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文档介绍
福建省厦门市2020届高三第一次质量检查(一模考试)数学(文)试题 Word版含解析
www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学(文科)试题 满分150分考试时间120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将答题卡交回. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式化简集合,再进行交集运算,即可得答案; 【详解】或, , 故选:C. 【点睛】本题考查集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题. 2.设,则z的共轭复数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简复数,再根据共轭复数的概念,即可得答案; - 26 - 【详解】, , 故选:A. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念,考查运算求解能力,属于基础题. 3.已知是双曲线的一个焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用已知条件列出关系式,求解,然后得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解:由已知为双曲线的一个焦点可得,,即, 所以渐近线方程为:. 故选:. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查. 4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目,得到如下列联表: 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 已知 - 26 - 附表: 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是( ) A. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 直接将数据代入卡方公式中计算,即可得答案; 【详解】, 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”, 故选:A. 【点睛】本题考查独立性检验思想,考查考数据处理能力,属于基础题. 5.设x,y满足约束条件则的最大值为( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 作出约束条件所表示的可行域,当直线过点时,取最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域,如图所示,则, 当直线过点时,直线在轴上的截距达到最小,即达到最大值, - 26 - . 故选:C. 【点睛】本题考查简单线性规划最值问题,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查运算求解能力,求解时注意直线截距几何意义的运用. 6.已知为第三象限角,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得为第一象限角,再对两边平方可得,最后利用同角三角函数基本关系,即可得答案; 【详解】,为第三象限角, ,, 为第一象限角,, ,, . 故选:D - 26 - 【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意根据条件缩小角度范围,才不会出现符号错误. 7.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体,将上底面绕着上、下底面中心连线(对称轴)旋转90度,得到一个刍童(如图),则该刍童的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 确定几何体外接球的球心,再利用勾股定理求出外接球的半径,代入球的表面积公式,即可得答案; 【详解】如图所示,取对称轴的中点,下面底的中心,连结, , . 故选:C. 【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积计算,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时外接球心的确定是解题的关键. - 26 - 8.将函数的图象向左平移个单位,得到一个偶函数的图象,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数,进而得到平移后的函数解析式,利用函数为偶函数,则轴为函数的一条对称轴,即可得到是函数的最值,得到的值后,即可得到答案. 【详解】, 图象向左平移个单位得, 时,, ,即, 当,. 故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换的辅助角公式、平移变换及图象与性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意平移变换是针对自变量而言的,要注意自变量的系数问题. 9.函数的部分图象大致为( ) A. B. - 26 - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数为非奇非偶函数,可排除B,D,再根据且函数值的正负,即可得答案; 【详解】,, 函数为非奇非偶函数,可排除B,D, 当且时,,, 即,故排除A, 故选:C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意极限思想的应用. 10.如图,边长为2的正方形中,分别是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点,则线段的长为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】B - 26 - 【解析】 【分析】 如图所示,连接交于点,连接、,利用余弦定理求出,再利用余弦定理求得的值. 【详解】如图所示,连接交于点,连接、, 在中,,,, , , , . 故选:B. 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、余弦定理的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力. 11.