时，t2-1 唯一确定，即 a2+2a 也唯一确定.
6.如果对象 A 和对象 B 都具有相同的属性 P，Q，R 等，此外已知对象 A 还有一个属性 S，而
对象 B 还有一个未知的属性 x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立( )
A.x 就是 P B.x 就是 Q
C.x 就是 R D.x 就是 S
【解析】选 D.因为 P，R，Q 是均具有的属性，所以可能得出的结论只能是“x 就是 S”.
【拓展延伸】类比推理的基本原则
类比推理是由特殊到特殊的推理，它的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对
象，可以从几何元素的数目，位置关系，度量等方面入手，由一类事物的特征类比出另一类
事物的相关特征.
平面图形与空间图形的类比如下：
平面 空间 平面 空间 线 面 平面角 二面角
点 线 面积 体积 边长 面积 三角形 四面体
7.(2016·鞍山高二检测)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11…，则
a11+b11=( )
A.28 B.76
C.123 D.199
【解析】选 D.由已知 a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=7=4+3，a5+b5=7+4=11，a6+b6=11+7=18，
a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123，a11+b11=123+76=199.
8.(2016·潍坊高二检测)若函数 f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点，并且不等式 f(1-x)≥-1
恒成立，则实数 m 的取值范围为( )
A.(0，1) B. D.
【解析】选 B.因为 f(x)=x2-2x+m 有两个零点.
所以 4-4m>0，即 m<1.
由 f(1-x)≥-1 得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1，
即 m≥-x2
因为-x2≤0，故 0≤m<1.
9.已知 f(x)=x3+x，x∈R，若 a，b，c∈R，且 a+b>0，b+c>0，c+a>0，则 f(a)+f(b)+f(c)的
值一定( )
A.大于 0 B.小于 0
C.等于 0 D.正负都有可能
【解析】选 A.因为 f(x)为奇函数且为增函数，
又因为 a+b>0，所以 a>-b，
所以 f(a)>f(-b)，即 f(a)+f(b)>0，
同理 f(a)+f(c)>0，f(b)+f(c)>0.
所以 2(f(a)+f(b)+f(c))>0，
所以 f(a)+f(b)+f(c)>0.
10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么 a，b，c 中
至少有一个是偶数”，应假设( )
A.a，b，c 中至多有一个是偶数
B.a，b，c 中至少有一个是奇数
C.a，b，c 中全是奇数
D.a，b，c 中恰有一个是偶数
【解析】选 C.“a，b，c 中至少有一个是偶数”包括“a，b，c 中有一个或 2 个或 3 个偶数”，
其反面是 a，b，c 中没有偶数，即全是奇数.
11.已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立，那么 a，b，c 的值
为( )
A.a= ，b=c= B.a=b=c=
C.a=0，b=c= D.不存在这样的 a，b，c
【解析】选 A.令 n=1，2，3，
得
所以 a= ，b=c= .
12.(2016·青岛高二检测)观察下列各式：|x|+|y|=1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，
|x|+|y|=2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|+|y|=3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，…，
则|x|+|y|=20 的不同整数解(x，y)的个数为( )
A.76 B.80 C.86 D.92
【解析】选 B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1，2，3 时，对应的(x，y)的不同整数解的
个数分别为 4，8，12，可推得当|x|+|y|=n 时，对应的不同整数解(x，y)的个数为 4n，所
以|x|+|y|=20 时的不同整数解的个数为 4×20=80.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2016·聊城高二检测)已知 x，y∈R 且 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围为________.
【解析】因为 2x+2y=1≥2 ，
所以 2x+y≤ =2-2，所以 x+y≤-2.
答案：(-∞，-2]
14.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲、乙、丙三人各取走
一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后
说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的
卡片上的数字是________.
【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2 和 3”，只能是 1 和 2，1 和 3，分类讨论.
【解析】由题意得：丙不拿(2，3)，
若丙(1，2)，则乙(2，3)，甲(1，3)满足，
若丙(1，3)，则乙(2，3)，甲(1，2)不满足，
故甲的卡片上的数字为 1 和 3.
