高考数学黄金100题系列第13题函数的图像文

高考数学黄金100题系列第13题函数的图像文

第 13 题函数的图像 I．题源探究·黄金母题 【例 1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为 剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回 家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞， 耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加 速． 【解析】图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示 离开家的距离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓 缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D）对应事件（1），返 回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C）我出发后，以为 要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 23 页练习第 2 题 【母题评析】本题考查了函数的表示 法之一—图像法，意在培养学生的数 形结合思想，也考察了学生的分析问 题和解决问题的能力，同时告诉了学 生生活之中处处有数学，数学来源于 生活又应用与生活。 【思路方法】数形结合思想是高中数 学中主要的解题思想之一，提别是 在 解决函数的问题中，函数图像是强有 力的工具，这种思想是近几年高考试 题常常采用的命题形式。 【例 2】函数 ( )r f p 的图象如图所示． （1）函数 ( )r f p 的定义域是什么？ （2）函数 ( )r f p 的值域是什么？ （3） r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？ 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 25 页习题 1．2B 组第 1 题 【母题评析】本题以分段函数的图像 为载体考察了函数定义域、值域的求 【解析】（1）函数 ( )r f p 的定义域是[ 5,0] [2,6)  ； （2）函数 ( )r f p 的值域是[0, ) ； （3）当 5r  ，或 0 2r  时，只有唯一的 p 值与之对应． 法，加强学生对函数概念及函数三要 素的理解，这对以后学习函数的性质 有很大的帮助。 【思路方法】函数图像解决函数问题 是强有力的工具，因此培养学生的读 图、识图能力很重要。 【例 3】函数 ( ) [ ]f x x 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如 [ 3.5] 4   ，[2.1] 2 ．当 ( 2.5,3]x  时，写出函数 ( )f x 的解 析式，并作出函数的图象． 【解析】 3, 2.5 2 2, 2 1 1, 1 0 ( ) [ ] 0, 0 1 1, 1 2 2, 2 3 3, 3 x x x f x x x x x x                          图象如下 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 25 页习题 1．2B 组第 3 题 【母题评析】本题是一道信息给予 题，通过定义新函数，考查了学生对 分段函数概念的理解及函数解析式 的求法，同时培养学生阅读能力和理 解能力。 【思路方法】数形结合思想是高中数 学中主要的解题思想之一，提别是在 解决函数的问题中，函数图像是强有 力的工具，这种思想是近几年高考试 题常常采用的命题形式。 【例 4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 ( )y f x 的 单调区间，以及在各单调区间上函数 ( )y f x 是增函数还是减函 数． （1） 2 5 6y x x   ；（2） 29y x  ． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 39 页习题 1．3A 组第 1 题 【母题评析】本题以画图的方式让学 生去寻找函数的单调区间，培养学生 【解析】（1）函数在 5( , )2  上递减；函数在 5[ , )2  上递增； （2）函数在 ( ,0) 上递增；函数在[0, ) 上递减． 的作图、读图、识图的能力，。 【思路方法】利用函数图像求函数的 单调区间是一种常用的方法，数形结 合思想是高中数学中主要的解题思 想之一，提别是在解决函数的问题 中，函数图像是强有力的工具，这种 思想是近几年高考试题常常采用的 命题形式。 【例 5】出函数 3logy x 及 1 3 logy x 的图象，并且说明这两个 函数的相同点和不同点，如右图所示． 【解析】画出函数 3logy x 及 1 3 logy x 的图象，如下图所示： 相同点：图象都在 y 轴的右侧，都过点 (1,0) 不同点： 3logy x 的图象是上升的， 1 3 logy x 的图象是下降的 关系： 3logy x 和 1 3 logy x 的图象是关于 x 轴对称的． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 73 页练习第 1 题 【母题评析】本题以 3logy x 和 1 3 logy x 的图像为载体，让同学们 再次认识对数函数 0 1, 1a a   图 像的异同，加强学生对对数函数图像 的认识。 【思路方法】利用图像解决函数的问 题，形象直观，过程简练，语言简洁。 【例 6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根： （1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x2=4x-4；（4）5x2+2x=3x2+5 【解析】（1）令 f(x)=-x2+3x+5，作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7 （1）)，它与 x 轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0 有两个不相等 的实数根． