高考数学命题角度5_2直线与椭圆位置关系大题狂练文

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高考数学命题角度5_2直线与椭圆位置关系大题狂练文

命题角度 5.2:直线与椭圆位置关系 1.已知椭圆 C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 1a b  )的左焦点 F 与抛物线 2 4y x  的焦点重合,直 线 2 02x y   与以原点 O 为圆心,以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切. (Ⅰ)求该椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点 P 坐标为 1 ,08     ,若 PA PB ,求直线 AB 的方程. 【答案】(Ⅰ) 2 2 14 3 x y  ;(Ⅱ)直线 AB 的方程为 1x   或  3 12y x   . (Ⅱ)若直线 AB 斜率不存在,即 AB : 1x   ,满足 PA PB . 若直线 AB 的斜率存在,设其方程为  1y k x  , 将其代入 2 2 14 3 x y  ,整理得 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k     , 0  , 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y , 则 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    ,    1 2 1 2 2 61 1 4 3 ky y k x k x k        , ∴ AB 中点 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k kG k k       ,根据题意 PG AB , ∴ 2 2 2 3 4 3 14 1 4 3 8 k k kk k           ,解得 3 2k   , 综上,直线 AB 的方程为 1x   或  3 12y x   . 2.已知椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ,点 2 31, 3P      在椭圆 C 上, 2 4 3 3PF  ,过点 1F 的直线l 与椭圆 C 分别交于 ,M N 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)若 OMN 的面积为 12 11 ,求直线l 的方程. 【答案】(1) 2 2 13 2 x y  .(2)  3 1y x  或  3 1y x   . 【解析】试题分析: (1)由题意可求得 3a  , 2b  , 1c  ,则所求椭圆方程为 2 2 13 2 x y  . (2)很明显直线的斜率存在,设出直线方程的点斜式,联立直线与椭圆的方程,结合根与系数 的 关 系 可 得 得 到 关 于 斜 率 的 方 程 , 解 方 程 可 得 直 线 l 的 方 程 是  3 1y x  或  3 1y x   . 试题解析: (1)由题意得:   2 2 2 2 2 2 1 4 13 4 4 3{ 1 3 3 a b c a b c         ,解得 3a  , 2b  , 1c  , 故所求椭圆方程为 2 2 13 2 x y  . (2)当直线 MN 与 x 轴垂直时, 4 3 3MN  ,此 时 2 3 3MONS  ,不符合题意,舍去; 当直线 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN 的方程为  1y k x  , 由   2 2 1{ 3 2 1 x y y k x     消去 y 得:    2 2 2 22 3 6 3 6 0k x k x k     , 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 2 1 2 2 2 1 2 2 6 2 3{ 3 6 2 3 kx x k kx x k      , ∴           22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1MN x x y y x x k x k x              22 1 21 k x x      22 1 2 1 21 4k x x x x          2 2 2 2 22 36 12 241 2 32 3 k kk kk            22 22 48 1 2 3 k k     2 2 4 3 1 2 3 k k    原点O 到直线 MN 的距离 21 kd k   . ∴三角形的面积  2 2 2 4 3 11 1 2 2 2 3 1MON k kS MN d k k        , 由 12 11MONS  ,得 2 3k  ,故 3k   , ∴直线 MN 的方程为  3 1y x  或  3 1y x   . 点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二 次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形. 3. 已 知 椭 圆 C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的 长 轴 长 为 2 2 , 且 椭 圆 C 与 圆 M :  2 2 11 2x y   的公共弦长为 2 . (1)求椭圆C 的方程. (2)经过原点作直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于 A , B 两点, AD x 轴于点 D ,点 E 在椭圆C 上,且     0AB EB DB AD       ,求证: B , D , E 三点共线.. 