2020年四川省仁寿第一中学校南校区高考仿真模拟数学试题(含解析)

2020年四川省仁寿第一中学校南校区高考仿真模拟数学试题(含解析)

2020 年四川省仁寿第一中学校南校区高考仿真模拟数学试题 一、单选题 1．给出下列命题：①若 0b a  ，则 a b ；②若 0b a  ，则 a b ab  ；③若 0b a  ， 则 2b a a b   ；④若 0b a  ，则 2 2a a b b   ；⑤若 0b a  ，则 2 2 a b a a b b    ；⑥若 1a b  ， 则 2 2 1 2 a b  .其中正确的命题有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在棱长均为 2 3的正四面体 ABCD中，M 为 AC中点， E为 AB中点， P是DM上的动点， Q是平面 ECD上的动点，则 AP PQ 的最小值是（ ） A． 3 11 2  B． 3 2 C． 5 3 4 D． 2 3 3．下列命题正确个数为（ ） （1）若 1 2,x x I ，当 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    时，则 ( )y f x 在 I 上是单调递增函数； （2） 1y x  单调减区间为 ( ,0) (0, )  ； （3） x -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )f x 4 3 2 1 -2 -3 -4 上述表格中的函数是奇函数； （4）若 ( )y f x 是R上的偶函数，则 ( , ( )), ( , ( )), ( 1, ( 1))A a f a B a f a C a f a    都在 ( )y f x 图像上. A．0 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知 为锐角，且 3sin 5   ，则 sin( 45 )   （ ） A． 7 2 10 B． 7 2 10  C． 2 10 D． 2 10  5．过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点F 作倾斜角为 4  的直线 l，若 l与抛物线交于 A，B两点，且 AB的中点到抛物线准线的距离为 4，则 p的值为（ ） A． 8 3 B．1 C．2 D．3 6．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为（ ） A． 4 B．16 C． 4 D． 16 7．下图是 2020年 2月 15日至 3月 2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法 不正确的是（ ） A．2020年 2月 19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020年 2月 19日至 3月 2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400人的有 8天 D．2020年 2月 15日到 3月 2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多 1549人 8． 52( 2)( 1)x x   的展开式中的常数项为（ ） A．6 B．8 C．12 D．18 9．已知集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么 A∩B＝（ ） A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1} 10．若双曲线 2 2 2 1x y a   （ 0a  ）的实轴长为 2，则其渐近线方程为（ ） A． 1 2 y x  B． 2 2 y x  C． y x  D． 2y x  11．已知奇函数 ( )f x 在R上为减函数， ( ) ( )g x xf x  ，若 0.8g(-2), (2 ), (3)a b g c g   ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A． a b c  B． c b a  C．b c a  D．b a c  12．复数 1 2z i  ， 2 1 2 z i  ，则 1 2z z （ ） A． 5 2 i B． 52 2 i C．1 i D． 51 2 i 二、填空题 13．已知函数 2( ) 2f x x x  ，则函数 ( )f x 的图像在点 (1, (1))f 处的切线方程为________. 14． 若 2AB AC AB AC        ，则 AB AC   ＝__________. 15．在三棱锥 S ABC 中，SA，SB， SC 两两垂直且 2SA SB SC   ，点M 为 S ABC 的 外接球上任意一点，则MA MB   的最大值为______. 16．已知等比数列 na 的各项均为正数，若 3 2a  ，则 1 52a a 的最小值为_____. 三、解答题 17．已知函数 ( ) ( )sin ω φf x A x B= + + （其中 A，，，B均为常数， 0A  ， 0 ， 2   ） 的部分图象如图所示. （1）求函数  f x 的解析式； （2）若先将函数  f x 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 m（ 0m  ）个单位长度，得到函数  g x 的图象，若  g x 是偶函数，求实数 m的最小值. 18．