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 88 页练习第 1 题 【母题评析】本题以通过图像然学生 去探究方程根的分布情况，意在培养 （2）2x(x-2)=-3 可化为 2x2-4x+3=0，令 f(x)=2x2-4x+3， 作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7（2）)，它与 x 轴没有交点，所 以方程 2x(x-2)=-3 无实数根． （3）x2=4x-4 可化为 x2-4x+4=0，令 f(x)=x2-4x+4，作出函数 f(x) 的图象(图 3-1-2-7（3）)，它与 x 轴只有一个交点(相切)，所以 方程 x2=4x-4 有两个相等的实数根． （4）5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2+2x-5=0，令 f(x)=2x2+2x-5，作出函 数 f(x)的图象(图 3-1-2-7（4）)，它与 x 轴有两个交点，所以方 程 5x2+2x=3x2+5 有两个不相等的实数根． 学生的数形结合思想，同时也渗透了 函数与方程思想。 【思路方法】本题为研究方程根的分 布指明了方向，即转化为判断函数图 像与 x 轴交点个数问题。 【例 7】设函数 2( ) 3 2f x x x    ，若 2( ) 2 [ ( )]g x f x  ， （1）求 ( )g x 的解析式； （2）借助计算机或计算器，画出函数 ( )g x 的图像；（3）求出函数 ( )g x 的零点（精确度 0．1）． 【 解 析 】 （ 1 ） 由 题 设 有 g(x)=2- ［ f(x) ］ 2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2． （2）函数图象如下图所示． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 93 页习题 3．1B 组第 3 题 【母题评析】本题是一道求复合函数 解析式与函数零点相结合的问题，同 时考查了如何利用零点分段法去求 函数的零点。 【思路方法】本题为研究函数的零点 指明了方向，即转化为判断函数图像 与 x 轴交点个数问题。解决这类需要 我们利用图象所提供的信息来分析 解决问题的题目的常用方法有：①定 图 3-1-2-10 （3）由图象可知，函数 g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0) 内各有一个零点．取区间(-3，-2)的中点 x1=-2．5，用计算器可算 得 g(-2．5)=0．187 5．因为 g(-3)·g(-2．5)<0，所以 x0∈(-3， -2．5)．再取(-3，-2．5)的中点 x2=-2．75，用计算器可算得 g(-2．75)≈0．28．因为 g(-3)·g(-2．75)<0，所以 x0∈(-3，-2．75)． 同理，可得 x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)． 由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在区间(-3， -2)内的近似解可取为-2．812 5．同样可求得函数在区间(-1，0) 内的零点约为-0．2． 所以函数 g(x)精确到 0．1 的零点约为-2．8 或-0．2． 性分析法，也就是通过对问题进行定 性的分析，从而得出图象的上升(或 下降)的趋势，利用这一特征来分析 解决问题；②定量计算法，也就是通 过定量的计算来分析解决问题；③函 数模型法，也就是由所提供的图象特 征，联想相关函数模型，利用这一函 数模型来分析解决问题． 分段函数的函数值时，应首先确定所 给自变量的取值属于哪一个范围，然 后选取相应的对应关系．若自变量值 为较大的正整数，一般可考虑先求函 数的周期．若给出函数值求自变量 值，应根据每一段函数的解析式分别 求解，但要注意检验所求自变量的值 是否属于相应段自变量的范围； II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 I 卷】函数 sin2 1 cos xy x   的部分图像大 致为（） A． B．C．D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数 sin 2 1 cos xy x   为奇函数，故排除 B；当 x  【命题意图】识别辨析函数的图象， 实质就是分析函数的性质，主要观察 以下几点： ①函数的定义域； ②函数图象的最高点(最大值)和最 低点(最小值)； ③与坐标轴的交点（即 ( ) 0f x  或 0x  的点）； ④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即 函数的单调性)； ⑥图象的变化规律(即函数的周期 性)； 时， 0y  ，排除 D；当 1x  时， sin 2 01 cos2y   ，排除 A．故 选 C． 【例 2】【2017 高考新课标 III 卷】函数 2 sin1 xy x x    的部分图 像大致为（） A B C D 【答案】D 【解析】当 1x  时，  1 1 1 sin1 2 sin1 2f       ，故排除 A， C，当 x   时， 1y x  ，故排除 B，满足条件的只有 D，故 选 D． 【例 3】【2017 高考山东卷】已知当  0 ,1x 时，函数  21y mx  的图象与 y x m  的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取 值范围是（） A．  0 ,1 2 3 ,  B．   0 ,1 3,  C． 0 , 2 2 3 ,     D．  0 , 2 3,    【答案】B 【解析】当 0 1m  时， 1 1m  ，  21y mx  单调递减，且    2 21 1 ,1y mx m      ， y x m  单调递增，且 y x m   ,1m m  ，此时有且仅有一个交点；当 1m  时， ⑦函数图象的凸凹性． 【考试方向】高考试题的考查角度有 两种：一种是给出函数解析式判断函 数图象；一种是函数图象的应用．图 象的判断以及函数图象的应用、数形 结合的数学思想方法及利用函数图 象研究函数性质、方程、不等式等问 题仍将是高考的主要考查内容，备考 时应加强针对性的训练． 【难点中心】本类试题主要考查幂、 指、对函数图像与性质、二次函数函 数的图象与性质、函数与方程、分段 函数的概念．解答此类问题，关键在 于能利用数形结合思想，通过对函数 图象的分析，转化得到代数不等式．