高中数学人教a版必修四课时训练:第三章 章末复习课3 word版含答案

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高中数学人教a版必修四课时训练:第三章 章末复习课3 word版含答案

章末复习课 课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切 公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用,掌握变换的思想和方法,提高 推理和运算能力. 知识结构 一、选择题 1.tan 15°+ 1 tan 15° 等于( ) A.2 B.2+ 3 C.4 D.4 3 3 2.若 3sin α+cos α=0,则 1 cos2α+sin 2α 的值为( ) A.10 3 B.5 3 C.2 3 D.-2 3.函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期是( ) A.π 4 B.π 2 C.π D.2π 4.已知θ是第三象限角,若 sin4 θ+cos4 θ=5 9 ,那么 sin 2θ等于( ) A.2 2 3 B.-2 2 3 C.2 3 D.-2 3 5.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离 等于π,则 f(x)的单调递增区间是( ) A. kπ- π 12 ,kπ+5π 12 ,k∈Z B. kπ+5π 12 ,kπ+11π 12 ,k∈Z C. kπ-π 3 ,kπ+π 6 ,k∈Z D. kπ+π 6 ,kπ+2π 3 ,k∈Z 6.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A),若 m·n =1+cos(A+B),则 C 的值为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.函数 f(x)=sin2(x+π 4)-sin2(x-π 4)的最小正周期是________. 8.函数 y=2cos2x+sin 2x 的最小值是________. 9.若 8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则 sin(α+β)=________. 10.已知α为第三象限的角,cos 2α=-3 5 ,则 tan π 4 +2α =________. 三、解答题 11.已知 tan α=-1 3 ,cos β= 5 5 ,α,β∈(0,π). (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值. 12.设函数 f(x)=sin π 4x-π 6 -2cos2π 8x+1. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈ 0,4 3 时,y=g(x)的最大值. 能力提升 13.函数 f(x)= sin x sin x+2sin x 2 是( ) A.以 4π为周期的偶函数 B.以 2π为周期的奇函数 C.以 2π为周期的偶函数 D.以 4π为周期的奇函数 14.设α为第四象限的角,若sin 3α sin α =13 5 ,则 tan 2α=________. 本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具,在三角式求值、化简、证明,进而研究三角函 数的性质等方面都是必要的基础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确,快 速化到最简,再进一步研究函数的性质. 章末复习课 作业设计 1.C 2.A [∵3sin α+cos α=0, ∴tan α=-1 3 , ∴ 1 cos2α+sin 2α = sin2α+cos2α cos2α+2sin αcos α = tan2α+1 1+2tan α = -1 3 2+1 1+2×-1 3  =10 3 .] 3.B [f(x)=sin4x+1-sin2x=sin4x-sin2x+1=-sin2x(1-sin2x)+1 =1-sin2xcos2x=1-1 4sin22x=1-1 4 ×1-cos 4x 2 =1 8cos 4x+7 8 ∴T=2π 4 =π 2.] 4.A [∵sin4 θ+cos4 θ=(sin2 θ+cos2 θ)2-2sin2 θcos2 θ=1-1 2sin2 2θ=5 9 ,∴sin2 2θ=8 9. ∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin 2θ>0.∴sin 2θ=2 2 3 .] 5.C [f(x)= 3sin ωx+cos ωt=2sin ωx+π 6 .因为函数 y=f(x)的图象与 y=2 的两个相邻交点 的距离为π,故函数 y=f(x)的周期为π.所以2π ω =π,即ω=2.所以 f(x)=2sin 2x+π 6 .令 2kπ-π 2 ≤2x +π 6 ≤2kπ+π 2 得 2kπ-2π 3 ≤2x≤2kπ+π 3 ,即 kπ-π 3 ≤x≤kπ+π 6(k∈Z).] 