高考数学三角函数的图像和性质问题解析版

高考数学三角函数的图像和性质问题解析版

【高考地位】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性 质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具， 因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也 要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合 的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】 类型一 求三角函数的单调区间 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数 ,A  的正负； 第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间. 例 1 函数 cos( 2 )4y x  的单调递增区间是（ ） A．[kπ＋ 8  ，kπ＋ 8 5 π] B．[kπ－ 8 3 π，kπ＋ 8  ] C．[2kπ＋ 8  ，2kπ＋ 8 5 π] D．[2kπ－ 8 3 π，2kπ＋ 8  ]（以上 k∈Z） 【答案】B. 考点：三角函数单调性. 【点评】本题解题的关键是将 24 x  作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数 cos( 2 )4y x  的单调 递增区间转化为 24 x   在区间 2 ,2k k    上递减的. 【变式演练 1】已知函数 ),0)(62sin()(  xxf 直线 21, xxxx  是 )(xfy  图像的任意两条对称 轴，且 21 xx  的最小值为 2  ．求函数 )(xf 的单调增区间； 【答案】 Zkkk  ],6,3[  . 【解析】 试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求 ，根据公式求此函数的单调递增区间. 试 题 解 析 ： 由 题 意 得 ,T 则 1, ( ) sin(2 ).6f x x      由 2 2 2 ,2 6 2k x k         解 得 .,63 Zkkxk   故 )(xf 的单调增区间是 Zkkk  ],6,3[  . 考点：1．    xAy sin 的单调性； 【变式演练 2】已知函数 的一系列对应值如下表： [来源:ZXXK] （1）根据表格提供的数据求函数 的解析式； （2）求函数 的单调递增区间和对称中心； 【答案】（1） （2） 52 2 ( )6 6k k k        Z， . （2）当 ，即 时，函数 单调递 增．令 ，得 ，所以函数 的对称中心为 ． 考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法 [来源:Z*xx*k.Com] 类型二 由 sin( )y A x   的图象求其函数式 使用情景：一般函数 sin( )y A x   求其函数式 解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与 x 轴交点坐标等； 第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数 , ,A   中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数； 第四步 得出 结论. 例 2 已知函数 sin( )y A x   ),2,0)(sin( RxxAy  的图象如图所示，则该函数的 解析式是（ ） （A） )48sin(4  xy （B） )48sin(4  xy （C） )48sin(4  xy （D） )48sin(4  xy 【答案】D 考点：    xAy sin 的图像 【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与 x 轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得 的大小； 然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与 x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到 的大小. 【变式演练 3】已知函数    sinf x A x   （其中 0, 0, 2A     ）的部分图象如图所示，则  f x 的解析式为（ ） A．   2sin 3f x x      B．   2sin 2 6f x x      C．   2sin 2 6f x x      D．   2sin 4 6f x x      【答案】B 【解析】 考点：由 )sin(   xAy 的部分图像确定解析式。 【变式演练 4】函数 sin( )( 0, 0,| | )2y A x A         的图象如图所示，则 y 的表达式为（ ） A． )611 10sin(2  xy B． )611 10sin(2  xy C． )62sin(2  xy D． )62sin(2  xy 【答案】C 【解析】 试题分析：由图像可知最大值为 2，所以 A=2，周期 22 23 6T           ，代入点 ,26      得 sin 13 6          ，所以函数式为 )62sin(2  xy 考点：三角函数图像及性质 【变式演练 5】已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ） A． sin( )4y x   B． 3sin(2 )4y x   C. cos( )4y x   D． 3cos(2 )4y x   【答案】C 【解析】 考点：三角函数解析式[来源:] 【变式演练 6】函数 sin( )( 0, 0,0 )y A x A          在一个周期内的图象如下，此函数的解析式 为（ ） A． 2sin( )2 3 xy   B． 2sin(2 )3y x   C． 22sin(2 )3y x   D． 2sin(2 )3y x   【答案】C 【解析】 试题分析：因   )1212 5(2T ,故 2 ,借助图象可以看出 2A ,所以 )2sin(2  xy ,将 12 x 代入可得 1)6sin(   ,故 3 22622   kk ,应选 C． 考点：三角函数的图象和性质及运用． 【变式演练 7】如图所示，是函数 sin( )y A x k    （ 0A  ， 0  ，| | 2   ）的图象的一部分， 则函数解析式是（ ） A． 2sin(2 ) 16y x    B． sin(2 ) 13y x    C． 