福建省厦门市2020届高三第一次质量检查(一模考试)数学试题(理科) Word版含解析

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福建省厦门市2020届高三第一次质量检查(一模考试)数学试题(理科) Word版含解析

www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学(理科)试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合,再进行交集运算,即可得答案;‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,考查运算求解能力,求解时注意这一条件的应用.‎ ‎2.若复数z满足,z在复平面内对应的点为,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 设,代入中,再利用模的运算,即可得答案;‎ ‎【详解】设,代入得:,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的运算、复数对应点的轨迹方程,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎3.已知为等差数列,为其前n项和,若,,则( )‎ A. 17 B. 15 C. 13 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,求得的值,再代入通项公式,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量运算,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.A、B两名同学6次的跳高成绩如图所示,且这6次成绩的平均分分别为,,标准差分别为,,则( )‎ A , B. ,‎ - 25 -‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形中的数据,易得A同学的平均值较高,且数据比较集中,即可得答案;‎ ‎【详解】根据图形中的数据知A同学只是第3次成绩低于B同学,可直观看出A同学的平均成绩较高,故;由于B同学的成绩波动较大,所以;‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查统计中的平均数与标准差,考查数据处理能力,属于基础题.‎ ‎5.1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出:绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其各自椭圆轨道半长轴长(单位:米)的立方与它的公转周期(单位:秒)的平方之比是一个常量,即,(其中k为开普勒常数,M为中心天体质量,G为引力常量).已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米,地球的运行周期约为1年,距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米,则冥王星的运行周期约为( )‎ A. 150年 B. 200年 C. 250年 D. 300年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 地球轨道的半长轴长和运行周期可求得的值,再进一步利用公式计算冥王星的运行周期.‎ ‎【详解】由题意得:,‎ ‎,‎ ‎(秒)‎ 年.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查数学文化,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,求解时注意对时间单位的理解,可减少计算量.‎ - 25 -‎ ‎6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图可知是一个周期数列,求出当时,对应的值,即可得答案;‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,输出,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查运算求解能力,求解时注意何时终止循环.‎ ‎7.如图是某圆锥的三视图,其正视图是一个边长为1的正三角形,圆锥表面上的点M,N - 25 -‎ 在正视图上的对应点分别是A、B.则在此圆锥的侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )‎ ‎ ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知几何体的直观图为圆锥,则圆锥的侧展图如图所示,再根据三视图中的数据,即可得答案;‎ ‎【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥,‎ 圆锥的底面周长为,圆锥侧展图的圆心角为,‎ 由三视图可得,点在侧展图的位置,如图所示,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离,考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎8.在直角中,,,,D是的内心,则( )‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形的特点建立直角坐标系,写出相关点的坐标,再利用平面向量基本定理的坐标运算,即可得答案;‎ ‎【详解】以坐标原点,分别为轴建立直角坐标系,‎ 则,,,,‎ 设内切圆的半径为,则,‎ ‎,,‎ 设,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、三角形的内切圆半径求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎9.关于函数有下述四个结论:‎ ‎①是偶函数;②在区间上是增函数;③的最大值为2;④‎ - 25 -‎ 的周期为.‎ 其中所有正确结论的编号是( )‎ A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①,根据偶函数的定义可判断;对②,去绝对值并利用导数判断;对③,直接根据同角三角函数的基本关系判断;对④,利用排除法可排除选项.‎ ‎【详解】对①,函数的定义域为关于原点对称,且,为偶函数,故①正确;‎ 对②,当时,,则,在不恒成立,在区间上是增函数错误,故②错误;‎ 对③,若的最大值为2,则,显然不可能同时取到,故③错误;‎ 利用排除法,可选排除选项ACD.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意排除法的运用.‎ ‎10.已知点,点P在抛物线上运动,点Q在圆上运动,则的最小值为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据圆外一点到圆上一点距离的最小值得,再利用抛物线的定义,即可得答案;‎ ‎【详解】如图所示,过作准线的垂线交于,‎ - 25 -‎ ‎,‎ 当三点共线时,取得最小值,‎ 的最小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值、抛物线的定义,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意线段之间转换的应用.