2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一 时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题， 我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪 肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号 召，扩大生产，决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存 栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表： 生猪存栏数量 x（千头） 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本 y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 （1）研究员甲根据以上数据认为 y与 x具有线性回归关系，请帮他求出 y关于 x的线性回归方程  (1) y bx a  （保留小数点后两位有效数字） （2）研究员乙根据以上数据得出 y与 x的回归模型：  (2) 4.8 0.8y x   .为了评价两种模型的拟合 结果，请完成以下任务： ①完成下表（计算结果精确到 0.01元）（备注： ie 称为相应于点  ,i ix y 的残差）； 生猪存栏数量 x（千头） 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本 y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲 估计值  (1) iy 残差 (1) ie 模型乙 估计值  (2) iy 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差 (2) ie 0 0 0 0.14 0.1 ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 1Q及 2Q ，并通过比较 1Q与 2Q 的大小，判断哪个模型拟 合效果更好； （3）根据市场调查，生猪存栏数量达到 1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.5元；生猪 存栏数量达到 1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模 型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择 1万头还是 1.2万头能获得更多利润?请 说明理由.（利润=收入-成本） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y x x x nx b                 ， xy b a      参考数据：      25 5 1 1 5.3, 21.2i i i i i x x y y x x          . 19．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与 x轴的非负半轴重合，且长度单位相同， 直线 l的极坐标方程为 sin 5 6        ，曲线 2 cos : 2 2 sin x C y         ( 为参数).其中  0,2a  . （Ⅰ）试写出直线 l的直角坐标方程及曲线C的普通方程； （Ⅱ）若点 P为曲线C上的动点，求点 P到直线 l距离的最大值. 20．已知函数 21( ) 2 ln ( 2) 2 f x x a x a x    ，其中a R ，且曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的 切线平行于 x轴. （1）求实数 a的值； （2）求函数 ( )f x 的单调区间. 21．设 ,x y均为正数，且 x y ，求证： 2 2 12( 1) 1 2 x y x xy y       . 22．已知点 Pthm在抛物线 C：yt tpxp t上，F为其焦点，且PF 䁝． ′求抛物线 C的方程； t过点 Ttht的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OA OB 的值． 23．已知平面四边形PABC中， PAC PCA   中， 90BAC  ，现沿 AC进行翻折，得到三 棱锥 P ABC ，点D， E分别是线段BC， AC上的点，且DE 平面 PAB . 求证：（1）直线 AB‖平面 PDE； （2）当D是BC中点时，求证：平面 ABC 平面 PDE . 【答案与解析】 1．D 利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可． | ①. 由 0b a  ，则 b a .故①不正确． ②. 由 0b a  ，则 0ab  ， 0a b  ，所以 a b ab  ，故②正确． ③．由 0b a  ，则 0, 0b a a b   ，所以 2 2b a b a a b a b     ，故③正确． ④．由 0b a  ，所以 2 2 2a b ab  ，则  2 2a b a b  ，即 2 2a a b b   ，故④正确． ⑤．由 0b a  ，所以 2 22 2b ab a ab   ，则    2 2b a b a a b   ，所以 2 2 a b a a b b    ， 故 ⑤正确． ⑥．