高考数学必背公式与知识点过关检测
理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。
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高考数学必背公式与知识点过关检测
——决胜高考 数学基本公式、概念全掌握
第一部分：集合与常用逻辑用语
1．子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，
有 个非空真子集
2．常见数集：自然数集： ； 正整数集： 或 ；整数集： ；有理数集： ；
实数集：
3．空集： 是任何集合的 ，是任何非空集合的 .
4．元素特点： 、 、 确定性
5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算
6．四种命题：原命题：若 p ，则 q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否
命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命
题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题
7．充要条件的判断： p q ， p 是 q 的 条件； p q ， q 是 p 的 条件；
p q ， ,p q互为 条件；若命题 p 对应集合 A ，命题q 对应集合 B ，则 p q 等
价于 ， p q 等价于
注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”；
8．逻辑联结词：或命题： p q ， ,p q有一为真即为 ， ,p q均为假时才为 ；
且命题： p q ， ,p q均为真时才为 ， ,p q有一为假即为 ；
非命题： p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题
9.全称量词与存在量词：
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；
全称命题 p： )(, xpMx ；全称命题 p的否定 p： ；
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；
特称命题 p： )(, xpMx ；特称命题 p的否定 p： ；
第二部分：函数与导数及其应用
1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ；
对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0 且 1
2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；
分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的
3．函数的单调性：设 1x ， 2 [ , ]x a b ，且 1 2x x ，那么：
（1） 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x 1 2
1 2
( ) ( )
0 ( ) ,
f x f x
f x a b
x x
在 上是 函数；
（2） 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x 1 2
1 2
( ) ( )
0 ( ) ,
f x f x
f x a b
x x
在 上是 函数；
（3）如果 0)( xf ，则 )(xf 为 函数； 0)( xf ，则 )(xf 为 函数；
（4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．．
⑵ )(xf 是 函数 )()( xfxf ； )(xf 是 函数 )()( xfxf .
⑶奇函数 )(xf 在 0处有定义，则
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性
⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称
5．函数的周期性：
周期有关的结论：(约定 a＞0)
（1） )()( axfxf ，则 )(xf 的周期 T= ；
（2） )()( xfaxf ，或 )0)((
)(
1
)( xf
xf
axf ，或
1
( )
( )
f x a
f x
( ( ) 0)f x ,
则 )(xf 的周期 T=
（3） )()( axfaxf 或 )0)(()2( axfaxf )(xf 的周期为
（4） ( ) ( )f x m f x n )(xf 的周期为
6．函数的对称性：
① ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f a x (2 ) ( )f a x f x ；
② ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f b x ( ) ( )f a b x f x ；
③ ( )y f x 的图象关于点 对称 ( ) ( )f a x f b x
④
* ( )y f x 的图象关于点 ( , )
2
a b
c
对称 ( ) 2 ( )f a x c f b x
你流的汗水会折射出你的光芒！
2
7.分数指数幂与根式的性质：
（1）
m
na ________( 0, ,a m n N ,且 1n ）.
（2）
1 1
m
n
m n m
n
a
a
a
（ 0, ,a m n N ,且 1n ）.
（3） ( )nn a a . （4）当 n 为奇数时,
n na a ；当n 为偶数时,
, 0
| |
, 0
n n
a a
a a
a a
.
8.指数性质：
(1) pa _____ ； (2) 0a _____（ 0a ）； (3) mna _______
(4) r sa a ________ ； (5)
m
na ________ ；
9.指数函数(如右图)：
（1） ( 1)xy a a 在定义域内是单调_____函数；
（2） (____________)xy a 在定义域内是单调减函数.
注：指数函数图象都恒过定点______________.
10．对数运算规律：
（1）对数式与指数式的互化： loga N b ____________ ( 0, 1, 0)a a N .
（2）对数恒等式： log 1a ， loga a ， log b
a a ． lg 2+ lg5 ， lne =
（3）对数的运算性质：
①加法： log loga aM N ②减法： loga
M
N
③数乘： log ( )n
a M n R ④恒等式：
loga N
a
⑤ log m
n
a
b ⑥换底公式：
log
log
log
m
a
m
N
N
a
11.对数函数(如右图)：
(1) log ( 1)ay x a 在定义域内是单调递增函数；
（2） log (0 1)ay x a 在定义域内是单调递减函数；
注： 对数函数图象都恒过点__________.
12.反函数：函数
xy a 的反函数是____________,函数 logay x 的反函数是____________.
