高中数学选修1-1课时提升作业（十）2-1-2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质探究导学课型
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课时提升作业(十)
椭圆的简单几何性质
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.已知 F1，F2 为椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB，若△AF1B 的周长为
16，椭圆离心率 e= ，则椭圆的方程是 ( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
【解析】选 B.由题意知 4a=16，即 a=4，
又因为 e= ，所以 c=2 ，
所以 b2=a2-c2=16-12=4，
所以椭圆的标准方程为 + =1.
2.(2015·西安高二检测)两个正数 1，9 的等差中项是 a，等比中项是 b 且 b>0，则曲线 + =1
的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 A.因为 a= =5，b= =3，
所以 e= = .
3.(2015·怀化高二检测)过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆
的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】选 C.如图设 F 为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，
|OP|=|OQ|，所以△PQF 的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，
易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最
小值
10+2×4=18，故选 C.
4.设 F1， F2 是椭圆 E： + =1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，
△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.如图，
△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2 =2c⇒e= = .
5.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠
F1PF2=60°，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.将 x=-c 代入椭圆方程可解得点 P ，故|PF1|= ，又在 Rt△F1PF2
中∠F1PF2=60°，
所以|PF2|= ，根据椭圆定义得 =2a，
从而可得 e= = .
【一题多解】选 B.设|F1F2|=2c，则在 Rt△F1PF2 中，|PF1|= c，|PF2|= c.
所以|PF1|+|PF2|=2 c=2a，离心率 e= = .
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m 的值为__________.
【解析】当焦点在 x 轴上时，a2=5，b2=m，
所以 c2=a2-b2=5-m.
又因为 e= ，所以 = ，解得 m=3.
当焦点在 y 轴上时，a2=m，b2=5，
所以 c2=a2-b2=m-5.
又因为 e= ，所以 = ，解得 m= .
故 m=3 或 m= .
答案：3 或
【误区警示】认真审题，防止丢解
在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，
则应该有两解.
7.已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 0
0，所以 a2>1，
所以 1b>0).
如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
所以 c=b=4，所以 a2=b2+c2=32，
故所求椭圆的标准方程为 + =1.
10.设 P 是椭圆 + =1(a>b>0)上的一点，F1，F2 是其左、右焦点.已知
∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.
【解题指南】利用椭圆的定义得到 a，b，c 的不等式，再化为离心率求范围.
【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①
在△F1PF2 中，由余弦定理得
cos 60°= = ，
即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②
①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③
由②③得|PF1||PF2|= .④
由①和④运用基本不等式，
得|PF1||PF2|≤ ，即 ≤a2.
由 b2=a2-c2，故 (a2-c2)≤a2，解得 e= ≥ .
又因为 e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为 .
【一题多解】设椭圆与 y 轴交于 B1，B2 两点，
则当点 P 位于 B1 或 B2 时，点 P 对两个焦点的张角最大，
故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°.
在 Rt△OB1F2 中，e= =sin∠OB1F2≥sin 30°= .
又因为 e<1，
所以该椭圆的离心率的取值范围为 .
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.将椭圆 C1：2x2+y2=4 上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆 C2，
则 C2 与 C1 有 ( )
A.相等的短轴长 B.相等的焦距
C.相等的离心率 D.相等的长轴长
【解析】选 C.把 C1 的方程化为标准方程，即
C1： + =1，从而得 C2： + =1.
因此 C1 的长轴在 y 轴上，C2 的长轴在 x 轴上.
e1= =e2，故离心率相等.
2.(2015·广安高二检测)已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上的一点，若
· =0，tan∠PF1F2= ，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.由 · =0，得△PF1F2 为直角三角形，由 tan∠PF1F2= ，设|PF2|=m，
则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c= )，即 4c2=5m2，c= m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，
所以 a= .所以离心率 e= = .
【补偿训练】设 e 是椭圆 + =1 的离心率，且 e∈ ，则实数 k 的取值范围是
( )
A.(0，3) B.
C.(0，3)∪ D.(0，2)
【解析】选 C.当 k>4 时，c= ，
由条件知 < <1，解得 k> ；
当 0b>0)的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径作圆，
过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e=__________.
【解析】如图，切线 PA，PB 互相垂直，半径 OA 垂直于 PA，
所以△OAP 是等腰直角三角形，故 = a，
解得 e= = .
答案：
4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小值为
__________.
【解析】设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点
为椭圆短轴端点，
所以 S= ×2c×b=bc=1≤ = .
所以 a2≥2.所以 a≥ ，所以长轴长 2a≥2 .
答案：2
【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用
在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a 和 a2=b2+c2 两个等式，为基本不等式中“和定积最
大”准备了条件.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.(2015·成都高二检测)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延
长线交 C 于点 D，且 =2 .求椭圆 C 的离心率.
【解题指南】由 =2 ，建立关于参数 a，c 的等量关系，求其离心率便可.
【解析】不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，其中 F 是左焦点，B 是上顶点，则 F(-c，0)，
B(0，b)，设 D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，
所以
解得 x=- c，y=- .
又因为点 P 在椭圆 C 上.
所以 + =1.
整理得 = ，所以 e= = .
6.已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是 2∶ .
(1)求椭圆 C 的方程.
(2)设点 M(m，0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点.当| |最小时，点 P 恰好落
在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围.
【解析】(1)由题意知
解得
所以椭圆 C 的方程为 + =1.
(2)设 P (x0，y0)，且 + =1，
所以| |2=(x0-m)2+
= -2mx0+m2+12
= -2mx0+m2+12
= (x0-4m)2-3m2+12.
所以| |2 为关于 x0 的二次函数，开口向上，对称轴为 4m.
由题意知，当 x0=4 时，| |2 最小，
所以 4m≥4，所以 m≥1.
又点 M(m，0)在椭圆长轴上，所以 1≤m≤4.
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