6.C [∵m·n= 3sin Acos B+ 3cos Asin B= 3sin(A+B)=1+cos(A+B), ∴ 3sin(A+B)-cos(A+B)= 3sin C+cos C=2sin π 6 +C =1. ∴sin π 6 +C =1 2 , ∴π 6 +C=5 6π或π 6 +C=π 6(舍去), ∴C=2 3π.] 7.π 解析 f(x)=sin2(x+π 4)-sin2(x-π 4) =cos2(π 4 -x)-sin2(x-π 4) =cos2(x-π 4)-sin2(x-π 4) =cos(2x-π 2)=sin 2x. ∴T=π. 8.1- 2 解析 ∵y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin(2x+π 4), ∴ymin=1- 2. 9.47 80 解析 ∵(8sin α+5cos β)2+(8cos α+5sin β)2 =64+25+80(sin αcos β+cos αsin β) =89+80sin(α+β)=62+102=136. ∴80sin(α+β)=47, ∴sin(α+β)=47 80. 10.-1 7 解析 由题意,得 2kπ+π<α<2kπ+3π 2 (k∈Z), ∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π.∴sin 2α>0. ∴sin 2α= 1-cos22α=4 5. ∴tan 2α=sin 2α cos 2α =-4 3. ∴tan π 4 +2α = tanπ 4 +tan 2α 1-tanπ 4 tan 2α = 1-4 3 1+4 3 =-1 7. 11.解 (1)由 cos β= 5 5 ,β∈(0,π), 得 sin β=2 5 5 ,tan β=2, 所以 tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β =1. (2)因为 tan α=-1 3 ,α∈(0,π), 所以 sin α= 1 10 ,cos α=- 3 10 , f(x)= 2(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin xsin β =-3 5 5 sin x- 5 5 cos x+ 5 5 cos x-2 5 5 sin x =- 5sin x, 又-1≤sin x≤1,所以 f(x)的最大值为 5. 12.解 (1)f(x)=sinπ 4xcosπ 6 -cosπ 4xsinπ 6 -cosπ 4x= 3 2 sinπ 4x-3 2cosπ 4x= 3sin π 4x-π 3 , 故 f(x)的最小正周期为 T=2π π 4 =8. (2)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)). 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上, 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin π 4 2-x-π 3 = 3sin π 2 -π 4x-π 3 = 3cos π 4x+π 3 . 当 0≤x≤4 3 时,π 3 ≤π 4x+π 3 ≤2π 3 ,因此 y=g(x)在区间 0,4 3 上的最大值为 g(x)max= 3cosπ 3 = 3 2 . 13.A [由 sin x+2sin x 2 =2sin x 2(cos x 2 +1)≠0,得 x≠2kπ,k∈Z. ∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z}关于原点对称. ∵f(x)= sin x sin x+2sin x 2 = cos x 2 1+cos x 2 . ∴f(-x)= cos-x 2  1+cos-x 2  = cos x 2 1+cos x 2 =f(x). ∴函数 f(x)为偶函数. 又 f(x+2π)= cosx+2π 2 1+cosx+2π 2 = cosπ+x 2  1+cosπ+x 2  = -cos x 2 1-cos x 2 ≠f(x). f(x+4π)= cosx+4π 2 1+cosx+4π 2 = cos2π+x 2  1+cos2π+x 2  = cos x 2 1+cos x 2 =f(x), ∴函数 f(x)以 4π为周期.] 14.-3 4 解析 由sin 3α sin α =sin2α+α sin α =sin 2αcos α+cos 2αsin α sin α =2cos2α+cos 2α=13 5 . ∵2cos2α+cos 2α=1+2cos 2α=13 5 ,∴cos 2α=4 5. ∵α为第四象限角, ∴2kπ+3π 2 <α<2kπ+2π,(k∈Z) ∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,(k∈Z) 故 2α可能在第三、四象限, 又∵cos 2α=4 5 , ∴sin 2α=-3 5 ,tan 2α=-3 4.
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