由 0b a  ，  22 2 2 a b a b    ，由 1a b  ，所以故 2 2 1 2 a b  ，当且仅当 1 2 a b  时 取等号，⑥正确． 故选：D． 本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题． 2．A 在正四面体 ABCD中,由 AB 平面CDE ,找出DM在平面CDE上的射影DG ,再沿DM展开平面 ADM ,使之与平面GDM 重合,此时, AP PQ 的最小值即为点 A到DG的距离,最后,结合数据解 三角形即可. 由题知,在正四面体 ABCD中, E为 AB中点, ,AB DE AB CE   , AB 平面CDE , 设CE中点为G ,连MG , M 为 AC中点, //MG AE ,且 1 3 2 2 MG AE  , MG 平面CDE , DG 即为DM在平面CDE上的射影, 沿DM展开平面 ADM ,使之与平面GDM 重合, 此时, AP PQ 的最小值即为点 A到DG的距离, 故过点 A作 AQ DG 于点Q , 又 2 2 3DM AD AM   , 3 33sin , cos 6 6 MGMDG MDG MD        , 30ADM   , 3 3 33 1 3 33sin sin( ) 6 2 6 2 12 ADQ ADM MDG            , 3 33 3 11sin 2 3 12 2 AQ AD ADQ          , 故选:A. 本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力,综合性较强.在解 决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式,将立体问题转化为平面问题解决. 3．C 对于(1) :当 1 2x x 时,由 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    可得: 1 2( ) ( )f x f x , 根据增函数的定义可知(1)正确; 对于(2): 1y x  单调减区间的减区间有两个,它们是 ( ,0) 和 (0, ) ,而不是 ( ,0) (0, )  ;不 正确. 对于(3): 0x  时,不满足奇函数的定义 ( ) ( )f x f x   ,不正确. 对于(4): A 的坐标显然满足 ( )y f x ,结合偶函数的定义可知点 ,B C 的坐标都满足 ( )y f x , 所以点 , ,A B C 都在 ( )y f x 的图象上. 对于(1) :若 1 2,x x I ,当 1 2x x 时,由 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    可得: 1 2( ) ( )f x f x ,根据增函数的定义可 知(1)正确; 对于(2) : 1y x  单调减区间为 ( ,0), (0, )  ,不能写成并集形式,故(2)错误; 对于(3):因为 ( 0)f  = (0) 1f  , (0) 1f  ,不满足 ( ) ( )f x f x   ,所以表格中的函数不是奇函数, 所以不正确; 对于(4):显然 ( , ( ))A a f a 在 ( )y f x 图像上; 因为函数 ( )y f x 为偶函数,所以 ( ) ( )f a f a  ,所以 ( , ( ))B a f a 也在 ( )y f x 图像上.; 因为函数 ( )y f x 为偶函数,所以 ( 1) ( 1)f a f a    ,所以 ( 1, ( 1))C a f a   也在 ( )y f x 图 像上.故(4)正确. 故选 C. 本题考查了函数的奇偶性和单调性,属基础题. 4．A 利用两角和的正弦可求 sin( 45 )   的值. 因为 为锐角，且 3sin 5   ，故 2 4cos 1 sin 5     ， 又 sin( 45 ) sin cos 45 cos sin 45         2 2 7 7 2sin cos 2 2 5 10       ， 故选 A. 本题考查两角和的正弦，利用同角的三角函数的基本关系式求一个角的另一个三角函数值时，要注 意角的范围，此类问题属于容易题，. 5．C 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由点差法得到  1 2 1 2 1 2 2y y y y p x x      ，因为过抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 且斜率为 1 的直线 l与抛物线C相交于 A，B两点，所以 1 2 1 2 1y y x x    ， AB方程为： 2 Py x  ，故 1 2 2y y p  ，AB中点横坐标为 3 2 p ，再由线段 AB的中点到抛物线 C准线的距离为 4，能求出 p． 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 1 2 2 2 2 2 y px y px   ① ②     ， ①-②，得：      1 2 1 2 1 22y y y y p x x    ， ∴  1 2 1 2 1 2 2y y y y p x x      ， ∵过抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点F 且斜率为 1 的直线 l与抛物线C相交于 A， B两点， ∴ 1 2 1 2 1y y x x    ， AB方程为： 2 Py x  ， ∵ 1 2 2 y y 为 AB中点纵坐标， ∴ 1 2y 2y p  ， ∵ 1 1 2 py x  ， 2 2 2 py x  ， ∴ 1 2 1 2y y x x p    ， ∴ 1 2 1 2x x y y p    ， ∵  1 21 2 3 2 2 2 y y px x p    ， ∴ AB中点横坐标为 3 2 p ， ∵线段 AB的中点到抛物线C准线的距离为 4， ∴ 3 4 2 2 p p   ，解得 2p  ． 