高考数学二轮复习立体几何专题训练1含解析

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高考数学二轮复习立体几何专题训练1含解析

南宫中学 高三二轮复习立体几何专题训练(1) 1.如图所示的多面体中, ABCD是菱形, BDEF 是矩形, ED 面 ABCD , 3 BAD    . (1)求证:平 / /CF AED面B 面 ; (2))若BF BD a  ,求四棱锥A BDEF 的体积. 2. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 中点, AE BD 于 E (不同于点 D),延长 AE 交 BC 于 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 1A BCD ,如图 2 所示. (Ⅰ)若 M 是 FC 的中点,求证:直线DM //平面 1A EF ; (Ⅱ)求证:BD⊥ 1A F ; (Ⅲ)若平面 1ABD  平面 BCD,试判断直线 1A B与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 3.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,△PAD是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点。 (I)求证:PM⊥MN; (II)求证:平面 PMN⊥平面 PBC; (III)在 PA 上是否存在点 Q,使得平面 QMN//平面 PCD?若在求出 Q 点位置,并证明;若不存在, 请说明理由。 4.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是菱形,四边形 MADN 是矩形,平面 MADN平面 ABCD,E,F 分别为 MA, DC 的中点,求证: (I)EF//平面 MNCB; (Ⅱ)平面 MAC平面 BND. 1图 图 2 A B C A1 O B1 C1 5.如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90ADC   , / /CD AB , 1 2 2 AD CD AB   , 点 E 为 AC 中点.将 ADC 沿 AC折起, 使平面 ADC平面 ABC ,得到几何体D ABC ,如图 2 所示. (I)在CD上找一点 F ,使 / /AD 平面 EFB ; (II)求点C到平面 ABD的距离. BA CD 图 1 E A B C D 图 2 E 6.(本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,O 是 AC 的中点,A1O⊥平面 ABC,∠BCA=90°,AA1=AC=BC. (I)求证: AC1⊥平面 A1BC; (II)若 AA1=2,求三棱锥 C-A1AB 的高的大小. 7.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ,O是底 ABCD对角线的交点. 求证:(1) 1C O 面 1 1AB D ; (2) 1AC  面 1 1AB D . (3) 1 1 1AB D C BD平面 平面 O C 1 D1 B1 A1 CD A B 8.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD 垂直于 AB 和 DC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA = 2,AD = DC = 1,点 E在 SD 上,且 AE⊥SD。 (1)证明:AE⊥平面 SDC; (2)求三棱锥 B—ECD 的体积。 9.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:Al C∥平面 AB1D; (2)求点 C 到平面 AB1D 的距离. 10.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA 面 ABC , ∠BAC=120°,且 AB=AC=AP=1,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 AN=BN. (Ⅰ)求证:AB⊥MN; (Ⅱ)求点 P 到平面 NMA 的距离. 11.(本小题满分 12 分)四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60° (Ⅰ)证明:∠PBC=90°; (Ⅱ)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 12.(本小题满分 12 分) 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 190 , 2ABC AA AC BC     1A在底面 ABC 内的射影为 AC 的中点 D. (1)求证: 1 1BA AC ; (2)求三棱锥 1 1B ADB 的体积. 13.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 12, 1BC AB AC AA    ,D是棱 1CC 上 的一点, P是 AD的延长线与 1 1AC 的延长线的交点,且 1PB ∥平面 1BDA . (Ⅰ)求证: DCCD 1 ; (Ⅱ)求点C到平面 1B DP的距离. 14. ( 本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 BCDEA 中, ABC 是正三角形,四边形 BCDE 是矩形,且平面 ABC 平面 BCDE, 2AB , 4AD . (1)若点G是 AE 的中点,求证: //AC 平面 BDG (2)若 F 是线段 AB 的中点,求三棱锥 EFCB  的体积. 15.