12sin( ) 22 6y x    D． sin(2 ) 23y x    【答案】A 【解析】 【方法点晴】本题主要考查函数 sin( )y A x   的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按 , , ,A k   顺序求解），但计算量稍大，速度较慢．本题可以采用排除法解题速度较快，即先由 3 ( 1) 22A    排除 B、D，由 3 ( 1) 12k    排除 C，可得正确答案 A．故解决此类题型的常用方法有： 1、采用直接法（即按 , , ,A k   顺序求解）．2、排除法（抓住部分特征进行排除）． 类型三 求三角函数的周期 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 利用恒等变换将其化成“ sin( )y A x   、 cos( )y A x   ”的形式； 第二步 运用周期的计算公式 2T   直接计算可得所求. 第三步 得出结论. 例 3 设 )0(cossin)(   xbxaxf 的周期 T ，最大值 4)12( f ，（1）求 、 a 、b 的值； （2） 的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若 )tan(0)(  xf 。 【答案】（1） 2, 3a b  ；（2） 3 3 . 【点评】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性. 【 变 式 演 练 8 】 设 函 数 )sin()(   xxf ， 0,0  A ， 若 )(xf 在 区 间 ]2,6[  上 单 调 ， 且              63 2 2  fff ，则 )(xf 的最小正周期为（ ） A． 2  B．2π C．4π D．π 【答案】D 【解析】 试题解析： )sin()(   xxf 在区间 ]2,6[  上单调， 0 ，      2 2 1 26-2 T ，即 30   ， 又              63 2 2  fff ， 12 7 2 3 2 2     x 为 )sin()(   xxf 的一条对称轴，且 32 62     ， 则 )0,3( 为 )sin()(   xxf 的一个对称中心，由于 30   ，所以 12 7x 与 )0,3( 为同一周期里相邻 的对称轴和对称中心，则   )312 7(4T .选 D. 考点：三角函数图象与性质. 【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断 的范围，根据函数值相等可判断函数图象的 对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函 数的周期. 【变式演练 9】函数 cos( 2 ) sin( 2 )3 6y x x     的最小正周期__________． 【答案】 【解析】 考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换． 【变 式演练 10】已知函数 1( ) 2sin( ) cos6 2f x x x     （其中 0  ）的最小正周期为 π . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ） 将函数 ( )y f x 的图象向左平移 6  个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐 标不变，得到函数 ( )g x 的图象.求函数 ( )g x 在[ ] ， 上零点. 【答案】（Ⅰ）  ；（Ⅱ） 6  和 6  . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期求得 的值；（Ⅱ） 首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得 ( )g x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求得函数 的零点. 试题解析：（Ⅰ） 21 1( ) 2sin( ) cos 3sin cos cos6 2 2f x x x x x x            3 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 6x x x       . 由最小正周期 2 2T     ，得 .6 分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ( ) sin(2 )6f x x   ，将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  个单位， 得到图象的解析式 ( ) sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6h x x x       ， 将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 ( ) sin( )6g x x   .[来源:ZXXK] 由 6x k k    Z， ，得 6x k    ， 故当 [ ]x  ， 时，函数 ( )g x 的零点为 6  和 6  .12 分 考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性 质. 【变式演练 11】已知函数 1)cos(sincos2)(  xxxxf . （1）求函数 )(xf 的最小正周期和单调增区间； （2） ABC 中，锐角 A 满足 1)( Af ， 2b ， 3c ，求 a 的值. 【答案】（1） )(xf 的最小正周期为 ；单调增区间为 )](8 3,8[ Zkkk   ；（2） 5a . 【解析】 试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得 ( ) 2 sin(2 )4f x x   ，由 2 2T    可求该函数的最小正周期，由 )(224222 Zkkxk   可求函数的单调递增区 间；（2）由 ( ) 1f A  先求出角 4A  ，再利用正弦定理即可求 a . （2）由题意知 1)42sin(2)(  AAf ， 2 2)42sin(  A ， 又 A 为锐角，∴ 442  A ，∴ 4 A ， 由余弦定理得 54cos322922  a ，∴ 5a . 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理. 【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用同角三角函数 基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是 解题的基础. 