13．二次函数：
二次函数 cbxaxy 2
（a≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是
判别式 acb 42 ； 0 时，图像与 x 轴有 个交点；
0 时，图像与 x 轴有 个交点； 0 时，图像与 x 轴没有交点；
14. 韦达定理：
若 1 2,x x 是一元二次方程 )0(02 acbxax 的两个根，则： 1 2x x = ， 1 2x x = .
15．零点存在定理：若 ( )y f x 在[a,b]上满足 ,
则 ( )y f x 在（a,b)内至少有一个零点
16．常见函数的导数公式：
①
'( )C ；②
'( nx ） ；
'(nx ）
③
'(sin x ） ； ④
'(cos x ） ；⑤
'( xe ） ；
⑥
'(ln x ） ； ⑦
'( xa ） ； ⑧
' (logx） .
17．导数运算法则：
f x g x （1） ；
2
f x
g x
（ ） ．
18．曲线的切线方程：函数 )(xfy 在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy 在 ))(,( 00 xfxP 处的切线
的斜率为 )( 0xf ，相应的切线方程是 .
第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．角度制与弧度制互化：
360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1rad= ≈
2．若扇形的圆心角为 ( ) 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为C ，面积为S ，则
l ，C ，S= = ．
0
1
1
y=ax
o
y
x
01
1
y=logax
o
y
x
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3.三角函数定义式：角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则
sin ，cos ， tan
4．同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： （2）商数关系 ．
（3）三角不等式：
①sin cos sin cosx x x x 与 的关系是_______________________________.
②若 (0, )
2
x
,则sin cos 1x x . ③若 ( )
2
x
， ,则sin cos 1x x
④ | sin | | cos | 1x x .
5.函数的诱导公式：[口诀： 奇变偶不变，符号看象限.]
1 sin 2 sink
， ， ．（k∈Z）
（2） ， ，
tan tan
．
(3) ， ，
tan tan
．
(4) ， ,
tan tan
．
5 sin cos
2
， ．
(6) ，
cos sin
2
．
6．特殊角的三角函数值：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
角α的
弧度数
Sinα
Cosα
tanα
7．三角函数的图像与性质：
8．几个常见三角函数的周期：
① xy sin 与 xy cos 的周期为 .
② )sin( xy 或 )cos( xy （ 0 ）的周期为 .
③
2
tan
x
y 的周期为 .
④
xy cos 的周期为
siny x cosy x tany x
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
对称性
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4
9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
1 cos （） ； 2 cos （） ；
3 sin （） ； 4 sin （） ；
5 tan （） ; 6 tan （） .
10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2
cos2 = =
tan 2
2cos 降次公式： ，
2sin , sin cos
11．引入辅助角公式： sin cosa b .
(其中,辅助角所在象限由点 ( , )a b 所在的象限决定, tan
b
a
).
12. 正弦定理： . （ R 是 ABC 外接圆直径）
注 ： ① CBAcba sin:sin:sin:: ； ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ；
③
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin
13. 余弦定理： .（逆定理）
（以 A 角和其对边来表示）
14. 三角形面积公式： ABCS = = ．
（用边与角的正弦值来表示）
三角形面积导出公式：
ABCS （ r 为 ABC 内切圆半径）= （ R 外接圆半径）
15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = =
第四部分：平面向量、数列与不等式
1． 平面向量的基本运算：
设 A 1 1( , )x y ,B 2 2( , )x y ,则 ___________.AB OB OA
设 1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y ；（ 0b ）
▲
1/2
y
x
y=|cos2x+1/2|图象
= ；a b = ； a = .
a b （定义公式）= (坐标公式)．
a 在b 方向上的投影为. = (坐标公式)
a b （一般表示） （坐标表示） ．
a ∥b （一般表示） （坐标表示）．
cos 夹角公式： = (坐标公式).
2.若G 为 ABC 的重心，则 = 0 ；
且 G 点坐标为 ( ， )
3.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 (1 )OP xOA x OB
4.三角形的四心
重心：三角形三条 交点.
外心：三角形三边 相交于一点.
内心：三角形三 相交于一点.
垂心：三角形三边上 的相交于一点.
5. 数列{ na }中 na 与 nS 的关系 na （注：该公式对任意数列都适用）
6. 数列相关知识
★1.等差数列：
通项公式：（1） na
_______________
,其中 1a 为首项,d为公差,n为项数, na 为末项.
