福建省厦门市2020届高三第一次质量检查(一模考试)数学(文)试题 Word版含解析

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福建省厦门市2020届高三第一次质量检查(一模考试)数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学(文科)试题 满分150分考试时间120分钟 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将答题卡交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合,再进行交集运算,即可得答案;‎ ‎【详解】或,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设,则z的共轭复数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简复数,再根据共轭复数的概念,即可得答案;‎ - 26 -‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎3.已知是双曲线的一个焦点,则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出关系式,求解,然后得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】解:由已知为双曲线的一个焦点可得,,即,‎ 所以渐近线方程为:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.‎ ‎4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目,得到如下列联表:‎ 男 女 总计 喜欢 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不喜欢 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 已知 - 26 -‎ 附表:‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 则以下结论正确的是( )‎ A. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”‎ B. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接将数据代入卡方公式中计算,即可得答案;‎ ‎【详解】,‎ 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验思想,考查考数据处理能力,属于基础题.‎ ‎5.设x,y满足约束条件则的最大值为( )‎ A. -2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的可行域,当直线过点时,取最大值.‎ ‎【详解】作出约束条件所表示的可行域,如图所示,则,‎ 当直线过点时,直线在轴上的截距达到最小,即达到最大值,‎ - 26 -‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划最值问题,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查运算求解能力,求解时注意直线截距几何意义的运用.‎ ‎6.已知为第三象限角,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得为第一象限角,再对两边平方可得,最后利用同角三角函数基本关系,即可得答案;‎ ‎【详解】,为第三象限角,‎ ‎,,‎ 为第一象限角,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:D - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意根据条件缩小角度范围,才不会出现符号错误.‎ ‎7.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体,将上底面绕着上、下底面中心连线(对称轴)旋转90度,得到一个刍童(如图),则该刍童的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定几何体外接球的球心,再利用勾股定理求出外接球的半径,代入球的表面积公式,即可得答案;‎ ‎【详解】如图所示,取对称轴的中点,下面底的中心,连结,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积计算,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时外接球心的确定是解题的关键.‎ - 26 -‎ ‎8.将函数的图象向左平移个单位,得到一个偶函数的图象,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数,进而得到平移后的函数解析式,利用函数为偶函数,则轴为函数的一条对称轴,即可得到是函数的最值,得到的值后,即可得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 图象向左平移个单位得,‎ 时,,‎ ‎,即,‎ 当,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换的辅助角公式、平移变换及图象与性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意平移变换是针对自变量而言的,要注意自变量的系数问题.‎ ‎9.函数的部分图象大致为( )‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为非奇非偶函数,可排除B,D,再根据且函数值的正负,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ 函数为非奇非偶函数,可排除B,D,‎ 当且时,,,‎ 即,故排除A,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意极限思想的应用.‎ ‎10.如图,边长为2的正方形中,分别是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点,则线段的长为( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示,连接交于点,连接、,利用余弦定理求出,再利用余弦定理求得的值.‎ ‎【详解】如图所示,连接交于点,连接、,‎ 在中,,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、余弦定理的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎11.若关于x的不等式在区间内有解,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 利用参变分离,构造函数,求出函数在区间的最小值,即可得答案;‎ ‎【详解】由题意得:在区间内有解,‎ 令,则,‎ ‎,,‎ 在单调递增,在单调递减,‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式有解问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意有解问题与恒成立问题的区别.