【高考再现】 1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x        ， 为 ( )f x 的零点, 4x  为 ( )y f x 图像的对称轴,且 ( )f x 在 5 18 36       ， 单调,则 的最大值为( ) （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 考点：三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题. 注意本题解法中用到的两个结论:①     sin 0, 0f x A x A      的单调区间长度是半个周期;②若     sin 0, 0f x A x A      的图像关于直线 0x x 对称,则  0f x A 或  0f x A  . 2. 【2016 高考新课标 2 理数】若将函数 2sin 2y x 的图像向左平移 12  个单位长度，则平移后图象的对称 轴为（ ） （A） ( )2 6 kx k Z    （B） ( )2 6 kx k Z    （C） ( )2 12 kx k Z    （D） ( )2 12 kx k Z    【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，将函数 2sin 2y x 的图像向左平移 12  个单位得 2sin 2( ) 2sin(2 )12 6y x x     ， 则平移后函数的对称轴为 2 ,6 2x k k Z      ，即 ,6 2 kx k Z    ，故选 B. 考点： 三角函数的图象变换与对称性. 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 3. 【2016 高考浙江理数】设函数 2( ) sin sinf x x b x c   ，则 ( )f x 的最小正周期（ ） A．与 b 有关，且与 c 有关 B．与 b 有关，但与 c 无关 C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关 【答案】B 【解析】 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期． 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数  f x ，再判断b 和 c 的取值是否影响函数  f x 的 最小正周期． 4. 【2016 年高考北京理数】将函数 sin(2 )3y x   图象上的点 ( , )4P t 向左平移 s （ 0s  ） 个单位长度 得到点 'P ，若 'P 位于函数 sin 2y x 的图象上，则（ ） A. 1 2t  ， s 的最小值为 6  B. 3 2t  ， s 的最小值为 6  C. 1 2t  ， s 的最小值为 3  D. 3 2t  ， s 的最小值为 3  【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得， 1sin(2 )4 3 2t      ，故此时 'P 所对应的点为 1( , )12 2  ，此时向左平移 -4 12 6    个单位，故选 A. 考点：三角函数图象平移 【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移 变换时，当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的 图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 5. 【2016 高考山东理数】函数 f（x）=（ 3 sin x+cos x）（ 3 cos x –sin x）的最小正周期是（ ） （A） 2 π （B）π （C） 2 3π （D）2π 【答案】B 【解析】 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典 型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易， 能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 6. 【2016 高考天津理数】已知函数 f(x)=4tanxsin( 2 x  )cos( 3x  )- 3 . （Ⅰ）求 f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 f(x)在区间[ ,4 4   ]上的单调性. 【答案】（Ⅰ） ,2x x k k Z        ， . （Ⅱ）在区间 ,12 4      上单调递增, 在区间 4 12       ， 上单调递减. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：  ( )=2sin 2 3f x x  ，再根据正弦函数性质求定义域、周期  根据（1）的结论，研究三角函数 在区间 [ ,4 4   ]上单调性。   解：令 2 ,3z x   函数 2siny z 的单调递增区间是 2 , 2 , .2 2k k k Z         [来源:Z_xx_k.Com] 由 2 2 22 3 2k x k         ,得 5 , .12 12k x k k Z        设 5, , ,4 4 12 12A B x k x k k Z                    ，易知 ,12 4A B       . 所以, 当 ,4 4x       时,  f x 在区间 ,12 4      上单调递增, 在区间 4 12       ， 上单调递减. 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表 示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、 配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的 保证. 对于三角函数来说，常常是先化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角 恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化 思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 7.【2015 高考浙江，文 11】函数   2sin sin cos 1f x x x x   的最小正周期是 ，最小值 是 ． 【答案】 3 2, 2   【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角 函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换 的运用. 8.