（2）推广： na
_______________
前 n项和： nS ______________=__________________；其中 1a 为首项,n为项数, na 为末项.
常用性质：（1）若 m+n=p+q ,则有
__________________
；
注：若 ,m n pa a a是 的等差中项,则有 2
m n pa a a n,m,p成等差数列.
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（2）若 na 、 nb 为等差数列,则 n na b 为等差数列.
（3） na 为等差数列, nS 为其前 n项和,则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S 也成等差数列.
（4） , , 0p q p qa q a p a 则 ；
★2.等比数列：
通项公式：（1） ________ .na ,其中 1a 为首项,n为项数,q为公比.
（2）推广： _________ .na
前 n 项和： __________ ________.nS
常用性质：（1）若 m+n=p+q,则有
_______________________
；
注：若 ,m n pa a a是 的等比中项,则有
2
m n pa a a n、m、p成等比.
（2）若 na 、 nb 为等比数列,则 n na b 为等比数列.
7.常见数列的和：
①1+2+3+……+n=
②12+22+32+……+n2=
③13+23+33+……+n3=
8.一元二次不等式解的讨论.
0 0 0
二次函数
cbxaxy 2
（ 0a ）的图象
一元二次方程
的根0
02
a
cbxax
的解集)0(
02
a
cbxax
的解集)0(
02
a
cbxax
9. 重要不等式：
基本不等式： 若 0, 0a b 则 ；
11．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有：
(1)如果积 xy是定值 p ，那么当 yx 时和 yx 有最小值 ；
(2)如果和 yx 是定值 s ，那么当 yx 时积 xy有最大值 .
12.均值不等式链：
如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号）
即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数）
特别地，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab
（当 a = b 时，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab
）
),,,(
33
2222
时取等cbaRcba
cbacba
幂平均不等式：
2
21
22
2
2
1 )...(
1
... nn aaa
n
aaa
13.均值定理:已知 yx, 都是正数,则有
（1）已知 , , ,a b x y R ,若 1ax by 则有
21 1 1 1
( )( ) 2 ( )
by ax
ax by a b a b ab a b
x y x y x y
.
（2）已知 , , ,a b x y R ,若 1
a b
x y
则有
2( )( ) 2 ( )
a b ay bx
x y x y a b a b ab a b
x y x y
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6
第五部分：立体几何与解析几何
1. 三视图与直观图：
原图形与直观图面积之比为
2. 常见几何体表面积公式：
圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S=
圆台的表面积 S= 球的表面积 S=
3．常见几何体体积公式：
柱体的体积 V= 锥体的体积 V=
台体的体积 V= 球体的体积 V=
4. 常见空间几何体的有关结论：
⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧
面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．
⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ，b，c，则体对角线长为 ，全面
积为 ，体积 V=
⑶正方体的棱长为 a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积 V=
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 ,
正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长.
⑸正四面体的性质：设棱长为 a ，则正四面体的：
① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径：
5.立体几何常用的六个定理(三种语言)
(1)直线和平面平行的判定定理
(2)直线和平面平行的性质定理
(3)平面和平面平行的判定定理
(4)直线和平面垂直的判定定理
(5)平面和平面垂直的判断定理
(6)平面和平面垂直的性质定理
6．直线的斜率： k = =
（ 为直线的倾斜角， 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直线上的两点）
7. 直线方程的五种形式：
直线的点斜式方程： (直线 l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )．
直线的斜截式方程： (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
直线的两点式方程： ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x ， 1 2y y ).
直线的截距式方程： (a 、b 分别为直线在 x 轴、y 轴上的截距，且 0,0 ba ).
直线的一般式方程： 0Ax By C (其中 A、B不同时为 0).
直线 0Ax By C 的法向量： ( , )l A B ,方向向量： ( , )l B A
8．两条直线的位置关系：
（1）若 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b ,则：
① 1l ∥ 2l 且 ； .
（2）若 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C ,则：
① 1l ∥ 2l 且 ；②. 1 2l l .
9．距离公式：
（1）点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y 之间的距离：
理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。
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（2）点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C 的距离：
（3）平行线间的距离： 1 0Ax By C 与 2 0Ax By C 的距离：
10.圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（2）圆的一般方程： （ )0422 FED
（3）圆的参数方程：
11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离 d 与半径 R 的大小关系
（1）当 时，直线和圆 （有两个交点）；
（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）；
（3）当 时，直线和圆 （无交点）；
12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距 d 与两圆半径和 1 2R R ，半径差 1 2R R （ 1 2R R ）的大小
关系：
（1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线；
（2）当 时，两圆 ，有 3 条公切线；
（3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线；
（4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线；
（5）当 时，两圆 ，没有公切线；
13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离 r 为半径）
若 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y y y ，则线段 AB的垂直平分线为：__________________.