故选：C． 本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价 转化． 6．C 由等差数列设出三数，再根据已知条件列出等式即可得到答案. 由等差数列可设三数依次为 , ,a d a a d  ，其中 d 为公差. 由题意得 2( )( ) 16a d a d a    ，可得 2 16d  ，则 ±4d  . 故选：C. 本题考查等差数列的公差，是一道基础题.成等差数列的三项可设为 , ,a d a a d  ，如此对称形式 的设法可以起到简化运算的效果. 7．D 根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假． 对于 A，由图可知，2020年 2月 19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从 2月 18日的 1660人大幅 下降至 615人，所以 A正确； 对于 B，从 2020年 2月 19日起至 2月 29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在 300-615之间， 3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以 B正确； 对于 C，由图可知，2020年 2月 19日至 3月 2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400人的有， 2月 20日，21日，23日，25日，26日，27日，3月 1日，2日，共 8天，所以 C正确； 对于 D，2020年 2月 15日到 3月 2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是 2月 16日 1690 例，最少的是 3月 2日 111例，1690-111=1579，所以 D不正确． 故选：D． 本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题． 8．B 由题意得: 52( 1) x  展开式中 2 x 项的系数与 x的系数之积，再加上常数项与-2的积，由此求出常数项． 由题意得: 52( 1) x  展开式中 2 x 项的系数与 x的系数之积，再加上常数项与-2的积，由此求出常数项． 所以： 4 4 5 5 2C 1 2 1 10 2 8x x         . 故选：B． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9．C 利用交集直接求解． ∵集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}， A∩B＝{﹣2，0，2}． 故选：C． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．C 先求出 a，然后可得渐近线方程 因为双曲线 2 2 2 1x y a   （ 0a  ）的实轴长为 2 所以 2 2a  ，即 1a  所以其渐近线方程为 y x  故选：C 本题考查的是双曲线的几何性质，较简单 11．D     ( ) ( ), ( )g x xf x xf x g x g x       为偶函数， 又 (0) 0, (0) 0,f g   当 x>0时， ( )f x 单调递减， ( )f x 单调递增， ( ) ( )g x xf x   单调递增， 又      0.8 0.8( 2) (2), 2 2 3, 2 2 3 ,a g g g g g         即 .b a c  本题选择 D选项. 点睛：对于抽象函数的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用 其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(－x) ＝f(x)＝f(|x|)，若 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x). 12．A 由复数的乘法法则计算． 2 1 2 1 1 5(2 ) 1 2 2 2 2 z z i i i i i i              ． 故选：A． 本题考查复数的乘法运算，属于基础题． 13． 4 1 0x y   ， 先对函数求导，根据题意求出切线斜率，进而可得切线方程. 因为 2( ) 2f x x x  ，所以 ( ) 2 2f x x   ， 所以函数 ( )f x 的图像在点 (1, (1))f 处的切线斜率为 (1) 4k f   ， 又 2(1) 1 2 3  f ， 因此，函数 ( )f x 的图像在点 (1, (1))f 处的切线方程为 3 4( 1)  y x ， 即 4 1 0x y   . 故答案为 4 1 0x y   本题主要考查函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型. 14． 2 3 ∵| |＝| |＝| － |＝2，∴△ABC是边长为 2的正三角形，∴| ＋ |为△ABC的边 BC上的 高的 2倍，∴| ＋ |＝2 . 15． 