2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业:11

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2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业:11

www.ks5u.com 课时分层作业(十五) 平面的基本事实与推论 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.给出下列说法:‎ ‎①梯形的四个顶点共面;‎ ‎②三条平行直线共面;‎ ‎③有三个公共点的两个平面重合;‎ ‎④三条直线两两相交,可以确定3个平面.‎ 其中正确的序号是(  )‎ A.① B.①④ C.②③ D.③④‎ A [因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.]‎ ‎2.下图中正确表示两个相交平面的是(  )‎ A     B     C     D D [A中没有画出相交平面的交线,且不可见的线没有画成虚线;B中不可见的线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画;D中交线及实、虚线均正确.故选D.]‎ ‎3.若一直线a在平面α内,则正确的作图是(  )‎ A [a⊂α用图示表示应为A,B选项画法错误,C选项a∥α,D选项a与α相交.]‎ ‎4.如果两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面(  )‎ A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点 C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 D [由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点,它们有且只有一条过该公共点的公共直线,则有无数个公共点.]‎ ‎5.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过(  )‎ A.点A B.点B C.点C,但不过点D D.点C和点D D [根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.‎ ‎∈ [因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.]‎ ‎7.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.‎ ‎(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定________个平面.‎ ‎(1)4 (2)7 [(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面;‎ ‎(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.]‎ ‎8.如图,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,试根据图形填空:‎ ‎(1)平面AB1∩平面A‎1C1=________;‎ ‎(2)平面A‎1C1CA∩平面AC=________;‎ ‎(3)平面A‎1C1CA∩平面D1B1BD=________;‎ ‎(4)平面A‎1C1,平面B‎1C,平面AB1的公共点为________.‎ ‎[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1‎ 三、解答题 ‎9.求证:三棱台A1B‎1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点.‎ ‎[证明] 延长AA1,BB1,‎ 设AA1∩BB1=P,‎ 又BB1⊂平面BC1,‎ ‎∴P∈平面BC1,‎ AA1⊂平面AC1,‎ ‎∴P∈平面AC1,‎ ‎∴P为平面BC1和平面AC1的公共点,‎ 又∵平面BC1∩平面AC1=CC1,‎ ‎∴P∈CC1,‎ 即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.‎ ‎10.在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED‎1F与平面ABCD的交线并说明理由.‎ ‎[解] 如图,在平面AA1D1D内,延长D‎1F,∵D‎1F与DA不平行,因此D ‎1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD.‎ 又∵D‎1F⊂平面BED‎1F,‎ DA⊂平面ABCD,‎ ‎∴P∈平面BED‎1F,P∈平面ABCD.‎ ‎∴P∈(平面BED‎1F∩平面ABCD),‎ 即P为平面BED‎1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED‎1F的公共点,‎ ‎∴连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED‎1F的交线.‎ ‎11.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是(  )‎ A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合 ABD [选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错;A、B、D均正确.]‎ ‎12.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则这四个点不共面的图形是(  )‎ A    B     C     D D [在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR.即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.]‎ ‎13.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,‎ BC,CD,DA上.‎ ‎(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线________上.‎ ‎(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线________上.‎ ‎(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG=P,‎ 那么点P∈平面ABD,P∈平面BCD,‎ 而平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 所以P∈BD.‎ ‎(2)若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.]‎ ‎14.以下说法中,正确说法的序号是________.‎ ‎①不共面的四点中,其中任意三点不共线;‎ ‎②若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;‎ ‎③首尾依次相接的四条线段必共面.‎ ‎① [①正确,若四点中有三点共线,则可以推出四点共面,这与四点不共面矛盾;②不正确,共面不具有传递性;③不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内.]‎ ‎15.正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F,G,H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:‎ ‎(1)直线EF,GH,DC能交于一点吗?‎ ‎(2)若E,F,G,H四点共面,怎样才能画出过四点E,F,G,H的平面与正方体的截面?‎ ‎(3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?‎ ‎[解] (1)直线EF,GH,DC能交于一点.理由如下:如图(1),因为E,F分别为棱AB,BC的中点,易得E,F∈平面ABCD,且EF与CD相交,设交点为P.由△EBF≌△PCF,可得PC=BE=AB.同理,GH与CD相交,设交点为P1,同样可得P‎1C=C‎1G=C1D1=AB.‎ 图(1)‎ 所以点P1与点P重合.因此直线EF,GH,DC能交于一点.‎ ‎(2)如图(2),延长HG交DD1的延长线于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R,Q是截面所在平面与平面ADD‎1A1的 公共点,连接RQ,与A1D1,A‎1A分别交于点M,T,连接GM,TE,FH,可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分所示.‎ 图(2)‎ ‎ (3)截面为正六边形,其面积为6××=a2.‎
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