【答案】(1) 2 2 12 x y  ;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)根据题意列出关于 a 、b 、c 的方程组,结合性质 2 2 2a b c  , , 求出 a 、b 、c ,即可得结果;(2)设  1 1,A x y ,  2 2,E x y ,则  1 1,B x y  ,  1,0D x . 因 为 点 A , E 都 在 椭 圆 C 上 , 所 以 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2, 2 2, x y x y       , 利 用 “ 点 差 法 ” 证 明 1 2 1 1 2 12BE BD y y yk k x x x     1 2 1 2 1 2 1 2 0y y y y x x x x     ,即可得结论. (2)证明:设  1 1,A x y ,  2 2,E x y ,则  1 1,B x y  ,  1,0D x . 因为点 A , E 都在椭圆 C 上,所以 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2, 2 2, x y x y       所以  1 2 1 2x x x x     1 2 1 22 0y y y y   , 即   1 2 1 2 1 2 1 22 y y x x x x y y     . 又   AB EB DB AD      0AE AB    , 所以 1AB AEk k   , 即 1 1 2 1 1 2 1y y y x x x    , 所以   1 1 2 1 1 2 12 y x x x y y   所以  1 21 1 1 2 2 y yy x x x   又 1 2 1 1 2 12BE BD y y yk k x x x     1 2 1 2 1 2 1 2 0y y y y x x x x     , 所以 BE BDk k , 所以 B , D , E 三点共线. 4.如图所示,椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左右焦点分别为 1 2,F F ,点 A 为椭圆在第一象限 上的点,且 2AF  x 轴, (1)若 2 1 3 5 AF AF  ,求椭圆的离心率; (2)若线段 1BF 与 x 轴垂直,且满 足 1 1BF AF ,证明:直线 AB 与椭圆只有一个交点. 【答案】(1) 1 2e  ;(2)见解析. 试题解析: (1)因为 2 1 3 5 AF AF  ,又 1 2 2AF AF a  ,则 1 2 5 3,4 4AF a AF a  ,所以由勾股定理得 1 2F F a ,即 2a c ,所以离心率 1 2e  ( 2 ) 把 x c 代 入 椭 圆 2 2 2 2 1x y a b   得 2by a  , 即 2 2 bAF a  , 所 以 2 , bA c a       , 又 1 2 2AF AF a  所 以 2 2 2 2 2 1 22 b a b a cAF a a a a      , 即 2 2 1 a cBF a  , 故 2 2 , a cB c a      , 则 直 线 AB 的 斜 率 2 2 2 2AB a c b ca aK c a      , 则 直 线 AB 方 程 为   2b cy x ca a     ,整理得 cy x aa    联立 2 2 2 2 1 { x y a b cy x aa      消去 y 得: 2 2 2 22 0a x ca x a c   ,易得△ 2 4 2 44 4 0c a c a   故直线 AB 与椭圆只有一个交点 5.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     过点 21, 2P       ,且 E 的离心率为 2 2 . (1)求 E 的方程; (2)过 E 的顶点  0,A b 作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于 ,B C 两点.若 BAC 的角 平分线方程为 3 1y x   ,求 ABC 的面积及直线 BC 的方程. 【答案】(1) 2 2 12 x y  ;(2)3 6 2 0x y   . 【解析】试题分析:(1)根据椭圆离心率和椭圆上一点 P 的坐标,列方程组,解方程组可求 得椭圆的标准方程.(2)设出过 A 点的直线方程,联立直线的方程和椭圆的方程,求得 B 点 的横坐标,由此得到 AB ,利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程,可求得斜率, 由此求得三角形面积和直线方程. (2)设过 A 斜率为  0k k  的直线为 1y kx  ,代入椭圆方程 2 22 2 0x y   得  2 22 1 4 0k x kx   ,① 则 2 4 2 1B kx k    , ∴ 21 0BAB k x   2 2 4 12 1 k kk   ,② 在直线 3 1y x   上取一点 1 ,03Q     ,则 Q 到直线 1y kx  的距离为 2 1 13 1 k k   , 点Q 到直线 1 1y xk    的距离为 2 1 3 1 k k   , 由已知条件 2 2 1 113 3 1 1 k k k k      ,解得 2k  或 1 2  . 