福建省厦门市湖滨中学2020届高三下学期测试(九)数学(理)试题

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福建省厦门市湖滨中学2020届高三下学期测试(九)数学(理)试题

高三年级理科数学试卷 ‎1.复数‎2i‎1+i(i是虚数单位)的虚部为(   )‎ A.‎‎−1‎ B.‎i C.‎‎1‎ D.‎‎2‎ ‎2.已知集合A={−1,1,2,3},B={x∣ln⁡x<1}‎,则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为(   )‎ ‎(1)‎ A.‎‎{−1,1}‎ B.‎‎{3}‎ C.‎‎{2,3}‎ D.‎‎{−1,3}‎ ‎3.已知等差数列‎{an}‎ 中 ‎,a‎3‎+a‎4‎−a‎5‎+a‎6‎=8,‎ 则 S‎7‎‎=‎(   )‎ A.8‎ B.21‎ C.28‎ D.35‎ ‎4.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示,一 与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八为友居左,四与九同道居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为(  )‎ ‎(1)‎ A.‎‎1‎‎5‎ B.‎‎6‎‎25‎ C.‎‎7‎‎25‎ D.‎‎8‎‎25‎ ‎5.若a=‎2‎‎3‎,b=log‎2‎‎3‎,c=log‎3‎2‎,则实数a,b,c之间的大小关系为(   )‎ A.‎a>c>b B.‎a>b>c C.‎c>a>b D.‎b>a>c ‎6.函数f(x)=Asin⁡(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎)‎的部分图象如图所示,若x‎1‎‎,x‎2‎∈(−π‎6‎,π‎3‎)‎,且f(x‎1‎)=f(x‎2‎)‎,则f(x‎1‎+x‎2‎)=‎(   )‎ ‎(1)‎ A. ‎1‎   ‎ B.‎‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎   ‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎7.图是棱长为2的正方体的表面展开图,则多面体ABCDE的体积为(   )‎ ‎(1)‎ A.2‎ B.‎‎8‎‎3‎ C.‎‎4‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎8.从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程,要求每门课程有一名教师开发,每名教师只开发一门课程,且这6名中甲、乙两人不开发A课程,则不同的选择方案共有(   )‎ A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 ‎9.已知点O(0,0),A(−1,1)‎,若O为双曲线x‎2‎‎−y‎2‎=1‎的右焦点,P是该双曲线上且在第一象限的动点,则OA‎→‎‎⋅‎FP‎→‎的取值范围为(   )‎ A.‎‎(‎2‎−1,1)‎ B.‎‎(1,‎2‎)‎ C.‎‎(‎2‎−1,‎2‎)‎ D.‎‎(‎2‎,+∞)‎ ‎10.给出下列四个命题:①若样本数据x‎1‎‎,x‎2‎,⋯,‎x‎10‎的方差为16,则数据‎2x‎1‎−1,2x‎2‎−1,⋯,2x‎10‎−1‎的方差为64;②”平面向量a‎→‎‎,‎b‎→‎夹角为锐角,则a‎→‎‎⋅b‎→‎>0‎”的逆命题为真命题;③命题”‎∀x∈(−∞,0)‎,均有ex‎>x+1‎”的否定是”‎∃x‎0‎∈(−∞,0)‎,使得ex‎0‎‎⩽x‎0‎+1‎”;④a=−1‎是直线x−ay+1=0‎与直线x+a‎2‎y−1=0‎平行的必要不充分条件.‎ 其中正确的命题个数是(   )‎ A.1‎ B.2‎ C.3‎ D.4‎ ‎11.斐波那契数列‎{an}‎满足:a‎1‎‎=1,a‎2‎=1,an=an−1‎+an−2‎(n≥3,n∈N‎∗‎)‎.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sn,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn,则下列结论错误的是(   )‎ ‎(1)‎ A.‎Sn+1‎‎=an+1‎‎2‎+an+1‎⋅‎an B.‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+⋯+an=an+2‎−1‎ C.‎a‎1‎‎+a‎3‎+a‎5‎+⋯+a‎2n−1‎=a‎2n−1‎ D.