‎ ‎12.已知是边长为的正三角形,为该三角形内切圆的一条弦,且.若点P在的三边上运动,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得,再利用向量加法的几何意义,将的最大值转化为求的最大值.‎ ‎【详解】如图所示,在中,内切圆的半径,‎ 在中,,‎ - 26 -‎ ‎,,‎ 取的中点,连结,‎ 当,分别取最大值时,取得最大值,‎ 当点运动到三角形的顶点,且顶点与的连线垂直于时,,分别取最大值时,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,若,则x的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直,数量积为0直接计算,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直数量积为0的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎14.若曲线在点处的切线与直线平行,则a的值为____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得,进而得到,解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】,,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎15.已知倾斜角为的直线l经过椭圆E的左焦点,以E的长轴为直径的圆与l交于A,B两点,若弦长AB等于E的焦距,椭圆E的离心率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的弦长公式等于得到关于的方程,即可得答案;‎ ‎【详解】设直线的方程为,圆的半径为,圆心到直线的距离为,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式、椭圆的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎16.如图,某景区有景点A,B,C,D.经测量得,,‎ - 26 -‎ ‎,则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM,并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果,要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本,栈道BM长度的最小值为___________. ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理求得的值,即可得答案;‎ ‎(2)设外心为,连接交于点,利用正弦定理求出外接圆的半径,根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径,利用余弦定理求得的值,即可得答案;‎ ‎【详解】(1),‎ ‎,为正三角形,‎ ‎.‎ ‎(2)设的外心为,连接交于点,‎ 则,‎ ‎,‎ 的最小值为,‎ - 26 -‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的最小值为,‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较大.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.在数列中,,且成等差数列.‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)设前n项和为求使得成立的n的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)8‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等差中项得,进而转化成,即可得答案;‎ ‎(2)利用等比数列前项和公式进行求和,再解不等式,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)因为成等差数列,所以,‎ 当时,有,得, ‎ 所以,又,所以,‎ 所以是首项为2,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 所以,所以.‎ 所以 ‎ ‎,‎ 所以即, ‎ 因为,所以数列为递增数列.‎ 当时,,不满足,当时,满足.‎ 所以满足不等式的最大的正整数n的值为8.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义,考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算,考查运算求解能力,化归与转化思想等.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知动圆E过点,且与直线相切.动圆圆心E轨迹记为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F作斜率为的直线l交C于A,B两点,使得,点Q在m - 26 -‎ 上,且满足,求的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据抛物线的定义,即可得到轨迹C的方程;‎ ‎(2)依题意可设直线l的方程为:,根据可求得点或,再分别计算三角形的面积即可.‎ ‎【详解】(1)依题意:平面内动点E到定点和到定直线的距离相等, ‎ 根据抛物线的定义,曲线C是以点F为焦点,直线为准线的抛物线,‎ 其方程为.‎ ‎(2)依题意可设直线l的方程为:.‎ 联立,得,得 ‎ 由,得,‎ 所以,即,又由,得, ‎ 故:.‎ ‎,‎ - 26 -‎ 化简得:,解得或3,即或. ‎ 当Q为时,点Q到直线l的距离为,‎ ‎;‎ 当Q为时,点Q到直线l距离为,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识,考查运算求解能力、推理论证能力等,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,为等边三角形,点E,F分别为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)已知平面平面,过E,F,C三点的平面将四棱锥P-ABCD分成两部分,求这两部分体积的比.‎ ‎【答案】(1)见解析(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)如图,取PB的中点G,连接GC,EG,证明四边形是平行四边形,再利用线面平行判定定理,即可证得结论;‎ - 26 -‎ ‎(2)如图,取PB的中点G,由(1)可知,,所以过的平面即为平面EGCD. 分别计算和的值,再求比值即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)如图,取PB的中点G,连接GC,EG.‎ E是PA的中点,,且,‎ 又正方形,‎ ‎,且.‎ ‎∵F是CD的中点,且,‎ ‎∴四边形是平行四边形, ‎ 又平面,平面,平面. ‎ ‎(2)如图,取PB的中点G,由(1)可知,,所以过的平面即为平面EGCD. ‎ 是等边三角形,E是AP中点,.