代入②得 8 5 9AB  , 2 5 3AC  , ∴ ABC 的面积 1 2S AB AC   1 8 5 2 5 40 2 9 3 27    . 由①得 8 7,9 9B     , 4 1,3 3C      . ∴ BC 的方程为 1 1 4 3 2 3y x      ,即3 6 2 0x y   . 点睛:本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线与圆锥曲线位置关系.考查化归与转化的 数学思想方法和角平分线的几何性质.第一问求椭圆的标准方程,需要两个条件,一个是椭圆 的离心率,另一个是椭圆上一点的坐标,根据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程.第二问 需要用到角平分线上的点到两边距离相等这一性质来建立方程. 6.已知椭圆W : 2 2 2 14 x y b   ( 0)b  的一个焦点坐标为 3,0 . (Ⅰ)求椭圆W 的方程和离心率; (Ⅱ)若椭圆W 与 y 轴交于 A , B 两点( A 点在 B 点的上方),M 是椭圆上异于 A , B 的 任意一点,过点 M 作 MN y 轴于 N , E 为线段 MN 的中点,直线 AE 与直线 1y   交于 点C , G 为线段 BC 的中点, O 为坐标原点.求 OEG 的大小. 【答案】(1) 3 2 (2)见解析 【解析】试题分析 :(1)由焦点坐标为  3,0 ,可知 c 3 ,可得 2 2x y 14   .离心率 c 3e a 2   。(2)设 M  0 0x ,y , 0x 0 ,则 N  00, y , E 0 0 x , y2      . C 0 0 x , 11 y     . 又 B  0, 1 , G 为线段 BC 的中点,所以 G   0 0 x , 12 1 y      .由点 M 在曲线上,代入 OE GE 0   所以 OEG 90   试题解析: ( Ⅰ)依题意, 2a  , 3c  ,所以 2 2 2 1b a c   .则椭圆W 的方程为 2 2 14 x y  .离心率 3 2 ce a   . (Ⅱ)设 M  0 0,x y , 0 0x  ,则 N  00, y , E 0 0,2 x y     . 又 A  0,1 ,所以直线 AE 的方程为  0 0 2 11 yy xx   . 令 1y   ,则 C 0 0 , 11 x y     . 又 B  0, 1 , G 为线段 BC 的中点,所以 G   0 0 , 12 1 x y      . 所以 0 0,2 xOE y      ,   0 0 0 0 , 12 2 1 x xGE yy         ,    0 0 0 0 0 0 12 2 2 1 x x xOE GE y yy              2 2 20 0 0 0 04 4 1 x x y yy     . 因为点 M 在椭圆W 上,则 2 20 0 14 x y  ,所以 2 2 0 04 4x y  . 则   2 0 0 0 1 4 1 xOE GE yy       0 01 1y y    0 . 因此 OE GE  .故 90OEG   . 7.已知椭圆 : ( )的短轴长为 2,离心率是 . (1)求椭圆 的方程; (2)点 ,轨迹 上的点 , 满足 ,求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) (2)过 的直线若斜率不存在,则 或 3. 设直线斜率 存在 , 则 由(2)(4)解得 , 代入(3)式得 化简得 由(1) 解得 代入上式右端得 . 解得 综上实数 的取值范围是 . 8.已知椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 15 4 , 1 2,F F 是椭圆的两个焦点, P 是 椭圆上任意一点,且 1 2PF F 的周长是8 2 15 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设圆 T:  2 2 4 9x t y   ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E、F 两点,当 圆心在 x 轴上移动且  1,3t  时,求 EF 的斜率的取值范围. 【答案】(1) 2 2 116 x y  ;(2) 6 ,1825      . 【解析】试题分析:(1)由椭圆离心率得到 a,c 的关系,再由△PF1F2 的周长是 8+2 15 得 a, c 的另一关系,联立求得 a,c 的值,代入隐含条件求得 b,则椭圆方程可求;(2)椭圆的上 顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y=kx+1,由圆心到切线距离等于半径得 到关于切线斜率的方程,由根与系数关系得到 1 2 1 22 2 18 5,9 4 9 4 tk k k kt t      ,再联立一切线方程和椭圆方程,求得 E 的坐标,同理求得 F 坐标,另一两点求斜率公式得到 1 2 2 1 2 6 1 16 28 3EF k k tk k k t    .