‎‎4(cn−cn−1‎)=πan−2‎⋅‎an+1‎ ‎12.若关于x的不等式x(1+ln⁡x)+2k>kx的解集为A,且‎(2,+∞)⊆A,则整数k的最大值是(   )‎ A.3‎ B.4‎ C.5 ‎ D.6‎ ‎13.设非零向量a‎→‎‎,‎b‎→‎满足a‎→‎‎⊥(a‎→‎−b‎→‎)‎,且‎|b‎→‎|=2|a‎→‎|‎,则向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为________.‎ ‎14.若x‎5‎‎=a‎0‎+a‎1‎(x−2)+a‎2‎(x−2‎)‎‎2‎+⋅⋅⋅+a‎5‎(x−2‎‎)‎‎5‎,则a‎0‎=________.‎ ‎15.已知曲线f(x)=ln⁡(x+1)+‎‎1‎‎2‎x‎2‎ 在点 ‎(1,f(1))‎处的切线的倾斜角为α,则‎2sin‎2‎⁡α+sin⁡αcos⁡α=‎________.‎ ‎16.设抛物线C:y‎2‎=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与x轴的交点,若tan⁡∠AMB=2‎‎2‎,则|AB|=____.‎ ‎17.在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.若‎1‎tanA‎+‎1‎tanC=‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎(1)求角B的值;‎ ‎(2) 数列‎{an}‎满足an‎=‎2‎n|cos⁡‎3‎‎2‎nB|‎,前n项和为Sn,求S‎2n值.‎ ‎18.根据国家环保部新修订的《 环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2019年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如右表:‎ ‎(1)这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ‎ ‎①求图中a的值;‎ ‎②求样本平均数,并根据样本估 计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.‎ ‎(2)将频率视为概率,对于2019年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图,E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点,矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面,且AB=2AD=2.‎ ‎(1)求证:EA⊥EC;‎ ‎(2)若异面直线AE和DC所成的角为π‎6‎,求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20.如图,抛物线C‎1‎‎:y‎2‎=2px的焦点为F,准线为ℓ,ℓ交x轴于点A,并截圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎所得弦长为‎2‎‎3‎,M为平面内动点,△MAF周长为6.‎ ‎(1)求抛物线C‎1‎‎:y‎2‎=2px方程以及点M的轨迹C‎2‎的方程;‎ ‎(2)“过轨迹C‎2‎的一个焦点F‎1‎作与x轴不垂直的任意直线l”交轨迹C‎2‎于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则‎|AB|‎‎|F‎1‎M|‎为定值,且定值是‎2‎‎1‎‎2‎‎=4‎”。命题中涉及了这么几个要素:给定的圆锥曲线C‎2‎,过该圆锥曲线焦点F‎1‎的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的焦点M,AB的长度与F‎1‎、M两点间距离的比值。试类比上述命题,写出一个关于抛物线C‎1‎‎:y‎2‎=2px的类似的正确命题,并加以证明。‎ ‎(3)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于抛物线的一般性命题(不必证明)。‎ ‎21.已知函数f(x)=xln⁡x+a.‎ ‎(1)若函数y=f(x)‎ 在 x=e处的切线方程为y=2x,求实数a的值;‎ ‎(2)设m>0‎,当x∈[m,2m]‎时,求f(x)‎的最小值;‎ ‎(3)求证:‎∀‎n‎∈N‎+‎,e‎1+‎‎1‎n>‎‎(1+‎1‎n)‎e.‎ ‎22.如图,在以O为极点,Ox轴为极轴的极坐标系中,圆C‎1‎‎,C‎2‎,‎C‎3‎的方程分别为ρ=4sin⁡θ,ρ=4sin⁡(θ+‎2π‎3‎)‎,ρ=4sin⁡(θ−‎2π‎3‎)‎.