若关于x的不等式在区间内有解,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 - 26 - 利用参变分离,构造函数,求出函数在区间的最小值,即可得答案; 【详解】由题意得:在区间内有解, 令,则, ,, 在单调递增,在单调递减, ,,, ,, . 故选:C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式有解问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意有解问题与恒成立问题的区别. 12.已知是边长为的正三角形,为该三角形内切圆的一条弦,且.若点P在的三边上运动,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可得,再利用向量加法的几何意义,将的最大值转化为求的最大值. 【详解】如图所示,在中,内切圆的半径, 在中,, - 26 - ,, 取的中点,连结, 当,分别取最大值时,取得最大值, 当点运动到三角形的顶点,且顶点与的连线垂直于时,,分别取最大值时, . 故选:B. 【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量,若,则x的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量垂直,数量积为0直接计算,即可得答案; 【详解】,, 故答案为: 【点睛】本题考查向量垂直数量积为0的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题. - 26 - 14.若曲线在点处的切线与直线平行,则a的值为____. 【答案】1 【解析】 【分析】 对函数求导得,进而得到,解方程即可得到答案. 【详解】,, 故答案为:. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题. 15.已知倾斜角为的直线l经过椭圆E的左焦点,以E的长轴为直径的圆与l交于A,B两点,若弦长AB等于E的焦距,椭圆E的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据圆的弦长公式等于得到关于的方程,即可得答案; 【详解】设直线的方程为,圆的半径为,圆心到直线的距离为, , , 故答案为:. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、椭圆的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16.如图,某景区有景点A,B,C,D.经测量得,, - 26 - ,则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM,并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果,要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本,栈道BM长度的最小值为___________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理求得的值,即可得答案; (2)设外心为,连接交于点,利用正弦定理求出外接圆的半径,根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径,利用余弦定理求得的值,即可得答案; 【详解】(1), ,为正三角形, . (2)设的外心为,连接交于点, 则, , 的最小值为, - 26 - , , , , , 的最小值为, 故答案为:;. 【点睛】 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较大. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.在数列中,,且成等差数列. (1)求证:数列是等比数列; (2)设前n项和为求使得成立的n的最大值. 【答案】(1)见解析(2)8 - 26 - 【解析】 【分析】 (1)根据等差中项得,进而转化成,即可得答案; (2)利用等比数列前项和公式进行求和,再解不等式,即可得答案; 【详解】(1)因为成等差数列,所以, 当时,有,得, 所以,又,所以, 所以是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1)知是首项为2,公比为2的等比数列, 所以,所以. 所以 , 所以即, 因为,所以数列为递增数列. 当时,,不满足,当时,满足. 所以满足不等式的最大的正整数n的值为8. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义,考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算,考查运算求解能力,化归与转化思想等. 18.在平面直角坐标系xOy中,已知动圆E过点,且与直线相切.动圆圆心E轨迹记为C. (1)求轨迹C的方程; (2)过点F作斜率为的直线l交C于A,B两点,使得,点Q在m - 26 - 上,且满足,求的面积. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据抛物线的定义,即可得到轨迹C的方程; (2)依题意可设直线l的方程为:,根据可求得点或,再分别计算三角形的面积即可. 【详解】(1)依题意:平面内动点E到定点和到定直线的距离相等, 根据抛物线的定义,曲线C是以点F为焦点,直线为准线的抛物线, 其方程为. (2)依题意可设直线l的方程为:. 联立,得,得 由,得, 所以,即,又由,得, 故:. , - 26 - 化简得:,解得或3,即或. 当Q为时,点Q到直线l的距离为, ; 当Q为时,点Q到直线l距离为, . 【点睛】本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识,考查运算求解能力、推理论证能力等,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等. 19.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,为等边三角形,点E,F分别为的中点. (1)求证:平面; (2)已知平面平面,过E,F,C三点的平面将四棱锥P-ABCD分成两部分,求这两部分体积的比. 【答案】(1)见解析(2). 【解析】 【分析】 (1)如图,取PB的中点G,连接GC,EG,证明四边形是平行四边形,再利用线面平行判定定理,即可证得结论; - 26 - (2)如图,取PB的中点G,由(1)可知,,所以过的平面即为平面EGCD. 分别计算和的值,再求比值即可得到答案. 