然后由函数单调性求得 EF 的 斜率的范围 试题解析:(1)由 15 4e  ,即 15 4 c a  ,可知 a=4b, 15c b , ∵△PF1F2 的周长是8 2 15 , ∴ 2 2 8 2 15a c   ,∴a=4,b=1,所求椭圆方程为 2 2 116 x y  ; (2)椭圆的上顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T相切的直线方程为 y=kx+1, 由直线 y=kx+1 与 T 相切可知 2 1 2 31 kt k    , 即(9t2﹣4)k2+18tk+5=0, ∴ 1 2 1 22 2 18 5,9 4 9 4 tk k k kt t     , 由 1 2 2 1 { 116 y k x x y     ,得 2 2 1 11 16 32 0k x k x   . ∴ 1 2 1 32 1 16E kx k    , 同理 2 2 2 32 1 16F kx k    , 则 1 2 1 2 2 1 2 6 1 16 28 3 E F E F EF E F E F y y k x k x k k tk x x x x k k t          . 当 1<t<3 时,   2 6 28 3 tf t t   为增函数,故 EF 的斜率的范围为 6 ,1825      . 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 过 椭 圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     右 焦 点 F 的 直 线 2 0x y   交C 于 ,A B 两点 , P 为 AB 的中点,且OP 的斜率为 1 3 . (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设过点 F 的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆交于 ,D E 两点,若在线段OF 上存在点  ,0M t ,使得 MDE MED   ,求t 的取值范围. 【答案】(1) 2 2 16 2 x y  (2) 40, 3      【解析】试题分析: (1)利用题意求得 22, 6c a  ,则椭圆C 的方程为 2 2 16 2 x y  . (2)由题意联立直线与椭圆的方程,整理可得关于 t 的函数 2 2 2 4 4 11 3 3 kt k k    ,据此可得 t 的取值范围是 40, 3      . (2) 设线段 DE 的中点为 H ,因为 MDE MED   ,所以 MH DE ,设直线l 的方程 为  2y k x  , 代 入 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 16 2 x y  , 得  2 2 2 23 1 12 12 6 0k x k x k     ,设    3 3 4 4, , ,D x y E x y ,则 2 3 4 2 12 1 3 kx x k    .则   2 3 4 2 2 6 2, 2 =2 1 3 1 3HH H x x k kx y k xk k       ,即 2 2 2 6 2,1 3 1 3 k kH k k       , 由已知得 2 2 2 2 11 3· 1, 6 1 3 MH l k kk k k ktk        ,整理得 2 2 2 4 4 11 3 3 kt k k    ,因为 2 0k  , 所以 40, 3t     , 所以t 的取值范围是 40, 3      . 点睛: (1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二 次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形. 10. 如图,椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右顶点为  2,0A ,左、右焦点分别为 1F 、 2F , 过点 A 且斜率为 1 2 的直线与 y 轴交于点 P ,与椭圆交于另一个点 B ,且点 B 在 x 轴上的射影 恰好为点 1F . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 P 的直线与椭圆交于 ,M N 两点( ,M N 不与 ,A B 重合),若 6PAM PBNS S  ,求 直线 MN 的方程. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y  (2) 6 12y x  或 6 12y x   . 【解析】【试题分析】(1)依据题设条件建立方程组进行求解;(2)先依据题设求得 3PM PN   ,再借助直线与椭圆的位置关系分析探求: (Ⅰ)当 1 2k  时, 1BF x 轴,得到点 2 , bB c a       , 所以   2 2 2 2 2 2 1{ { 32 1 a a b ba a c c a b c         ,所以椭圆C 的方程是 2 2 14 3 x y  . (Ⅱ)因为 1 sin 2 62 1 1 1sin2 PAM PBN PA PM APMS PM S PNPB PN BPN           , 3PM PN   所以 3PM PN   . 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则    1 1 2 2, 1 , , 1PM x y PN x y     ,有 1 23x x  ①当 MN 斜率不存在, MN 的方程为 0x  , 3 1 2 3 3 1 PM PN     或 3 1 2 3 3 1 PM PN     ,(不合条件,舍去) 即 2 2 2 4 83 4 3 4 3 k k k       .所以 2 3 6 2 2k k    . 所以直线 2l 的方程为 6 12y x  或 6 12y x   .
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