‎ ‎(1)若C‎1‎‎,‎C‎2‎相交于异于极点的点M,求点M的极坐标‎(ρ>0,0⩽θ<2π)‎;‎ ‎(2)若直线l:0=α(p∈R)与C‎1‎‎,‎C‎3‎分别相交于异于极点的A,B两点,求|AB|的最大值.‎ 高三年级理科数学参考答案 ‎1.【能力值】无 ‎【知识点】(1)复数的乘除运算 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)C ‎2.【能力值】无 ‎【知识点】(1)集合基本运算的Venn图示 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)D ‎3.【能力值】无 ‎【知识点】(1)等差数列的前n项和 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)C ‎4.【能力值】无 ‎【知识点】(1)古典概型 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)A ‎5.【能力值】无 ‎【知识点】(1)指数函数及其性质、对数函数及其性质 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)A ‎6.【能力值】无 ‎【知识点】(1)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)D ‎7.【能力值】无 ‎【知识点】(1)棱锥的表面积与体积、棱柱的展开图 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)B ‎8.【能力值】无 ‎【知识点】(1)计数杂题 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)B ‎9.【能力值】无 ‎【知识点】(1)平面向量数量积的坐标运算、双曲线的简单几何性质 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)C ‎10.【能力值】无 ‎【知识点】(1)命题的概念与真假判断 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)B ‎11.【能力值】无 ‎【知识点】(1)数列的递推公式 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)C ‎12.【能力值】无 ‎【知识点】(1)利用导数研究函数的最值 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)B ‎13.【能力值】无 ‎【知识点】(1)平面向量的数量积与垂直 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)‎π‎3‎ ‎14.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二项式定理的应用 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)32‎ ‎15.【能力值】无 ‎【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)‎‎24‎‎13‎ ‎16.【能力值】无 ‎【知识点】(1)抛物线中的弦长与面积 ‎【详解】(1)略 ‎【答案】(1)8‎ ‎17.【能力值】无 ‎【知识点】(1)正弦定理 ‎(2)等比数列的前n项和 ‎【详解】(1)由已知得 ‎∴sinBsin⁡Asin⁡C‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎, ……………………………………………………………2分 由b‎2‎‎=ac,sin‎2‎B=sin⁡Asin⁡C得,sinBsin‎2‎B‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎,………4分 ‎∴sin⁡B=‎‎3‎‎2‎,a,b,c成等比数列,∴B=‎π‎3‎. ……………………………6分 ‎(2)an‎=‎2‎n|cos⁡‎3‎‎2‎nB|=‎2‎n|cos⁡nπ‎2‎|‎  ………………………………8分 ‎∴S‎2n‎=0+‎2‎‎2‎+0+‎2‎‎4‎+‎…‎+0+‎2‎‎2n=‎4(1−‎2‎‎2n)‎‎1−4‎=‎‎2‎‎2n+2‎‎−4‎‎3‎,………12分 ‎【答案】(1)‎B=‎π‎3‎ ‎(2)‎‎2‎‎2n+2‎‎−4‎‎3‎ ‎18.