已知两圆 2 2 2 2
1 1 1 2 2 20 0x y D x E y F x y D x E y F 与 ，
则这两个圆公共弦所在直线方程为_____________________________________.
14．椭圆的定义：
（1）平面内与两个定点 21 FF、 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个
定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（
222 cba ）
（2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： .
（3）椭圆问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________.
15．双曲线的定义：
（1）平面内与两个定点 21 FF、 的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫
双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（
222 abc ）
（2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： .
（3）双曲线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________.
16．抛物线的定义：
（1）平面内与一个定点F 和一条定直线 l （点F 不在 l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双
曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.
（2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： .
（3）抛物线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________.
17．离心率：e= （椭圆的离心率 (0,1) ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心
率 ）
18．双曲线的渐近线：
2 2
2 2
1
x y
a b
（ 0a ， 0b ）的渐近线方程为 ，且与
2 2
2 2
1
x y
a b
具有相同渐近线的双曲线方程可设为
2 2
2 2
x y
a b
.
19．过抛物线焦点的直线：
倾斜角为 的直线过抛物线
2 2y px 的焦点 F 且与抛物线交于 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 两点
（ 1 0y ）：
|AF|= |BF|= |AB|= =
x1x2= y1y2=
1
|AF|
+
1
|BF|
=
20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （ 1 2F PF ）
21．几何距离：
（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③焦距： .
（2）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： .
22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx ,则
|AB|= = =
23. 中点弦问题： 椭圆：kABkOP= 双曲线：kABkOP=
第六部分：统计与概率
1. 总体特征数的估计：
⑴样本平均数x= ；
⑵样本方差；S2= ；
⑶样本标准差 S= .
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8
2．概率公式：
⑴互斥事件：_________________;对立事件：_________________:
互斥事件的概率公式：P(A+B)=
⑵古典概型：基本事件的总数数为 N ，随机事件 A 包含的基本事件个数为M ，则事件 A
发生的概率为：P(A)=
⑶几何概型：
等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的
积等）的区域长度（面积或体构成事件A
AP )(
3.回归分析
(1)判断两个变量是正相关还是负相关可以用散点图;
(2)线性回归方程系数公式:其中 b 为斜率,a 纵截距
1 1
2
2 2
1 1
( )( )
,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b a y bx
x nx x x
(3)相关系数的理解；
4.独立性检验:判断两个变量的依赖关系
P(K2
≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bc
k
a b c d a c b d
第七部分：复数
1. 复数的基本概念： z a bi （a，b R ）
（1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2=
（2）模：|z|= =
（3）共轭复数：-
z = （4）在复平面内对应的点为
（5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）
2. 复数的基本运算：
（1）加减法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）=
（2）乘法：（a+bi）×（c+di）=
（3）除法：（a+bi）÷（c+di）=
注：对虚数单位 i ,有 1 , ,1, 4342414 nnnn iiiiii .
第八部分：选修部分（极参与不等式）
1. 极坐标→直角坐标
cos
sin
x
y
直角坐标→极坐标
2 2
tan ( 0)
x y
y
x
x
2. 常见曲线的参数方程：
常见曲线
的普通方
程与参数
方程
普通方程 参数方程
直线
过点 0 0( , )x y 倾斜角为
0 0tan ( )y y x x
或者 0x x
（ t 为参数）
圆
2 2 2
0 0( ) ( )x x y y r
（为参数）
椭圆 1
2
2
2
2
b
y
a
x
（a＞b＞0）
（为参数）
双曲线 1
2
2
2
2
b
y
a
x
（a＞0，b＞0）
（为参数）
抛物线
2 2y px （p＞0）
（ t 为参数）
3.不等式 | | ( 0, 0)ax b c a c 的可转化为
不等式 | | ( 0, 0)ax b c a c 的可转化为
4.绝对值三角不等式
柯西不等式： .（当且仅当 ad=bc 时取等号）
5.解 | | | |x a x b c 型不等式的常用方法是___________________________________.
求 | | | |x a x b 最值得常用方法是_______________________________________.
求 | | | |ax b cx d 最值得常用方法是_______________________________________.