这 类题能较好的考查考生数形结合思 想、转化与化归思想、基本运算求解 能力等．这类题目一般比较灵活，对 解题能力要求较高，故也是高考中的 难点，解决这类问题的方法一般是利 用间接法，即由函数性质排除不符合 条件的选项． （1）运用函数性质研究函数图像时， 先要正确理解和把握函数相关性质 本身的含义及其应用方向； （2）在运用函数性质特别是奇偶性、 周期、对称性、单调性、最值、零点 时，要注意用好其与条件的相互关 系，结合特征进行等价转化研究．如 10 1m   ，  21y mx  在 1 ,1m      上单调递增，所以要有且仅 有一个交点，需 21 1 , 3m m m     ，故选 B． 【例 4】【2017 高考北京卷】三名工人加工同一种零件，他们在一 天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名 工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为 第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． ①记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中 最大的是_________． ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1， p2，p3 中最大的是_________． 【答案】 1Q ； 2.p 【解析】 试题分析：作图可得 1 1A B 中点纵坐标比 2 2 3 3,A B A B 中点纵坐标大， 所以第一位选 1Q 分别作 1 2 3, ,B B B 关于原点的对称点 1 2 3, ,B B B   ，比较直线 1 1 2 2 3 3, ,A B A B A B   斜率，可得 2 2A B 最大，所以选 2.p 奇偶性可实现自变量正负转化，周期 可实现自变量大小转化，单调性可实 现去“ f ”，即将函数值的大小转化 自变量大小关系 III．理论基础·解题原理 考点一由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象 此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点： ①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)； ③与坐标轴的交点（即 ( ) 0f x  或 0x  的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹性． 解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是 通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；② 定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联 想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 考点二利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 ( ) 0f x  的根就是函数 ( )f x 图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 ( ) ( )f x g x 的根就是函数 ( )f x 与 ( )g x 图象交点的横坐标． 考点三、函数图象变换 设函数  y f x ，其它参数均为正数 （1）平移变换：  f x a ：  f x 的图像向左平移 a 个单位；  f x a ：  f x 的图像向右平移 a 个单位  f x b ：  f x 的图像向上平移 a 个单位；  f x b ：  f x 的图像向下平移 a 个单位 （2）对称变换：  f x ：与  f x 的图像关于 y 轴对称；  f x ：与  f x 的图像关于 x 轴对称  f x  ：与  f x 的图像关于原点对称 （3）伸缩变换：  f kx ：  f x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 11 0 1 k k k     ： 收缩 ：拉伸  kf x ：  f x 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 1 0 1 kk k     ： 拉伸倍 ：收缩 （4）翻折变换：  f x ：       , 0 , 0 f x x f x f x x     即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于 y 轴对称的图像  f x ：           , 0 , 0 f x f x f x f x f x    即 x 轴上方的图像不变，下方的图像沿 x 轴对称的翻上去。 考点四二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有 3 种情况， 若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢 （3）与导数的关系：设  'f x 的导函数为  ''f x （即  f x 的二阶导函数），如图所示：增长速度受每 一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随 x 的增大而增大，即  'f x 为增函数  '' 0f x  ； 上凸函数随 x 的增大而减小，即  'f x 为减函数  '' 0f x  ； IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象 的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等 问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练． 