（新课标） 高考数学 1.1 相似三角形的判定及有关性质

（新课标） 高考数学 1.1 相似三角形的判定及有关性质

【师说 高中全程复习构想】（新课标） 高考数学 1.1 相似三角形的 判定及有关性质 一、填空题 1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，AD∶AB＝1∶3.若 DE＝2， 则 BC＝__________. 解析：∵DE∥BC，∴AD AB ＝DE BC ，即1 3 ＝ 2 BC . 解得 BC＝6. 答案：6 2．如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，延长 AE 交 BC 于 F，则BF FC ＝__________. 解析：如图，过 D 作 DG∥BC 交 AF 于 G， ∵E 是 BD 的中点，∴DG＝BF. 又∵DG∥BC，∴DG FC ＝AD AC ＝1 2 . ∴BF FC ＝DG FC ＝1 2 . 答案：1 2 3．如图，在△ABC 中，M、N 分别是 AB、BC 的中点，AN、CM 交于点 O，那么△MON 与△AOC 面积的比是__________． 解析：∵M、N 分别是 AB、BC 的中点， ∴MN∥AC，MN＝1 2 AC. ∴△MNO∽△CAO. ∴S△MON S△COA ＝ MN AC 2＝ 1 2 2＝1 4 . 答案：1∶4 4．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ 6，AC＝3，则 CD＝__________. 解析：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△CDB∽△CBA. ∴BC AC ＝CD BC ，即 6 3 ＝CD 6 . ∴CD＝2. 答案：2 5．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC＝4，AD＝12.则 BE＝__________. 解析：由于∠B＝∠D. ∴∠AEB＝∠C，从而得△ABE∽△ADC. ∴AB AD ＝AE AC 解得 AE＝2，故 BE＝ AB2－AE2＝4 2. 答案：4 2 6．如图所示，在▱ ABCD 中，BC＝24，E、F 为 BD 的三等分点，则 BM＝__________；DN＝ __________. 解析：∵AD∥BC，BE＝EF＝FD， ∴BM AD ＝BE DE ＝1 2 . ∵AD＝BC＝24，∴BM＝12. ∵AD∥BC， ∴DN BM ＝FD FB ＝1 2 . ∴DN＝1 2 BM＝6. 答案：12 6 7．如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝6，且 AD∶BD＝3∶2，则斜边 AB 上的中 线 CE 的长为__________． 解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD·BD. 设 AD＝3x，那么 BD＝2x，AB＝5x， ∵CD＝6，∴6x2＝62. ∴x＝ 6，AB＝5x＝5 6. ∵CE 是斜边 AB 上的中线， ∴CE＝1 2 AB＝5 2 6. 答案：5 2 6 8．如图，D、E 两点分别在 AC、AB 上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件： ________________，使得△ADE∽△ABC. 解析：∵∠A＝∠A，由两角对应相等，两三角形相似，可添加∠1＝∠B 或∠2＝∠AED.由两 边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加AE AC ＝AD AB . 答案：∠1＝∠B 或∠2＝∠E 或AE AC ＝AD AB . 9．如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AD 上的一点，延长 BE 交 AC 于点 F，若AE AD ＝1 4 ， 则AF AC 的值为__________． 解析：过点 A 作 AG∥BC，交 BF 延长线于点 G. 由AE AD ＝1 4 ，得AE ED ＝1 3 ， 由△AGE∽△DBE，得AG BD ＝AE ED ＝1 3 . 由 D 为 BC 中点，知 BC＝2BD，故AG BC ＝1 6 . ∵△AGF∽△CBF，∴AF FC ＝AG BC ＝1 6 .故AF AC ＝1 7 . 答案：1 7 10．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，且 BC∶AC＝2∶3，则 BD∶AD＝__________. 解析：由射影定理知 AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴BC2 AC2 ＝BD AD ＝4 9 . 答案：4 9 三、解答题 11．(2014·苏北模拟)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边 上一点，连接 BO 交 AD 于 F，OE⊥OB 交BC 边于点 E. 图 1 图 2 (1)求证：△ABF∽△COE； (2)当 O 为 AC 边中点，AC AB ＝2 时，如图 2，求OF OE 的值； (3)当 O 为 AC 边中点，AC AB ＝n时，请直接写出OF OE 的值． 解析：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C. ∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°， ∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE. ∴△ABF∽△COE； (2)方法一：作 OG⊥AC，交 AD 的延长线于 G. ∵AC＝2AB，O 是 AC 边的中点， ∴AB＝OC＝OA. 由(1)有△ABF∽△COE， ∴△ABF≌△COE，∴BF＝OE. ∵∠BAD＋∠DAC＝90°， ∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD， 又∠BAC＝∠AOG＝90°，AB＝OA. ∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB. ∵OG⊥OA，∴AB∥OG，∴△ABF∽△GOF， ∴OF BF ＝OG AB ，OF OE ＝OF BF ＝OG AB ＝2. 方法二： ∵∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD⊥BC 于 D， ∴Rt△BAD∽Rt△BCA. ∴AD BD ＝AC AB ＝2. 设 AB＝1，则 AC＝2，BC＝ 5，BO＝ 2， ∴AD＝2 5 5，BD＝1 5 5. ∵∠BDF＝∠BOE＝90°，∴△BDF∽△BOE， ∴BD DF ＝BO OE . 由(1)知 BF＝OE，设 OE＝BF＝x， ∴ 1 5 5 DF ＝ 2 x ，∴x＝ 10DF. 在△DFB 中 x2＝1 5 ＋ 1 10 x2，∴x＝ 2 3 . ∴OF＝OB－BF＝ 2－1 3 2＝2 3 2， ∴OF OE ＝ 2 3 2 1 3 2 ＝2. (3)OF OE ＝n. 12．已知在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点 C任作一直线与 AB、AD 分别交于点 F、E. (1)如图①，DG∥CF 交 AB 于点 G，当 D 是 BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AF FB . (2)如图②，当BD DC ＝1 2 时，求证：AE ED ＝3AF 2FB . (3)如图，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AF FB 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们 之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由． 解析：(1)∵DG∥CF，BD＝DC， ∴BG＝FG＝1 2 BF. ∵FE∥DG，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝ AF 1 2 BF ＝2AF BF . (2)过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，∴AE ED ＝AF FG . 又BD DC ＝1 2 ， ∴DC＝2BD＝2 3 BC. ∵DG∥FC，∴FG BF ＝DC BC ＝2 3 . ∴FG＝2 3 BF，∴AE ED ＝ AF 2 3 BF ＝3AF 2BF . (3)当BD DC ＝m n 时，有等式：AE ED ＝m＋n n ·AF FB . 证明如下：如题图，过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． ∴AE ED ＝AF FG . 又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m＋n n . ∵DG∥FC，∴BF FG ＝BC DC ＝m＋n n . ∴FG＝ n m＋n BF.∴AE ED ＝ AF n m＋n BF ＝m＋n n ·AF BF .