【2015 高考陕西，文 14】如图，某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y＝3sin( 6  x＋Φ) ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________. 【答案】8 【考点定位】三角函数的图像和性质. 【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图 像中知此题sin( ) 16 x     时， y 取得最小值，继而求得 k 的值，当sin( ) 16 x    时， y 取得最 大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性. 9.【2015 高考上海，文 1】函数 xxf 2sin31)(  的最小正周期为 . 【答案】 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式. 【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为 xxf 2cos2 3 2 1)(  ，再根据  2T 求周期. 二 倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用. 10.【2015 高考湖南，文 15】已知 >0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图像 的交点中，距离最短的两个 交点的距离为 2 3 ，则 =_____. 【答案】 2   【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结 合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作 图法上理解. 11.【2015 高考天津，文 14】已知函数    sin cos 0f x x x     , xR ,若函数  f x 在区间  ,  内单调递增,且函数  f x 的图像关于直线 x  对称,则 的值为 ． 【答案】 π 2 【考点定位】本 题主要考查三角函数的性质. 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一 起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题. 注意本题解法中用到的两个结论:①     sin 0, 0f x A x A      的单调区间长度是半个周期;②若     sin 0, 0f x A x A      的图像关于直线 0x x 对称,则  0f x A 或  0f x A  . 12.【2015 高考北京，文 15】（本小题满分 13 分）已知函数   2sin 2 3sin 2 xf x x  ． （I）求  f x 的最小正周期； （II）求  f x 在区间 20, 3      上的最小值． 【答案】（I） 2 ；（II） 3 . （Ⅱ）∵ 20 3x   ，∴ 3 3x     . 当 3x    ，即 2 3x  时， ( )f x 取得最小值. ∴ ( )f x 在区间 2[0, ]3  上的最小值为 2( ) 33f    . 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于 中档题．解题时要注意重要条件“ 20, 3      ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、 辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即 2 1 1sin cos22 2     ，  2 2sin cos sina x b x a b x     ，函数    sinf x x    （ 0  ， 0  ）的最小正周期是 2   ． 【反馈练习】 1．【 2016-2017 学年福建南安侨光中学高二上第一次阶段考试数学试卷，理 10】函数    2f x sin x   ， 其中 为实数，若   6f x f      对 x R 恒成立，且 ( ) ( )2f f  ，则  f x 的单调递增区间是（ ） A．  2 6 3k ,k k Z        B． , ( )2k k k Z      C． , ( )3 6k k k Z        D． , ( )2k k k Z      【答案】A 【解析】 考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换. 2．【 2017 届浙江温州中学高三 10 月高考模拟数学试卷，理 8】已知函数 ( ) sin 3 cos ( 0)f x x x     的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 2  ，若将函数 ( )y f x 的图象向左平移 6  个单位得到函数 ( )y g x 的图象，则 ( )y g x 是减函数的区间为（ ） A. ( , )4 3   B. ( , )4 4   C. (0, )3  D. ( ,0)3  【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 )3sin(2)(   xxf , 所 以 22 T , 即    2T , 则 2 , 故 )32sin(2)(  xxf , xxxg 2sin2]3)6(2sin[2)(   ,故其减区间为  kxk 22 3222  , 即  kxk  4 3 4 ,故应选 A. 考点：三角变换及正弦函数的图象和性质. 3 ．【 2017 届 安 徽 屯 溪 一 中 高 三 上 学 期 月 考 二 数 学 试 卷 ， 文 7 】 已 知 函 数 )0)(2cos(3)2sin()(   xxxf 是 R 上的偶函数，则 的值为（ ） A． 6  B． 3  C． 3 2 D． 6 5 【答案】A 【解析】 试题分析： )32sin(2)]2cos(2 3)2sin(2 1[2)2cos(3)2sin()(   xxxxxxf , ∵ )(xf 为偶函数，∴ )(23 Zkk   ，又∵  0 ，∴ 6  ，故选 A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质． 4．【 2017 届河南息县一高中高三上月考一数学试卷，理 7】下列对于函数 ( ) 3 cos2f x x  ， (0,3 )x  的判断正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的周期为 B．对于 a R  ，函数 ( )f x a 都不可能为偶函数 C． 