(本题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中, PA 面 ABCD, BD交 AC于点 E, F 是 PC中点, G为 AC上一动点. (1)求证: BD FG ; (2)确定点G在线段 AC上的位置,使 FG //平面 PBD,并说明理由. (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积 立体几何专题训练(1)答案详解 1.如图所示的多面体中, ABCD是菱形, BDEF 是矩形, ED 面 ABCD , 3 BAD    . (1)求证:平 / /CF AED面B 面 ; (2))若BF BD a  ,求四棱锥A BDEF 的体积. .(本题满分14 分) 证明:(1)由 ABCD是菱形 / /BC AD ,BC ADE AD ADE  面 面 / /BC ADE 面 ………………………………3 分 由 BDEF 是矩形 / /BF DE B A C D P 1A 1B 1C ,BF ADE DE ADE  面 面 / /BF ADE 面 , ,BC BCF BF BCF BC BF B   面 面 / /BCF ADE面 面 ………………………………6 分 (2)连接AC ,AC BD O 由 ABCD是菱形, AC BD  由 ED 面 ABCD ,AC ABCD面 ED AC  , ,ED BD BDEF ED BD D  面 AO BDEF 面 ,……………………………………………10 分 则AO 为四棱锥A BDEF 的高 由 ABCD是菱形, 3 BAD    , 则 ABD 为等边三角形, 由 BF BD a  ;则 3, 2 AD a AO a  2 BDEFS a , 2 31 3 3 3 2 6A BDEFV a a a     ………………………………………14 分 2. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 中点, AE BD 于 E (不同于点 D),延长 AE 交 BC 于 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 1A BCD ,如图 2 所示. (Ⅰ)若 M 是 FC 的中点,求证:直线DM //平面 1A EF ; (Ⅱ)求证:BD⊥ 1A F ; (Ⅲ)若平面 1ABD  平面BCD,试判断直线 1A B与直线 CD 能否垂 直?并说明理由. .解: (Ⅰ)因为D ,M 分别为 ,AC BD中点,所以DM //EF ---------------------2 分 又 1EF A EF平面 , 1DM AEF平面 所以 1/ /DM AEF平面 . -----------------------4 分 (Ⅱ)因为 1AE BD ,EF BD 且 1AE EF E 所以 1BD AEF平面 -------------7分 又 1 1AF AEF平面 所以 1BD AF ------------------------9分 (Ⅲ)直线 1A B与直线CD不能垂直 ---------------------------------------10 分 因为 1A BD BCD平面 平面 , 1A BD BCD BD平面 平面 ,EF BD , EF CBD平面 , 所以 1EF A BD平面 . ---------------------------------------12 分 因为 1 1A B A BD平面 ,所以 1AB EF , 又因为 / /EF DM ,所以 1AB DM . 假设 1AB CD , 因为 1AB DM ,CD DM D , 所以 1A B BCD平面 , ------------------------------------------13 分 所以 1AB BD , 1图 图 2 这与 1A BD 为锐角矛盾 所以直线 1A B与直线CD不能垂直. ---------------------------------------14 分 3(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,△PAD是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点。 (I)求证:PM⊥MN; (II)求证:平面 PMN⊥平面 PBC; (III)在 PA 上是否存在点 Q,使得平面 QMN//平面 PCD?若在求出 Q 点位置,并证明;若不存在, 请说明理由。 4.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是菱形,四边形 MADN 是矩形,平面 MADN平面 ABCD,E,F 分别为 MA, DC 的中点,求证: (I)EF//平面 MNCB; (Ⅱ)平面 MAC平面 BND. 5.如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90ADC   , / /CD AB , 1 2 2 AD CD AB   , 点 E 为 AC 中点.将 ADC 沿 AC折起, 使平面 ADC平面 ABC ,得到几何体D ABC ,如图 2 所示. (I)在CD上找一点 F ,使 / /AD 平面 EFB ; A B C A1 O B1 C1 A B C D E F (II)求点C到平面 ABD的距离. BA CD 图 1 E A B C D 图 2 E 解 :(1) 取 CD 的 中 点 F , 连 结 EF , BF ------2 分 在 ACD 中, E , F 分别为 AC ,DC的中点  EF 为 ACD 的中位线  / /AD EF EF 平面 EFB AD 平面 EFB  / /AD 平面 EFB -----6 分 (2) 设点C到平面 ABD 的距离为 h ACBCABCADC  且平面平面 ,  BC 平面 ADC BC  AD 而 DCAD  BCDAD 平面 即 BDAD  32ADBS 三棱锥B ACD 的高 2 2BC  , 2ACDS  ADBCACDB VV   即 h 32 3 1222 3 1  1 12 2 2 2 2 3 3 h     3 62 h ------12 分 6.