【技能方法】 在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的 性质即可进行排除，常见的区分要素如下： （1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于 x 轴上方的区域表示原函数的单调增 区间，位于 x 轴下方的区域表示原函数的单调减区间 （2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点 （4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察 （5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间 为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 【易错指导】 1。利用图像变换作图的步骤： （1）寻找到模板函数  f x （以此函数作为基础进行图像变换） （2）找到所求函数与  f x 的联系 （3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。 例如：作图：  ln 1y x  第一步寻找模板函数为：   lnf x x 第二步寻找联系：可得  1y f x  第三步制定策略：由  1f x  特点可得：先将  f x 图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方图像向上进 行翻折，然后按照方案作图即可 2。如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如：  3 1y f x  ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤   2y f x   ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换 （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以 及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时 注意以下原则： ①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ②横坐标的多次变换中，每次变换只有 x 发生相应变化 例如：    2 1y f x y f x    可有两种方案 方案一：先平移（向左平移 1 个单位），此时    1f x f x  。再放缩（横坐标变为原来的 1 2 ），此时 系数 2 只是添给 x ，即    1 2 1f x f x   方案二：先放缩（横坐标变为原来的 1 2 ），此时    2f x f x ，再平移时，若平移 a 个单位，则       2 2 2 2f x f x a f x a    （只对 x 加 a ），可解得 1 2a  ，故向左平移 1 2 个单位 ③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：    2 1y f x y f x    有两种方案 方案一：先放缩：    2y f x y f x   ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1，即     2 2 1y f x y f x    方案二：先平移：     1y f x y f x    ，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 a 倍，那么     1 1y f x y a f x     ，无论 a 取何值，也无法达到  2 1y f x  ，所以需要对前一步进行 调整：平移 1 2 个单位，再进行放缩即可（ 2a  ） 3、变换作图的技巧： （1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。 先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性 （2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与 y 轴的交点等 V．举一反三·触类旁通 考向 1 由式定图 【例 1】【2018 江西省级联考】函数 的图象大致为（） ABCD 【答案】A 【例 2】【2018 广西柳州上学期摸底测试】函数    1 cos sinf x x x  在 ,  上的图象的大致形状是 （） ABCD 【答案】A 【解析】          1+cos sin 1 cos sinf x x x x x f x           ，  f x 为奇函数，故图象关 于原点对称，故排除 C，当 2x  时， 12f      ，故排除 D，当 4x  时， 2 2 2+ 21+ 14 2 2 2f         （ ） ，故排除 B，故选 A 【例 3】【2018】函数 sin cosy x x x  的图像大致为（） ABCD 【答案】D 【解析】  0 1f  ，排除 ,A C ，  ' cosf x x x ，显然在 0, 2      上，  ' 0f x  ，函数为递增，排 除 C，故选 D． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及 数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、 考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、特殊点以及 0 , 0 , ,x x x x       时函数图象的变化趋势，利用排除法， 将不合题意选项一一排除． 【例 4】【2018 广西模拟】定义运算 a  b   { ( ) a a b b a b   ，则函数   1f x   2x 的图象是（） ABCD 【答案】A 【跟踪练习】 1．【2018 河南豫南九校第二次质量检测】函数   2log xf x x  的大致图象是（） ABCD 【答案】C 【解析】     2 2 2 log 0log log 0 x xx xf x xx xx       ， ， ， ，  f x 为奇函数，排除 B；在 0  , 上，当 0 1x  时，   0f x  ，排除 A； x   时，   0f x  ，排除 D，故选 C 2．【2018 广东珠海一中等六校第一次联考】函数 2lnx xy x  的图象大致是（） ABCD 【答案】D 3．【2018 广西桂林模拟】函数 的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件知 ，函数为奇函数，有定义域得 ，排除 C；当 趋向于 时， 趋 向于 ．当 趋向于 时， 趋向于 ．排除Ｄ；当 趋向于 时， 趋向于 ．