2 3 2 先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到 SAC 外心距离最大的问题，即可求得结果. 因为 , ,SA SB SC 两两垂直且 2SA SB SC   ， 故三棱锥 S ABC 的外接球就是对应棱长为 2的正方体的外接球. 且外接球的球心为正方体的体对角线的中点O，如下图所示： 容易知外接球半径为 3 . 设线段 AB的中点为 1O ， 故可得    1 1 1 1MA MB MO O A MO O B              1 1 1 1MO O A MO O A        2 2 2 1 1 1 2MO O A MO       ， 故当 1MO  取得最大值时，MA MB   取得最大值. 而当 , ,M A B在同一个大圆上，且 1MO AB ， 点M 与线段 AB在球心的异侧时， 1MO  取得最大值，如图所示： 此时，  22 1 13, 1,  2 3 1 2 2 3 2MO OO MO         故答案为： 2 3 2 . 本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性 困难题. 16．4 2 由题意可得， 0q  ， 1 0a  ， 1 2 2a q  ， 2 1 5 2 22 4a a q q    ，利用基本不等式可求最小值． 解：由题意可得， 0q  ， 1 0a  2 3 1 2a a q  1 2 2a q   4 2 1 5 1 1 2 22 2 4a a a a q q q       2 2 2 2 2 24 2 4 4 2q q q q      当且仅当 2 2 2 4q q  即 1 42q   时取等号 故答案为 4 2 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，利用基本不等式求解最值，属于基础题． 17．（1）   sin 2 2 3 f x x        ；（2） 5 24  . （1）根据图像的最高点于最低点，可得 ,A B，利用函数的周期可得，代入特殊值，可得，则 可得结果. （2）根据图像的变换和平移，可得  g x 的表达式，根据三角函数中偶函数的形式  cos 0, 0A x b A    ，可得结果. （1）由图可知： 3 1 1 2 A    ， 3 1 2 2 B    ， 3 11 7 3 2 12 12 2 T           ， 所以 2T      ，所以 2  ， 所以    sin 2 2f x x    . 由 11 11sin 2 1 12 6 f                 ， 得 11 32 6 2 k     ， kZ ， 所以 2 3 k    ， kZ ， 因为 2   ，所以 3    . 所以   sin 2 2 3 f x x        . （2）由题意：    sin 4 2 3 g x x m        ，  g x sin 4 4 2 3 x m         因为  g x 是偶函数， 所以 4 3 2 m k    ， kZ ， 所以 5 4 24 km     ， kZ ， 因为 0m  ，所以当 0k  时， m的最小值为 5 24  . 本题主要考查根据图像求 ( ) ( )sin ω φf x A x B= + + 以及平移变换，掌握 A，，，B 的意义以及求法，细心计算，属中档题. 18．（1）  (1) 0.25 3.30y x   ；（2）①见解析； ②          2 2 2 2 2 1 0.40 0.15 0.30 0.15 0.20Q            2 2 2 0.14 0.1Q   因为 1 2Q Q ，故模型  (2) 4.8 0.8y x   的拟合效果更好；（2）1.2万头，理由见解析. （1）根据所给数据计算 ,x y，再计算出方程中的系数，得方程； （2）①模型甲根据所求线性回归方程计算估计值，得残差，模型乙直接根据估计值得残差，②计 算出 1Q， 2Q 可得； （3）利用模型乙计算出成本，再计算出利润，然后比较可得． （1）由题知：       1 2 1 ˆ 5.34.4, 2.2, 0.25 21.2 n i ii n ii x x y y x y b x x               ， ˆˆ 2.2 0.25 4.4 3.30a y bx      ，故  1 0.2 3. 0ˆ 5 3y x   . （2）①经计算，可得下表： 生猪存栏数量 x（千头） 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本 y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲 估计值  1ˆiy 2.80 2.55 2.30 2.05 1.30 残差  1 îe 0.40 -0.15 -0.30 -0.15 0.20 模型乙 估计值  2ˆiy 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差  2 îe 0 0 0 0.14 0.1          2 2 2 2 2 1 0.40 0.15 0.30 0.15 0.20Q            2 2 2 0.14 0.1Q   因为 1 2Q Q ，故模型  2 4.8 .8ˆ 0y x   的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到 1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为 4.8 0.8 1.28 10   元， 这样一天获得的总利润为  7.5 1.28 10000 62200   元. 