‎ 在正方形中,,‎ ‎∵平面平面,平面平面,平面,‎ - 26 -‎ 平面,∵由(1)可知,平面,‎ 平面. ‎ ‎.‎ 在四棱锥中,平面,,‎ ‎∴底面为直角梯形,又∵底面边长为2,是等边三角形,‎ ‎,又,‎ ‎. ‎ 取AD的中点N,连接PN.‎ 是等边三角形,N是AD中点,.‎ 又∵平面平面ABCD,平面平面平面 平面,‎ ‎ ‎ 所以,所以被平面EFC分成的两部分的体积比为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等.‎ ‎20.某批库存零件在外包装上标有从1到N连续自然数序号,总数N未知,工作人员随机抽取了n个零件,它们的序号从小到大依次为:.现有两种方法对零件总数N进行估计.‎ 方法一:用样本的数字特征估计总体的数字特征,可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等,进而可以得到N的估计值.‎ 方法二:因为零件包装上的序号是连续的,所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数,这n个整数将区间分为个小区间:‎ - 26 -‎ ‎.由于这n个数是随机抽取的,所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等,进而可以得到N的估计值.‎ 现工作人员随机抽取了31个零件,序号从小到大依次为:83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791.‎ ‎(1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.(结果四舍五入保留整数)‎ ‎(2)将第(1)问方法二估计的总数N作为这批零件的总数,从中随机抽取100个零件测量其内径y(单位:mm),绘制出频率分布直方图(如下图).已知标准零件的内径为200mm,将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品,请求出优等品的内径范围(结果四舍五入保留整数).‎ ‎【答案】(1)3091,2880;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)方法一,31个零件序号的中位数为1546,所有零件序号的中位数为;方法二,抽取的31个零件将划分为32个区间,平均长度为,列方程即可求得的值;‎ ‎(2)抽取的720件优等品占总数的,依题意得,再根据频率分布直方图的面积为,可计算的近似值,从而得到答案;‎ - 26 -‎ ‎【详解】(1)方法一:31个零件序号的中位数为1546,所有零件序号的中位数为, ‎ 依题意得,解得. ‎ 方法二:抽取的31个零件将划分为32个区间,平均长度为,前31个区间的平均长度为, ‎ 依题意得,解得. ‎ ‎(2)抽取的720件优等品占总数的,依题意得 ‎ 由频率分布直方图可知:‎ ‎,故,‎ 则, ‎ 解得.故优等品的范围为. ‎ 因为,所以内径为205的零件不能作为优等品.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图,样本数字特征估计总体数字特征等知识;考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力,考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的极值点;‎ ‎(2)若在区间内有且仅有4个零点的充要条件为,求证:.‎ ‎【答案】(1)极小值点,无极大值点.(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入解析式得,再进行求导得,利用导数研究导数等于0的方程的根,即可得答案;‎ - 26 -‎ ‎(2)当时,,故且 ,‎ 令,则,对区间分三种情况讨论,即,,分别研究在各个区间内零点的个数,从而得到,再利用导数研究的取值范围,即可证得结论;‎ ‎【详解】(1),,‎ 当时,,当时,.‎ ‎∴当时,,又,‎ 是奇函数,∴当时,. ‎ ‎∴综上,当时,单调递减;当时,单调递增;‎ 因此为函数的极小值点,无极大值点. ‎ ‎(2)当时,,故且 ‎ 令,则,‎ ‎1°当时,单调递减,当;‎ ‎2°当时,令,则单调递减,又,故存在使得,即当 - 26 -‎ 时,,单调递减;当时,单调递增;‎ ‎3°当时,单调递增;‎ 综上可知:在上单调递减,在上单调递增. ‎ 由于为偶函数,只需函数与在上有两个交点.‎ ‎ ‎ 以下估计的范围:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴令,则,‎ 在单调递减,,‎ ‎,结论得证.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想,函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4−4:坐标系与参数方程]‎ - 26 -‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为,曲线C的方程为,动点P到原点O的距离与到l的距离相等.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程;‎ ‎(2)若Q是曲线C上一点,且,求.‎ ‎【答案】(1),.(2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,代入圆的方程,即可得到圆的极坐标方程;对点P在y轴右侧时,P在y轴,y轴左侧时,三种情况进行讨论,均可得到;‎ ‎(2)因为,所以设点,且,求出的值,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)由得,.‎ 因为,所以,即为C的极坐标方程. ‎ 当P在y轴右侧时,过点P作x轴的垂线,垂足为M,作y轴的垂线,垂足为N,设l与x轴的交点为R,‎ 因为点P到原点距离与到l距离相等,所以.‎ 在中,,所以.‎ ‎ ‎ - 26 -‎ 因为,所以.‎ 当P在y轴或y轴左侧时,满足.‎ 综上,P点轨迹的极坐标方程为. ‎ ‎(2)因为,所以设点,且.‎ 又,所以, ‎ 解得,所以.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎[选修4−5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数 ‎(1)若,证明:;‎ ‎(2)若,对于任意的恒成立,求c的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,两边平方后,再利用基本不等式,即可证明结论;‎ ‎(2)当时,,因为对于任意的恒成立,所以取可求得或,再进一步验证或使命题成立.‎ ‎【详解】(1)由已知得, ‎ 所以 ‎ ‎,‎ - 26 -‎ 所以. ‎ ‎(2)当时,,‎ 因为对于任意的恒成立,‎ 所以,解得或.‎ ‎①当时,在为减函数,‎ 所以,即.‎ ‎②当时,在为减函数,‎ 所以,即. ‎ 综上所述,或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力等;考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法.‎ - 26 -‎ - 26 -‎
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