人教A版选修1-11-1变化率问题、1-2　导数的概念（含答案）

人教A版选修1-11-1变化率问题、1-2　导数的概念（含答案）

§3．1.1 变化率问题 §3．1.2 导数的概念 【学情分析】： 本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次： 1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解 导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生 形成导数的概念。 【教学目标】： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 (1)引入变化率和瞬时速 度 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速 度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点 A处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点 A处的瞬时速度，从 A点起取一小 段位移 AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均 速度可以近似地表示物体经过 A点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速 的，所得的平均速度就等于物体经过 A点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知 道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为 s=s(t)，也 叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻 t0，0+Δt， 现在问从 t0 到 t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各 是： 位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量) 为导数概 念的引入 做铺垫 平均速度    0 0s t t s tsv t t        根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移 由时间 t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于 瞬时速度. 现在是从 t0到 t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短， 就是Δt无限趋近于 0. 当Δt→0 时，平均速度就越接近于瞬 时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度    0 0 0 0 lim lim t t s t t s t v v t          所以当Δt→0 时，平均速度的极限就是瞬时速度 (2)例题讲解 例 1、物体自由落体的运动方程 s=s(t)= 2 1 gt2，其中位移单 位 m，时间单位 s，g=9.8 m/s2. 求 t=3 这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs= 2 1 g(3+ Δt)2－ 2 1 g·32= 2 g (6+Δt)Δt，平均速度 2 1     t sv g(6+Δt) 瞬时速度为： m/s 4.293)( 2 1limlim 00   gttgvv tt 由匀变速直线运动的速度公式得 v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4 m/s 例 2、已知质点 M按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位： cm，时间单位：s)， (1)当 t=2，Δt=0.01 时，求 t s   . (2)当 t=2，Δt=0.001 时，求 t s   . (3)求质点 M在 t=2 时的瞬时速度. 让学生进 一步认识 瞬时速 度，为引 入导数的 概念做好 铺垫. 分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量， t s   即 平均速度，当Δt越小，求出的 t s   越接近某时刻的速度. 解：∵ t ttt t tstts t s         )32(3)(2)()( 22 =4t+2 Δt ∴(1)当 t=2，Δt=0.01 时， t s   =4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当 t=2，Δt=0.001 时， t s   =4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v= 00 limlim     tt t s (4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s (3) 导数的概念 设函数 )(xfy  在 0xx  处附近有定义，当自变量在 0xx  处有增量 x 时，则函数 ( )y f x 相应地有增量 )()( 00 xfxxfy  ，如果 0x 时， y 与 x 的比 x y   （也叫函数的平均变化率）有极限即 x y   无限趋近于某个 常数，我们把这个极限值叫做函数 )(xfy  在 0xx 处的导 数，记作 0 / xxy  ，即 x xfxxf xf x     )()( lim)( 00 00 / 注意：(1)函数应在点 0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中， x 趋近于 0 可正、可负、 但不为 0，而 y 可能为 0 (3) x y   是函数 )(xfy  对自变量 x在 x 范围内的平 均变化率. 要让学生 理解导数 概念 例 3、求 y=x2在点 x=1 处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先 求Δy，再求 x y   ，最后求 0 lim x x y   . 解 ： Δ y=(1+ Δ x)2 － 12=2 Δ x+( Δ x)2 ， x xx x y      2)(2 =2+Δx ∴ 0 lim x x y   = 0 lim x (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. 注意：(Δx)2括号别忘了写. 学生自学教材 P75 例 1 (4)课堂小结 (1)理解函数的概念。 （2）求函数 )(xfy  的导数的一般方法： ①求函数的改变量 )()( xfxxfy  . ②求平均变化率 x xfxxf x y      )()( . ③取极限，得导数 /y ＝ ( )f x  x y x    0 lim . 补充题目：1.一直线运动的物体，从时间 t到 t t  时，物体的位移为 s ，那么 0 lim t s t    为 （ ） Ａ．从时间 t到 t t  时，物体的平均速度； Ｂ．在 t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为 t 时物体的速度； Ｄ．从时间 t到 t t 时物体的平均速度 2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s=s(t)=t2 (位移单位：m，时间单位：s)，求小球在 t=5 时的瞬时速度 解：瞬时速度 v= 2 2 0 0 (5 ) (5) (5 ) 5lim lim t t s t s t t t             0 lim t   (10+Δt)=10 m/s. ∴瞬时速度 v=2t=2×5=10 m/s. 3.质点 M按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点 M在 t=2 时的瞬 时速度. 解：瞬时速度 v= t t t sts tt       )322(3)2(2lim)2()2(lim 22 00 = 0 lim t (8+2Δt)=8 cm/s.