故答案为 B． 4．【2018 河南郑州一中上学期入学考试】设曲线   2 1cosf x m x  （ m R ）上任一点 ,x y 处切线 斜率为  g x ，则函数  2y x g x 的部分图象要以为（） A． B． C． D． 【答案】D 考向 2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合 【例 5】【2018 吉林长春一模】已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上所有零点之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，作图如下： 四个交点分别关于 对称，所以零点之和为 ，选 D． 【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函 数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例 6】【2018 河南郑州一中上学期入学考试】设函数   2 2 1 2 2, 0{ 2 log , 0 x x xf x x x     ，若关于 x 的方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则 1 2 2 4 3 4 1x x x x x   的取值范围是（） A． 3,  B．  ,3 C． 3,3 D． 3,3 【答案】D 【名师点睛】在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用 数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 4x 的取值范围． 【例 7】【2017 福建师大附中模拟】已知定义在 R 上的奇函数  f x 的导函数为  'f x ，当 0x  时，  f x 满足      2 'f x xf x xf x  ，则  f x 在 R 上的零点个数为（） A．5 B．3 C．1 或 3 D．1 【答案】D 【解析】构造函数  2 0x x f xF x xe （ ） （ ＜ ）所以              2 2 2 2 '2 '' x x x xx x f x xf x xf xxf x e x f x e x f x eF x ee       （ ） 因为 2 ' 0f x xf x xf x x（ ） （ ）＜ （ ）， ＜ ，所以 ' 0F x（ ）＞ ， 所以函数 F x（ ）在 0x＜ 时是增函数， 又 0 0F （ ） 所以当 x 0 0 0F x F ＜ ，（ ）＜（ ） 成立， 因为对任意 2 0 0x xx e ＜ ， ＞ ，所以 0f x（ ）＜ ， 由于 f x（ ）是奇函数，所以 x＞0 时 0f x（ ）＞ ，即 0f x （ ） 只有一个根就是 0． 故选 D． 【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键． 【例 8】【2017 云南昆明第二次统测】已知关于 x 的方程 1 2 a xx  有三个不同的实数解，则实数 a 的 取值范围是（） A． ,0 B． 0,1 C． 1, D．  0, 【答案】C 【例 9】【2016 高考山东卷】已知函数 2 | |,( ) 2 4 , x x mf x x mx m x m      其中 0m  ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________． 【答案】 3, 【解析】画出函数图象如下图所示： 由 图 所 示 ， 要  f x b 有 三 个 不 同 的 根 ， 需 要 红 色 部 分 图 像 在 深 蓝 色 图 像 的 下 方 ， 即 2 2 4m m m m m    ， 2 3 0m m  ，解得 3m  。 【例 10】【2016 广东广州一模】已知函数   2 1 1 , 1, 4 2, 1 x x f x x x x         ， 则函数    2 2xg x f x  的零 点个数为个． 【答案】 2 【 例 11 】【 2016 年 南 昌 模 拟 】 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 ， 当  0,3x 时 ， 2 1( ) 2 2f x x x   ，若函数 ( )y f x a  在区间 3,4 上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值 范围是． 【答案】 1(0, )2 【例 12】已知函数 ( ) 2 3f x x x= + ， x RÎ ．若方程 ( ) 1 0f x a x- - = 恰有 4 个互异的实数根，则 实数 a 的取值范围为__________． 【答案】   0,1 9, ． 【解析】 方法一：在同一坐标系中画 ( ) 2 3f x x x= + 和 ( ) 1g x a x= - 的图象（如 图），问题转化为 ( )f x 与 ( )g x 图象恰有四个交点．当 ( )1y a x= - 与 2 3y x x= + （或 ( )1y a x= - - 与 2 3y x x=- - ）相切时， ( )f x 与 ( )g x 图象恰有三个交点．把 ( )1y a x= - 代入 2 3y x x= + ，得 ( )2 3 1x x a x+ = - ，即 ( )2 3 0x a x a+ - + = ，由 0D = ，得( )23 4 0a a- - = ，解得 1a = 或 9a = ．又 当 0a = 时， ( )f x 与 ( )g x 仅两个交点， 0 1a   或 9a  ． 方 法 二 ： 显 然 1a ¹ ， 所 以 2 3 1 x xa x += - ． 令 1t x= - ， 则 4 5a t t= + + ． 因 为 ( ] [ ), ,4 4 4t t Î -¥ - ¥+ + ，所以 ( ] [ )4 5 ,1 9,t t+ + + ．结合图象可得 0 1a< < 或 9a > ． 【例 13】设函数 f(x)＝|1－1 x|(x>0)． （1）作出函数 f(x)的图象； （2）当 04}． (5) {m|00 的解集为：{x|04}． (5)由图象可知若 y＝f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交点，则 0

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