0 (0,3)x  ，使 0( ) 4f x  D．函数 ( )f x 在区间 5,2 4       内单调递增 【答案】C 【解析】 考点：三角函数的性质． 5．【 2017 届河北沧州一中高三 10 月月考数学试卷，理 9】已知函数 1( ) sin( )6 2f x x    ， x R ，且 1( ) 2f    ， 1( ) 2f   .若| |  的最小值为 3 4  ，则 的值为（ ） A． 4 3 B． 2 3 C．1 D． 8 3 【答案】B 【解析】 试题分析：由题设 1)6sin(   , 0)6sin(   ,则 44 3 T ,即   32 T ,故 3 2 ,故应选 B． 考点：三角函数的图象和性质的综合运用. 6．【 2017 届河北武邑中学高三周考 10.9 数学试卷，文 9】若 ( ) 2cos( )f x x m    ，对任意实数 t 都 有 ( ) ( )4f t f t   ，且 ( ) 18f    ．则实数 m 的值等于（ ） A． 1 B．-3 或 1 C． 3 D．-1 或 3 【答案】B 【解析】 考点：三角函数的图象与性质． 7 ．【 2017 届 河 南 新 乡 市 高 三 上 学 期 第 一 次 调 研 数 学 （ 理 ） 试 卷 ， 理 8 】 已 知 函 数    2sin 0, 2 2f x x              的部分图象如图所示，则把函数  f x 的图像向左平移 6  后得 到的函数图象的解析式是（ ） A． 2sin 2y x B． 2sin 2 3y x      C． 2sin 2 6y x      D． 2sin 6y x      【答案】A 【解析】 试题分析：由图可知， 3 5 3 , , 24 12 3 4T T         ，所以    2sin 2f x x   ， 5 52sin 2,12 6 3f                  ，所以   2sin(2 )3f x x   ，向左移 6  后得到   2sin 2f x x . 考点：三角函数图象与性质，三角函数图象变换． 8 ．【 2017 届 河 北 冀 州 中 学 高 三 复 习 班 上 段 考 二 数 学 （ 理 ） 试 卷 ， 理 14 】 函 数 ( ) sin( )( 0, 0,0 2 )f x A x A          在 R 上 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 (2014)f 的 值 为 ___________． 【答案】 5 2  【解析】 考点：由 ( ) sin( )( 0, 0,0 2 )f x A x A          的部分图象确定解析式． 9 ．【 2017 届 重 庆 市 第 十 一 中 学 高 三 9 月 月 考 数 学 试 卷 ， 文 14 】 函 数 )220)(sin(2)(   ，xxf 的部分图象如图所示，则 )4(f . 【答案】 3  【解析】 试题分析： 11 52( )12 12T      , 2 2   ， 52 2 ,12 2k k Z       ，即 2 3k    ，k Z ， 又 2 2     ，∴ 3    . 考点：函数 ( ) sin( )f x A x   的图象与性质. 10 ．【 2017 届 四 川 资 阳 市 高 三 上 学 期 第 一 次 诊 断 数 学 （ 文 ） 试 卷 ， 文 19 】 已 知 函 数 1( ) 2sin( ) cos6 2f x x x     (其中 0  )的最小正周期为 π . (Ⅰ) 求 的值； (Ⅱ) 将函数 ( )y f x 的图象向左平移 6  个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标 不变，得到函数 ( )g x 的图象.求函数 ( )g x 在[ ] ， 上零点. 【答案】(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 6  和 6  . 【解析】 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ( ) sin(2 )6f x x   ，将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  个单位， 得到图象的解析式 ( ) sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6h x x x       ， 将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 ( ) sin( )6g x x   . 由 6x k k   Z， ，得 6x k    ， 故当 [ ]x  ， 时，函数 ( )g x 的零点为 6  和 6  .12 分 考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性 质. 11. 【 2017 届 新 疆 生 产 建 设 兵 团 二 中 高 三 上 月 考 二 数 学 试 卷 ， 理 17 】 已 知 函 数 2( ) sin( )cos( ) cos4 4f x x x x     . （1）试求 ( )f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）已知 a ，b ， c 分别为 ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边，若 ( ) 12 Af  ， 2a  ，试求 ABC 面积 的最大值. 【答案】（1）T  ，[ , ]2k k    ， k Z ；（2） 3 . 【解析】 试题分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简得   2 12cos  xxf .再由三角函数的周期公式和单调区间 的公式解不等式，可得  xf 的最小正周期和单调递减区间；（2）由函数  xf 的表达式，解出 3 A .利 用余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   的式子，结合基本不等式解出 4bc  .由此利用三角形的面积公式，可 得当且仅当 2b c  时 ABC 的面积有最大值，并可求出这个最大值. （2） 1 1( ) 1 cos 1 cos2 2 2 3 Af A A A         . 又∵ 2a  ， 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 2 24 b c bc bc    ，∴ 4bc  . 1 sin2ABCS bc A  1 34 32 2     . 当且仅当 2b c  时取等号. 考点：（1）三角函数的周期性及其求法；（2）余弦定理；（3）三角形中的面积计算.