【详解】(1)如图,取PB的中点G,连接GC,EG. E是PA的中点,,且, 又正方形, ,且. ∵F是CD的中点,且, ∴四边形是平行四边形, 又平面,平面,平面. (2)如图,取PB的中点G,由(1)可知,,所以过的平面即为平面EGCD. 是等边三角形,E是AP中点,. 在正方形中,, ∵平面平面,平面平面,平面, - 26 - 平面,∵由(1)可知,平面, 平面. . 在四棱锥中,平面,, ∴底面为直角梯形,又∵底面边长为2,是等边三角形, ,又, . 取AD的中点N,连接PN. 是等边三角形,N是AD中点,. 又∵平面平面ABCD,平面平面平面 平面, 所以,所以被平面EFC分成的两部分的体积比为. 【点睛】本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 20.某批库存零件在外包装上标有从1到N连续自然数序号,总数N未知,工作人员随机抽取了n个零件,它们的序号从小到大依次为:.现有两种方法对零件总数N进行估计. 方法一:用样本的数字特征估计总体的数字特征,可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等,进而可以得到N的估计值. 方法二:因为零件包装上的序号是连续的,所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数,这n个整数将区间分为个小区间: - 26 - .由于这n个数是随机抽取的,所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等,进而可以得到N的估计值. 现工作人员随机抽取了31个零件,序号从小到大依次为:83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791. (1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.(结果四舍五入保留整数) (2)将第(1)问方法二估计的总数N作为这批零件的总数,从中随机抽取100个零件测量其内径y(单位:mm),绘制出频率分布直方图(如下图).已知标准零件的内径为200mm,将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品,请求出优等品的内径范围(结果四舍五入保留整数). 【答案】(1)3091,2880;(2). 【解析】 【分析】 (1)方法一,31个零件序号的中位数为1546,所有零件序号的中位数为;方法二,抽取的31个零件将划分为32个区间,平均长度为,列方程即可求得的值; (2)抽取的720件优等品占总数的,依题意得,再根据频率分布直方图的面积为,可计算的近似值,从而得到答案; - 26 - 【详解】(1)方法一:31个零件序号的中位数为1546,所有零件序号的中位数为, 依题意得,解得. 方法二:抽取的31个零件将划分为32个区间,平均长度为,前31个区间的平均长度为, 依题意得,解得. (2)抽取的720件优等品占总数的,依题意得 由频率分布直方图可知: ,故, 则, 解得.故优等品的范围为. 因为,所以内径为205的零件不能作为优等品. 【点睛】本题考查频率分布直方图,样本数字特征估计总体数字特征等知识;考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力,考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识. 21.已知函数. (1)当时,求函数的极值点; (2)若在区间内有且仅有4个零点的充要条件为,求证:. 【答案】(1)极小值点,无极大值点.(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)将代入解析式得,再进行求导得,利用导数研究导数等于0的方程的根,即可得答案; - 26 - (2)当时,,故且 , 令,则,对区间分三种情况讨论,即,,分别研究在各个区间内零点的个数,从而得到,再利用导数研究的取值范围,即可证得结论; 【详解】(1),, 当时,,当时,. ∴当时,,又, 是奇函数,∴当时,. ∴综上,当时,单调递减;当时,单调递增; 因此为函数的极小值点,无极大值点. (2)当时,,故且 令,则, 1°当时,单调递减,当; 2°当时,令,则单调递减,又,故存在使得,即当 - 26 - 时,,单调递减;当时,单调递增; 3°当时,单调递增; 综上可知:在上单调递减,在上单调递增. 由于为偶函数,只需函数与在上有两个交点. 以下估计的范围: , , ∴令,则, 在单调递减,, ,结论得证. 【点睛】本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想,函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. [选修4−4:坐标系与参数方程] - 26 - 22.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为,曲线C的方程为,动点P到原点O的距离与到l的距离相等.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程; (2)若Q是曲线C上一点,且,求. 【答案】(1),.(2)4 【解析】 【分析】 (1)利用,代入圆的方程,即可得到圆的极坐标方程;对点P在y轴右侧时,P在y轴,y轴左侧时,三种情况进行讨论,均可得到; (2)因为,所以设点,且,求出的值,即可得答案; 【详解】(1)由得,. 因为,所以,即为C的极坐标方程. 当P在y轴右侧时,过点P作x轴的垂线,垂足为M,作y轴的垂线,垂足为N,设l与x轴的交点为R, 因为点P到原点距离与到l距离相等,所以. 在中,,所以. - 26 - 因为,所以. 当P在y轴或y轴左侧时,满足. 综上,P点轨迹的极坐标方程为. (2)因为,所以设点,且. 又,所以, 解得,所以. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等. [选修4−5:不等式选讲] 23.已知函数 (1)若,证明:; (2)若,对于任意的恒成立,求c的取值范围. 【答案】(1)见解析(2)或. 【解析】 【分析】 (1)根据,两边平方后,再利用基本不等式,即可证明结论; (2)当时,,因为对于任意的恒成立,所以取可求得或,再进一步验证或使命题成立. 【详解】(1)由已知得, 所以 , - 26 - 所以. (2)当时,, 因为对于任意的恒成立, 所以,解得或. ①当时,在为减函数, 所以,即. ②当时,在为减函数, 所以,即. 综上所述,或. 【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力等;考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法. - 26 - - 26 -查看更多