(本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,O 是 AC 的中点,A1O⊥平面 ABC,∠BCA=90°,AA1=AC=BC. (I)求证: AC1⊥平面 A1BC; (II)若 AA1=2,求三棱锥 C-A1AB 的高的大小. 解: (Ⅰ)因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 A1ACC1,所以 AC1⊥BC. …2分 因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1 是菱形,所以 AC1⊥A1C. 所以 AC1⊥平面 A1BC. …6分 (Ⅱ)设三棱锥 C-A1AB 的高为 h. 由(Ⅰ)可知,三棱锥 A-A1BC 的高为 1 2 AC1= 3. 因为 VC-A1AB=VA-A1BC,即 1 3 S△A1ABh= 1 3 S△A1BC· 3. 在△A1AB 中,AB=A1B=2 2,AA1=2,所以 S△A1AB= 7. …10 分 在△A1BC 中,BC=A1C=2,∠BCA1=90,所以 S△A1BC= 1 2 BC·A1C=2. 所以 h=2 21 7 . A B C A1 O B1 C1 7.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ,O是底 ABCD对角线的交点. 求证:(1) 1C O 面 1 1AB D ; (2) 1AC  面 1 1AB D . (3) 1 1 1AB D C BD平面 平面 O C 1 D1 B1 A1 CD A B 证明:(1)连结 1 1AC ,设 1 1 1 1 1AC B D O 连结 1AO , 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体 1 1A ACC 是平行四边形 1 1AC AC  且 1 1AC AC 又 1,O O 分别是 1 1,AC AC 的中点, 1 1OC AO  且 1 1OC AO 1 1AOCO 是平行四边形 1 1 1,CO AO AO  面 1 1AB D , 1CO  面 1 1AB D  1CO 面 1 1AB D (2) 1CC  面 1 1 1 1A BC D 1 1 !CC B D  又 1 1 1 1AC B D , 1 1 1 1B D ACC 面 1 1 1AC B D即 同理可证 1 1AC AB , 又 1 1 1 1D B AB B  1AC  面 1 1AB D (3) 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体 ∴AB1∥DC1 , AD1∥BC1 ∴ 1 1 1AB D C BD平面 平面 8.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD 垂直于 AB 和 DC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA = 2,AD = DC = 1,点 E在 SD 上,且 AE⊥SD。 (1)证明:AE⊥平面 SDC; (2)求三棱锥 B—ECD 的体积。 (Ⅰ)证明:侧棱 SA 底面 ABCD, CD 底面 ABCD CDSA . ……………………….1 分 又底面 ABCD是直角梯形, AD垂直于 AB 和DC CDAD  ,又 ASAAD  CD 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE 侧面 SAD  DSDCDSDAECDAE  ,,  AE 平面 SDC……………………….5 分 (Ⅱ) 1 2EDC CD AD CD ASD CD SD S ED DC AE CD           平面 ……7 分 在Rt ASD 中 1 22, 1, , 5 5 SA AD AE SD ED AE      1 1 1 2 5EDCS    , ……9 分 又因为 // // AB CD CD SCD AB SCD AB SCD      平面 平面 平面 , 所以点 B 到平面 SCD 的距离等于点 A 到平面 SCD 的距离 AE ……11 分 所以 1 1 3 15B CDE CDEV S AE    而 60BAC   ,所以,MC//AB. (3 分) 9.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:Al C∥平面 AB1D; (2)求点 C 到平面 AB1D 的距离. 10.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA 面 ABC , ∠BAC=120°,且 AB=AC=AP=1,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 AN=BN. (Ⅰ)求证:AB⊥MN; (Ⅱ)求点 P 到平面 NMA 的距离. 10. 解:(1)取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ, ∵AN=BN∴ ABNQ  , ……………2 分 ∵ PA 面 ABC,∴ ABPA  ,又 PAMQ∥ ∴ ABMQ  ,………………4 分 所以 AB⊥平面 MNQ,又 MN平面 MNQ ∴AB⊥MN………………6 分 (2)设点 P 到平面 NMA 的距离为 h, ∵M 为 PB的中点,∴ PAM△S = 4 1 2 1 PAB △S 又 ABNQ  , PANQ  ,∴ BPANQ 面 , ∵  30ABC ∴ 6 3 NQ ……………………………7分 又 3 322  MQNQMN , 3 3 AN , 2 2 AM , ……………………………………………………………………………9分 可得△NMA 边 AM 上的高为 12 30 , ∴ 24 15 12 30 2 2 2 1 NMAS△ ………………10 分 由 PAMNNMAP VV   得  hS NMA△3 1 NQS PAM  △3 1 ∴ 5 5 h ……………………12 分 11.(本小题满分 12 分)四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60° (Ⅰ)证明:∠PBC=90°; (Ⅱ)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 11.