‎ ‎11.在四面体ABCD中,,,.若平面同时与直线AB、直线CD平行,且与四面体的每一个面都相交,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得截面为平行四边形,求出异面直线所成的角,再代入三角形的面积公式,利用基本不等式可求得面积的最值.‎ ‎【详解】如图所示,在四面体ABCD中,截面为,‎ 由线面平行的性质定理可得,‎ 同理可得:;‎ 四边形为平行四边形;‎ - 25 -‎ 当分别为边的棱的中点时,‎ ‎,‎ 为中点,,,‎ ‎,‎ ‎,;‎ 设,则,,‎ ‎,等号成立当且仅当,‎ 多边形截面面积的最大值为,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、基本不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意基本不等式求最值的运用.‎ ‎12.已知直线分别与函数和的图象交于点,,则下列结论错误的是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,分别作出函数,,的图象,通过图象观察易得成立;利用基本不等式可证B成立;构造函数可证C成立;构造函数可得,再利用函数的单调性,可证得D不成立;‎ ‎【详解】对A,如图,作出函数、和的草图,因为A,B关于C对称,且,因为,所以,故A正确;‎ 对B,由基本不等式,,因为,所以等号不成立,故B正确;‎ 对C,因为,所以,记,‎ 则,故时,,所以在上单调递增,所以,即,即,故C正确;‎ - 25 -‎ 对D,记,则,,则,又,易知在上单调递增,故,故D错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意函数构造法的应用.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知数列的前n项和为,且,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系令,即可求得的值.‎ ‎【详解】当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系的运用,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎14.的展开式中常数项为________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理求出通项公式,再根据的取值,即可得答案;‎ - 25 -‎ ‎【详解】的展开式的通项公式 当和时,可得展开式中常数项为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意符号问题.‎ ‎15.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若,则实数m的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意得函数关于呈中心对称,由的解析式可得函数在单调递减,并求出的解析式,可得,从而得到关于的不等式,即可得答案.‎ ‎【详解】,关于中心对称,‎ 当时,设为图象上任意一点,则关于对称点为,‎ ‎,‎ 中,当时,,‎ 所以在上单调递减,且,‎ ‎,解得,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质、利用函数的单调性解不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ - 25 -‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为、,O为坐标原点,P是双曲线上一点,且,点M满足,,则双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取另一三等分点N,则有,又M是PN中点,则有Q是OP中点,再由平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和,列出关于的方程,即可得答案;‎ ‎【详解】因为点M满足,所以M是一个三等分点,‎ 取另一三等分点N,则有,又M是PN中点,则有Q是OP中点,‎ 因为,‎ 所以,则,‎ 由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和,‎ ‎,‎ ‎,化简得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意平面几何知识的运用.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ - 25 -‎ ‎17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若,AB边上的中线,求的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理可得,再利用诱导公式和倍角公式,求得,即可得答案;‎ ‎(2)利用余弦定理求出,再代入三角形的面积公式,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)依题设及正弦定理可得,, ‎ 因为,所以,‎ 所以, ‎ 又,所以,‎ 又,所以,即. ‎ ‎(2)因为,,‎ 所以,故为等腰三角形.‎ 则, ‎ 在中由余弦定理可得,,‎ 即,解得, ‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想.‎ ‎18.如图,平行四边形ABCD中,,E、F分别为AD,BC的中点.以EF为折痕把四边形EFCD折起,使点C到达点M的位置,点D到达点N的位置,且.‎ ‎(1)求证:平面NEB;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)记,连接NO,证明即可证明结论;‎ ‎(2)先证明平面ABFE,再以直线OE为x轴,直线OA为y轴,直线ON为轴建立空间直角坐标系,求出平面MBE的法向量,平面NBE的一个法向量,代入向量的夹角公式,即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:记,连接NO,‎ 可知四边形ABFE是菱形,所以,且O为AF,BE的中点,‎ 又,所以,‎ 又因为,NO,平面NEB,‎ 所以平面NEB. ‎ ‎(2)因为,所以,,‎ - 25 -‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 又由(1)可知:,且,AF,平面ABFE,‎ 所以平面ABFE,以直线OE为x轴,直线OA为y轴,直线ON为轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,‎ 所以,所以,,‎ 设是平面MBE的法向量,则 ‎,取,得,‎ 又平面NBE的一个法向量为,‎ 所以,‎ 所以二面角的余弦值为. ‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想等.‎ ‎19.已知椭圆,A为C的上顶点,过A的直线l与C交于另一点B,与x轴交于点D,O点为坐标原点.‎ ‎(1)若,求l的方程;‎ - 25 -‎ ‎(2)已知P为AB的中点,y轴上是否存在定点Q,使得?