【能力值】无 ‎【知识点】(1)频率分布直方图 ‎(2)离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数字特征 ‎【详解】(1)①a的值为0.004                    ……3分 ‎②2016年该居民区PM2.5年平均浓度为 ‎12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5‎‎(微克/立方米)‎ 因为42.5>35,所以2016年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.                    ……7分 ‎(2)由题意,PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,‎ X的可能取值为0,1,2,3.       ‎P(X=0)=C‎3‎‎0‎⋅(0.1‎)‎‎3‎=0.001‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎⋅0.9⋅(0.1‎)‎‎2‎=0.027,P(X=2)=C‎3‎‎2‎⋅(0.9‎)‎‎2‎⋅0.1=0.243‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎⋅(0.9‎)‎‎3‎=0.729‎ ‎∴X的分布列为 E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7‎ 或E(X)=3×0.9=0.27‎                   ……12分 ‎【答案】(1)①0.004‎ ‎②该居民区的环境需要改进 ‎(2);‎2.7‎或‎0.27‎ ‎19.【能力值】无 ‎【知识点】(1)略 ‎(2)二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 ‎【详解】(1)略 ‎(2)如图, 以点O为坐标原点,AB所在的直线为y轴,过点O与BC平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系O−xyz.‎ 由异面直线AE和DC所成的角为π‎6‎,AB//DC知‎∠BAE=‎π‎6‎, ∴‎∠BOE=‎π‎3‎,‎ ‎∴E(‎3‎‎2‎a,‎1‎‎2‎a,0)‎,由题设可知C(0,a,a)‎,D(0,−a,a)‎,∴DE‎→‎‎=(‎3‎‎2‎a,‎3‎‎2‎a,−a)‎,CE‎→‎‎=(‎3‎‎2‎a,−‎1‎‎2‎a,−a)‎.设平面DCE的一个法向量为p‎→‎‎=(x‎0‎,y‎0‎,z‎0‎)‎,‎ 由DE‎→‎‎⋅p‎→‎=0‎,CE‎→‎‎⋅p‎→‎=0‎得z‎0‎‎=‎‎3‎‎2‎x‎0‎,y‎0‎‎=0‎,取x‎0‎‎=2‎,得z‎0‎‎=‎‎3‎.‎ ‎∴p‎→‎‎=(2,0,‎3‎)‎.又平面AEB的一个法向量为q‎→‎‎=(0,0,1)‎,∴cos=‎‎21‎‎7‎.‎ 平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值‎21‎‎7‎.          …………13分 ‎【答案】(1)∵平面ABCD垂直于圆O所在的平面,两平面的交线为AB,BC⊆‎平面ABCD,BC⊥AB,‎ ‎∴BC垂直于圆O所在的平面.又EA在圆O所在的平面内,‎ ‎∴BC⊥EA.‎ ‎∵‎∠AEB是直角,‎ ‎∴BE⊥EA,‎ ‎∴EA⊥‎平面EBC,‎ ‎∴EA⊥EC. …………6分 ‎(2)‎‎21‎‎7‎ ‎20.【能力值】无 ‎【知识点】(1)轨迹与轨迹方程 ‎(2)抛物线中的动态性质证明 ‎(3)直线与抛物线的位置关系 ‎【详解】(1)略 ‎(2)略 ‎(3)略 ‎【答案】(1)略 ‎(2)略 ‎(3)略 ‎21.【能力值】无 ‎【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程 ‎(2)利用导数研究函数的最值 ‎(3)利用导数研究函数的单调性 ‎【详解】(1)略 ‎(2)略 ‎(3)略 ‎【答案】(1)略 ‎(2)略 ‎(3)略 ‎22.【能力值】无 ‎【知识点】(1)极坐标与极坐标方程 ‎(2)极坐标与极坐标方程 ‎【详解】(1)由‎{ρ=4sin⁡θρ=4sin⁡(θ+‎2π‎3‎)‎(ρ>0,0⩽θ<2π)‎ ‎∴sin⁡θ=sin⁡(θ+‎2π‎3‎)‎,‎∴θ=‎π‎6‎,   ……3分 ‎∴ρ=2‎,∴点M的极坐标为‎(2,π‎6‎)‎.  ……5分 ‎(2)设A(ρA,α),B(ρB,α)‎ ‎|AB|=|ρA−ρh|=|4sin⁡α−4sin⁡(α−‎2π‎3‎)∣‎ ‎=4‎3‎|sin⁡(α+π‎6‎)|⩽4‎‎3‎ ‎∴AB的最大值为‎4‎‎3‎.‎ ‎【答案】(1)‎‎(2,π‎6‎)‎ ‎(2)‎‎4‎‎3‎
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