解:(1)取 AD 中点 O,连 OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB=O,∴AD⊥平面 POB, ∵BC∥AD,∴ Q BC⊥平面 POB,∵PB⊂平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90° ———————6 分 (2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-2, 3,0),由 PO=BO= 3,PB=3, 得∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0,- 3 2 , 3 2 ),则=(-1, 3,0),=(-2,0,0), = (0,3 3 2 ,-3 2 ),设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 -x=0 3 3 2 y-3 2 z=0 ,取 z= 3,则 n=(0,1, 3), 设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为θ,则 sinθ=|cos<,n>|= 3 4 ——————12 分 12.(本小题满分 12 分) 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 190 , 2ABC AA AC BC     1A在底面 ABC 内的射影为 AC 的中点 D. (1)求证: 1 1BA AC ; (2)求三棱锥 1 1B ADB 的体积. 13.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 12, 1BC AB AC AA    ,D是棱 1CC 上 的一点, P是 AD的延长线与 1 1AC 的延长线的交点,且 1PB ∥平面 1BDA . (Ⅰ)求证: DCCD 1 ; (Ⅱ)求点C到平面 1B DP的距离. 13. 解:(Ⅰ)连接 1B A交 1BA 于O ∵ 1PB ∥平面 1BDA , 1B P  面 1AB P ,面 1AB P 面 1BAD OD …2 分 ∴ 1B P∥OD又O为 1B A的中点,…4 分 ∴D为 AP中点∴ 1C 为 1A P中点 …5 分 ∴ 1ACD PC D   ∴ DCCD 1 ;…………6 分 (Ⅱ)因为 1 1C B PD B PCDV V  所以 1 1 1 1 1 3 3B PD PCDh S A B S    , 1 1 1A B  …………8 分 1 1 1 2 4PCDS CD PC    …………9 分 在 1B PD 中, 1 1 1 1 3 5 2 5 5, 5, .cos ,sin 2 2 5 5 B D B P PD DB P DB P       …………11 分 ∴ 1 1 3 5 3 15 , . 2 2 5 4 3B PDS h       …………12 分 14. ( 本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 BCDEA 中, B A C D P 1A 1B 1C ABC 是正三角形,四边形 BCDE是矩形,且平面 ABC 平面 BCDE, 2AB , 4AD . (1)若点G是 AE 的中点,求证: //AC 平面 BDG (2)若 F 是线段 AB 的中点,求三棱锥 EFCB  的体积. 14.解:(1)证明:设CE BD O  ,连接OG, 由三角形的中位线定理可得: ACOG // , ------------3 分 ∵AC平面BDG,OG 平面BDG,∴ //AC 平面 BDG. ------------6 分 (2)∵平面 ABC 平面 BCDE, BCDC  ∴ DC 平面 ABC,∴ ACDC  ,∴ 3222  ACADDC -------8 分 又∵ F 是 AB的中点, ABC 是正三角形, ∴ ABCF  , ∴ 2 3 2 1  CFBFS BCF , ------------10 分 又平面 ABC 平面 BCDE, BCEB  , ∴ EB 平面 BCF , ∴ 1 3 1   EBSVV BCFBCFEEFCB ------------12 分 15.(本题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中, PA 面 ABCD, BD交 AC于点 E, F 是 PC中点, G为 AC上一动点. (1)求证: BD FG ; (2)确定点G在线段 AC上的位置,使 FG //平面 PBD,并说明理由. (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积 15.解析⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明,本题中,由于直线FG在平面 PAC 内,所以考虑证明 BD 平面 APC .⑵注意平面PAC 与平面 PBD相交于PE,而直线FG在平面 PAC 内,故只需 FG PE∥ 即可,而这又只需G为 EC中点即可.(3)求三棱锥 B-CDF 的体积中转化为求三棱 锥 F-BCD 的体积,这样底面面积与高都很易求得. 试题解析:⑴∵ PA面 ABCD,四边形 ABCD是正方形, 其对角线 BD、 AC交于点 E,∴ PA BD , AC BD .2分∴ BD 平面 APC, ∵ FG 平面 PAC,∴ BD FG 4 分 ⑵当G为 EC中点,即 3 4 AG AC 时, FG∥/平面 PBD, 5 分 理由如下: 连结 PE ,由 F 为 PC中点,G为 EC中点,知 FG PE∥ 6 分 而 FG 平面 PBD, PB 平面 PBD, 故 FG //平面 PBD. 8 分 (3)三棱锥 B-CDF 的体积为 1 1 22 2 1 3 2 3B CDF F BCDV V        .12 分
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