若存在,求Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)存在 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对直线的斜率进行讨论,当斜率不存在时显然不满足,当直线斜率存在时,设出直线方程,代入弦长公式求出斜率的值,即可得答案;‎ ‎(2)利用中点坐标公式求得,根据求出,的方程,即可得到定点坐标.‎ ‎【详解】(1)①当直线的斜率不存在时,,,舍去;‎ ‎②当直线的斜率存在时,,,‎ 联立方程,化简得,‎ 解得或,所以,‎ 所以,化简得, ‎ 解得或(舍去),即, ‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎(2)①,由(1)得,,‎ 所以,又因为,所以,所以,‎ 所以,‎ 即存在定点满足条件. ‎ ‎②,则O,P重合,也满足条件 ‎ 综上,存在满足条件.‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识;考查运算求解能力、推理论证能力等;考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.‎ ‎20.小明和爸爸玩亲子游戏,规则如下:袋中装有3个大小相同球,1个白球,2个红球,每次摸出一个球,记下颜色后放回,若摸出白球,则下一次由原摸球人继续摸球;若摸出红球,则下一次由对方摸球,规定摸球m次,最后一次由谁摸球就算谁获胜.第一次由小明摸球.‎ ‎(1)求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率;‎ ‎(2)设第n次由小明摸球的概率为,则.‎ ‎(ⅰ)求;‎ ‎(ⅱ)在与之中选其一,小明应选哪个?(只写结果,不必说明理由!)‎ ‎【答案】(1)(2)(ⅰ)(ⅱ)选19次.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎(1)设事件{前3次摸球中小明恰好摸2次球},事件{第i次由小明摸球},利用相互独立事件的概率计算,即可得答案;‎ ‎(2)(ⅰ)第4次由小明摸球有4种情况,分别计算概率,即可得到的值:‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ),猜测,所以选19次.‎ ‎【详解】(1)设事件{前3次摸球中小明恰好摸2次球},事件{第i次由小明摸球},‎ 所以.‎ ‎(2)第4次由小明摸球有以下情况:‎ 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 概率 情况1‎ 小明摸球 小明摸球 小明摸球 小明摸球 情况2‎ 小明摸球 小明摸球 爸爸摸球 小明摸球 情况3‎ 小明摸球 爸爸摸球 小明摸球 小明摸球 情况4‎ 小明摸球 爸爸摸球 爸爸摸球 小明摸球 则, ‎ 则, ‎ 则,‎ 则,‎ 所以.‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ),猜测,所以选19次.‎ ‎【点睛】本题考查概率的性质和概率与数列的综合应用等知识;考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算素养;考查统计与概率、或然与必然思想等.‎ - 25 -‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若直线与曲线相切,求实数a的值;‎ ‎(2)用表示m,n中的最小值,设函数,讨论零点的个数.‎ ‎【答案】(1).(2)当时,有1个零点;当时,有2个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设切点利用切点既在曲线上又在切线上,导数的几何意义,可得方程组消去得(*),利用导数解方程,即可得答案;‎ ‎(2)对分三种情况考虑,即、、,可得时无零点,时一个零点,时,,的零点即为的零点,再利用零点存在定理,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)依题意,,‎ 则曲线在点处的切线方程为,‎ 又,代入整理得,‎ 此直线与重合,得 消去得(*),‎ 记,则,‎ - 25 -‎ 当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ 所以,当且仅当时取等号. ‎ 由(*)式可知,‎ 所以,即. ‎ ‎(2)①当时,,‎ 所以,无零点,‎ ‎②当时,,从而,故为的一个零点,‎ ‎③当时,,则的零点即为的零点,‎ 令,得,‎ ‎(ⅰ)若,即时,,‎ 从而在上单调递增,进而,又,‎ 所以,此时在上无零点. ‎ ‎(ⅱ)若,即时,‎ 因为在上单调递减,在上单调递增,‎ 因为,,‎ 故在上无零点.‎ 另外,由(1)可知恒成立,即对恒成立,‎ 则,‎ 所以,‎ 故存在,进而存在,使得,即,‎ - 25 -‎ 此时在上存在唯一零点.‎ 综上可得,当时,有1个零点;当时,有2个零点.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、导数几何意义及其应用、不等式等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等;考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为,曲线C的方程为,动点P到原点O的距离与到l的距离相等.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程;‎ ‎(2)若Q是曲线C上一点,且,求.‎ ‎【答案】(1),.(2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,代入圆的方程,即可得到圆的极坐标方程;对点P在y轴右侧时,P在y轴,y轴左侧时,三种情况进行讨论,均可得到;‎ ‎(2)因为,所以设点,且,求出的值,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)由得,.‎ 因为,所以,即为C的极坐标方程. ‎ 当P在y轴右侧时,过点P作x轴的垂线,垂足为M,作y轴的垂线,垂足为N,设l与x轴的交点为R,‎ 因为点P到原点距离与到l距离相等,所以.‎ - 25 -‎ 在中,,所以.‎ ‎ ‎ 因为,所以.‎ 当P在y轴或y轴左侧时,满足.‎ 综上,P点轨迹的极坐标方程为. ‎ ‎(2)因为,所以设点,且.‎ 又,所以, ‎ 解得,所以.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)若a,b,,,证明:;‎ ‎(2)若,对于任意的,恒成立,求c的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知得,两边平方再利用基本不等式,即可得答案;‎ ‎(2)对于任意的,恒成立,取得到的范围,进而验证 - 25 -‎ 或符合题意.‎ ‎【详解】(1)由已知得,, ‎ 所以 ‎ .‎ 所以.‎ ‎(2)当时,,‎ 因为对于任意的,恒成立,‎ 所以,解得或,‎ ‎①当时,‎ 在为减函数,‎ 所以,即, ‎ ‎②当时,‎ 在为减函数,‎ 所以,即,‎ 综上所述,或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力等;考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法.‎ - 25 -‎ - 25 -‎
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