答案：1 和 3
15.观察下列等式：
i= n2+ n，
i2= n3+ n2+ n，
i3= n4+ n3+ n2，
i4= n5+ n4+ n3- n，
i5= n6+ n5+ n4- n2，
i6= n7+ n6+ n5- n3+ n，
…
ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0，
可以推测，当 k≥2(k∈N*)时，ak+1= ，ak= ，ak-1=________，ak-2=________.
【解析】由题意知，当 k=2，3，4，5，6 时，ak-1 分别为 ， ， ， ， ，即 ， ， ，
， ，可以推测 ak-1= .当 k=2，3，4，5，6 时，ak-2 分别为 0，0，0，0，0，可以推测
ak-2=0.
答案： 0
16.(2016·临沂高二检测)观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和为 20172.
【解析】第 1 行各项和为 1=12；第 2 行各项之和为 9=32；
第 3 行各项和为 25=52；第 4 行各项之和为 49=72；
即第 n 行各项之和为(2n-1)2.
令 2n-1=2017 得 n=1009.
答案：1009
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17.(10 分)在正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{ }成等差数列.证明数列{an}中有无穷多
项为无理数.
【证明】由已知有： =1+24(n-1)，从而 an= ，取 n-1=242k-1，则
an= (k∈N*).
用反证法证明这些 an 都是无理数.
假设 an= 为有理数，则 an 必为正整数，且 an>24k，故 an-24k≥1，an+24k>1，与
(an-24k)(an+24k)=1 矛盾，所以 an= (k∈N*)都是无理数，即数列{an}中有无穷
多项为无理数.
18.(12 分)(2016·德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等
于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；
②sin215°+cos215°-sin 15°·cos 15°；
③sin218°+cos212°-sin 18°·cos 12°；
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°；
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(2)根据(1)中结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【解析】(1)选择②式，计算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=1- sin 30°=1- = .
(2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)= .
证明如下：
sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-
sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2α-
sinαcosα- sin2α= sin2α+ cos2α= .
19.(12 分)(2016·泉州高二检测)已知 a>0，b>0，用分析法证明： ≥ ，
【证明】因为 a>0，b>0，要证 ≥ ，
只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2-4ab≥0，
即证 a2-2ab+b2≥0，
而 a2-2ab+b2=(a-b)2≥0 恒成立，
故 ≥ 成立.
20.(12 分)已知 a>b>0，求证： < .
【证明】因为 a>b>0，所以 - >0，a-b>0.
所以要证 < 成立，
只需证 - < 成立，
只需证 2 · -2b0 成立，而( - )2>0 显然成立，故( - )2< 成立.
21.(12 分)(2016·西安高二检测)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W： +y2=1 相交于 A，C 两点，
O 是坐标原点.
(1)当点 B 的坐标为(0，1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长.
(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：
四边形 OABC 不可能为菱形.
【解析】(1)因为四边形 OABC 为菱形，
所以 AC 与 OB 相互垂直平分.
所以可设 A ，代入椭圆方程得 + =1，
即 t=± ，所以 AC=2 .
(2)假设四边形 OABC 为菱形.
因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC⊥OB.
由 消 y 并整理得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 =- ，
=k +m= .
所以 AC 的中点为 M .
因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m≠0，k≠0，
所以直线 OB 的斜率为- .
因为 k· ≠-1，所以 AC 与 OB 不垂直，
所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾.
所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形.
22.(12 分)(2016·昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们刺绣中最
简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的
规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.
(1)求出 f(5)的值.
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的
关系式求出 f(n)的表达式.
(3)求 + + +…+ 的值.
【解析】(1)f(5)=41.
(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
…
由以上规律，可得出 f(n+1)-f(n)=4n，
因为 f(n+1)-f(n)=4n，所以 f(n+1)=f(n)+4n，
所以 f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
=…
=f(n-(n-1))+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
(3)当 n≥2 时， = = ，
所以 + + +…+
=1+
=1+ = - .
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