【数学】2020届一轮复习人教A版分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业

‎57　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．一购物中心销售某种型号的智能手机，其中国产的品牌有20种，进口的品牌有10种，小明要买一部这种型号的手机，则不同的选法有(　　)‎ A．20种　　　　　　　　B．10种 C．30种 D．200种 解析：分类完成此事，一类是买国产品牌，有20种选法，另一类是买进口品牌，有10种选法．由分类加法计数原理可知，共有20＋10＝30(种)选法．‎ 答案：C ‎2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选取，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选取，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)‎ A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．‎ 答案：D ‎3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　)‎ A．24　　　　B．48　　　　C．60　　　　D．72‎ 解析：先排个数，再排十位，百位，千位、万位，依次有2,4,3,2,1种排法，由分步乘法计数原理知：2×4×3×2×1＝48.‎ 答案：B ‎4．从集合{1,2,3，…‎ ‎，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ 解析：当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为，，时，也有4个．故共有2＋1＋1＋4＝8(个)．‎ 答案：D ‎5．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是(　　)‎ A．20 B．16 C．10 D．6‎ 解析：当a当组长时，则共有1×4＝4(种)选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，则共有4×3＝12(种)选法．因此共有4＋12＝16种选法．‎ 答案：B ‎6．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　　)‎ A．56 B．54 C．53 D．52‎ 解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．‎ 答案：D ‎7．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x、y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，则A*B中元素的个数是(　　)‎ A．7 B．10 C．25 D．52‎ 解析：由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2×5＝10.‎ 答案：B ‎8．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)‎ A．240 B．204 C．729 D．920‎ 解析：分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；‎ 当中间数为3时，有2×3＝6个；‎ 当中间数为4时，有3×4＝12个；‎ 当中间数为5时，有4×5＝20个；‎ 当中间数为6时，有5×6＝30个；‎ 当中间数为7时，有6×7＝42个；‎ 当中间数为8时，有7×8＝56个；‎ 当中间数为9时，有8×9＝72个；‎ 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．‎ 答案：A ‎9.‎ 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)‎ A．64 B．72‎ C．84 D．96‎ 解析：分两种情况：‎ ‎(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)．‎ ‎(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)．共有72种．‎ 答案：C ‎10．A与B是I＝{1,2,3,4}的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个理想配集，若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是(　　)‎ A．4 B．8 C．9 D．16‎ 解析：对子集A分类讨论．当A是二元集{1,2}，B可以为{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}共4种情况；当A是三元集{1,2,3}，B可以取{1,2,4}，{1,2}共有2种情况；当A是三元集{1,2,4}，B可以取{1,2,3}，{1,2}，共有2种情况；当A是四元集{1,2,3,4}，此时B取{1,2}有1种情况，根据分类加法计数原理得4＋2＋2＋1＝9种，故符合此条件的“理想配集”‎ 有9个．故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎11．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．‎ 解析：当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；‎ 当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个；‎ 当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个；‎ 当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个；‎ 当x＝5时，y可取的值为1，共1个．‎ 即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个，由分类加法计数原理，得不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．‎ 答案：15‎ ‎12．在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________．‎ 解析：依题意可知：‎ 当a＝1时，b＝5,6，两种情况；‎ 当a＝2时，b＝5,6，两种情况；‎ 当a＝3时，b＝4,5,6三种情况；‎ 当a＝4时，b＝3,5,6，三种情况；‎ 当a＝5或6时，b各有五种情况．‎ 所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况．‎ 答案：20‎ ‎13．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有______个．‎ 解析：A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；‎ A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；‎ A＝{3}时，B有1种情况；‎ A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；‎ A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．‎ 答案：17‎ ‎14．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．‎ 解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．‎ 答案：10‎ ‎15．[2019·太原市高三模拟]某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛(每支球队与其他7支球队各比赛一场)，计分规则是：胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分．下面关于这8支球队的得分情况叙述正确的是(　　)‎ A．可能有两支球队得分都是14分 B．各支球队最终得分总和为56分 C．各支球队中最高得分不少于8分 D．得奇数分的球队必有奇数个 解析：8支篮球队进行单循环赛，总的比赛场数为7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28，每场比赛两个队得分之和总是2分，∴各支球队最终得分总和为56分，故选B.‎ 答案：B ‎16．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有 序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．‎ 解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；‎ 第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；‎ 第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；‎ 第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．‎ 根据分步乘法计数原理，知值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.‎ 答案：300‎ ‎17.‎ 如图所示的几何体由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．‎ 解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法．‎ 答案：12‎