若生猪存栏数量达到 1.2万头， 由（2）模型乙可知，每头猪的成本为 4.8 0.8 1.2 12   元， 一天获得的总利润为  7.2 1.2 12000 72000   元， 因为72000 62200 ，所以选择择生猪存栏数量 1.2万头能获得更多利润. 本题考查线性回归直线方程，考查回归模型的应用，考查残差的概念，解题方法就是根据所给数 据进行计算，本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力． 19．（1）直线 l的直角坐标方程为 3 10 0x y   ，曲线C的普通方程为 2 2( 2) 2x y   ；（2） 5 3 2  . 试题分析: （1）对极坐标方程化简,根据 cos , sinx y     写出直线 l的直角坐标方程;对曲 线C移项平方消去参数 可得曲线C的普通方程;(2) 由（1）可知，曲线C是以  0, 2 为圆 心， 2为半径的圆, 圆心  0, 2 到直线 l的距离加上半径为点 P到直线 l距离的最大值. 试题解析:（1） sin 5 6         ，即 3 sin cos 10     ，又 cos , sinx y     . 直线 l的直角坐标方程为 3 10 0x y   . 曲线 2 , 2 2 x cos C y sin         ： （ 为参数），消去参数 可得曲线C的普通方程为  22 2 2x y   . 由（1）可知，曲线C是以  0, 2 为圆心， 2为半径的圆. 圆心  0, 2 到直线 l的距离       2 2 0 3 2 10 5 3 3 1 d          ， 点 P到直线 l距离的最大值为5 3 2  . 20．（1） 1a   （2）单调增区间为：  0,1 ,(2, ) 函数单调减区间为  1,2 （1）根据题可知  1 0f   ，由此计算出 a的值； （2）写出  f x 并因式分解，讨论 x取何范围能使    0, 0f x f x   ，由此求出单调递增、递 减区间. （1）由题意，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线斜率为 0. 2( ) 2af x x a x      ， (1) 1 2 2 0f a a      ， 所以 1a   ； （2）由（1）知， 1a   ， 22 3 2 ( 1)( 2)( ) + 3 ( 0)x x x xf x x x x x x          ， 当  0,1x 时，   0f x  ， 当  1,2x 时，   0f x  ， 当  2,x  时，   0f x  ， 所以函数单调增区间为：  0,1 ,(2, ) ；函数单调减区间为：  1,2 . 本题考查导数的几何意义的运用以及求解具体函数的单调区间，难度较易.已知曲线某点处切线斜 率求解参数时，可通过先求导，然后根据对应点处切线斜率等于导数值求解出参数. 21．见解析。 试题分析：因为          2 2 1 12 x y x y x y x y x y          ，根据三元均值不等式可得结 果 试题解析：证明：因为 0, 0,x y x y   ，所以 0x y  ， 因为                 32 2 2 1 1 12 3 3x y x y x y x y x y x y x y x y               , 当且仅当 1x y  时等号成立，所以   2 2 12 1 1 2 x y x xy y       22．（1）yt x；（2） . (1)由题意结合抛物线的定义确定 p的值即可求得抛物线方程； (2)分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况确定 的值即可. ′ 抛物线 C：t t݌ t， 焦点 t ht． 由抛物线定义得：ܲ t t 䁝， 解得 t， 抛物线 C的方程为t ．݌ t䀀①当 l的斜率不存在时，此时直线方程为：݌ t， tht t，th t t， 则 t t t t t t ． ②当 l的斜率存在时，设 ݌ t， t， 由 t ݌ t݌ ，可得t݌t t ݌ t t， 设 ，tht݌，′h′݌ 则݌′ t݌ ， ′ tt ′݌ t݌ t݌′݌′ ， 由题意可得′t 䁕 t݌′݌ ′t 䁕 ． 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 23．（1）见解析（2）见解析 试题分析：（1）证明：因为DE 平面 PAB，DE 平面 ABC，得到 DE AB∥ ，再利用线面平行 的判定定理，即可证明 AB  平面 PDE . （2）因为D是 BC的中点，DE AB∥ ，得到 PE AC ，进而证得DE AC ，从而 AC 平面 PDE， 利用面面垂直的判定定理，即可证得平面 ABC 平面 PDE . 试题解析： （1）证明：因为DE 平面 PAB，DE 平面 ABC， 平面 PAB平面 ABC AB ，所以 DE AB∥ 因为DE 平面 PDE， AB 平面 PDE，所以 AB  平面 PDE （2）因为D是 BC的中点， DE AB∥ ，所以 E为 AC的中点. 又因为 PA PC ，所以 PE AC 又 AB AC ， DE AB∥ ，所以DE AC ， DE， PE 平面 PDE，DE PE EI ，所以 AC 平面 PDE . 因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 PDE .