2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3
3.1.1
椭圆及其标准方程
激趣诱思
知识点拨
《今日美国》
2018
年
12
月
9
日报道
,“
天文爱好者们即将看到一个惊喜
,
名为
‘46
P/Wirtanen
’
的彗星
,
即将成为
1950
年以来最
接近
地球的
10
颗彗星之一
.
‘
46
P/Wirtanen
’
会在美国时间
12
月
16
日最接近地球
.
届时
,
这颗彗星将
“
仅
”
距离地球
710
万英里
(
从天文的角度来说
,
这已经很近了
).
在此期间
,
这颗彗星应该肉眼可见
.”
天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢
?
原来
,
这颗彗星运行的轨道是一个椭圆
,
通过观察它运行中的一些有关数据
,
可以推算出它的运行轨道的方程
,
从而算出它运行的周期及轨道的周长
,
预测它接近地球或离去的时间
.
激趣诱思
知识点拨
一、椭圆的定义
1
.
定义
我们把平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离的和等于常数
(
大于
|F
1
F
2
|)
的点的轨迹叫做椭圆
.
这两个定点叫做椭圆的焦点
,
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
,
焦距的一半称为半焦距
.
2
.
定义的集合语言表述
集合
P={M||MF
1
|+|MF
2
|=2a,2a>|F
1
F
2
|}.
名师点析
在椭圆定义中
,
要求常数必须大于两定点
F
1
,F
2
之间的距离
,
这是椭圆定义中非常重要的一个条件
,
可以验证
:
如果这个常数等于两定点
F
1
,F
2
之间的距离
,
动点的轨迹将是一条线段
;
如果这个常数小于两定点
F
1
,F
2
之间的距离
,
动点的轨迹将不存在
.
因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时
,
务必注意这一隐含的条件
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法中
,
正确的是
(
)
A.
到点
M(-3,0),N(3,0)
的距离之和等于
4
的点的轨迹是椭圆
B.
到点
M(0,-3),N(0,3)
的距离之和等于
6
的点的轨迹是椭圆
C.
到点
M(-3,0),N(3,0)
的距离之和等于
8
的点的轨迹是椭圆
D.
到点
M(0,-3),N(0,3)
的距离相等的点的轨迹是椭圆
答案
:
C
激趣诱思
知识点拨
二、椭圆的标准
方程
0
0
0
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1
.
椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程
,
所谓标准位置
,
就是指椭圆的中心在坐标原点
,
椭圆的对称轴为坐标轴
.
激趣诱思
知识点拨
(2)
已知
a=5,c=2,
焦点在
y
轴上
,
则椭圆的标准方程为
.
解析
:
(1)
因为
10>6,
所以焦点在
x
轴上
,
且
a
2
=10,b
2
=6,
所以
c
2
=10-6=4,c=2,
故焦点坐标为
(2,0)
和
(-2,0).
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求椭圆的标准方程
1
.
待定系数法
例
1
根据下列条件
,
求椭圆的标准方程
:
(1)
两个焦点的坐标分别为
(-4,0)
和
(4,0),
且椭圆经过点
(5,0);
(2)
焦点在
y
轴上
,
且经过两个点
(0,2)
和
(1,0);
思路分析
:
(1)
设出焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程
,
再根据条件求出
a,b
的值
,
即可求得方程
;(2)
设出焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程
,
再根据条件求出
a,b
的值
,
即可求得方程
;(3)
焦点位置不确定
,
可以分两种情况分别求解
,
也可直接设所求椭圆方程为
mx
2
+ny
2
=1(m>0,n>0,m≠n).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
椭圆方程的求法
1
.
利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下
:
(1)
先确定焦点位置
;(2)
设出方程
;(3)
寻求
a,b,c
的等量关系
;(4)
求
a,b
的值
,
代入所设方程
.
2
.
当焦点位置不确定时
,
可设椭圆方程为
mx
2
+ny
2
=1(m≠n,m>0,n>0).
因为焦点位置包括焦点在
x
轴上
(m
n)
两种情况
,
所以可以避免分类讨论
,
从而简化运算
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
根据下列条件
,
求椭圆的标准方程
.
(2)
经过点
(2,-3)
且与椭圆
9x
2
+4y
2
=36
有共同的焦点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
定义法
例
2
一个动圆与圆
Q
1
:(x+3)
2
+y
2
=1
外切
,
与圆
Q
2
:(x-3)
2
+y
2
=81
内切
,
试求这个动圆圆心的轨迹方程
.
思路分析
:
两圆相切时
,
圆心之间的距离与两圆的半径有关
,
由此可以找到动圆圆心满足的条件等式
.
解
:
两定圆的圆心和半径分别为
Q
1
(-3,0),r
1
=1;Q
2
(3,0),r
2
=9.
设动圆圆心为
M(x,y),
半径为
R,
由题意有
|MQ
1
|=1+R,|MQ
2
|=9-R,
∴
|MQ
1
|+|MQ
2
|=10>|Q
1
Q
2
|=6.
由椭圆的定义可知点
M
在以
Q
1
,Q
2
为焦点的椭圆上
,
且
a=5,c=3,
∴
b
2
=a
2
-c
2
=25-9=16.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
若动点轨迹满足椭圆的定义
,
则根据椭圆的定义来确定
a,b,c,
从而确定椭圆的标准方程
,
这种求轨迹方程的方法称为定义法
.
2
.
一般步骤
:
(1)
将条件转化为到两定点的距离之和为定值
(
该定值大于两定点之间的距离
);
(2)
判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴
;
(3)
确定椭圆的基本量
a,b,c,
从而确定椭圆的标准方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本题两个已知圆不变
,
若动圆与两个圆都内切
,
求动圆圆心的轨迹方程
.
解
:
设动圆圆心为
P(x,y),
半径为
r.
由圆
P
与圆
Q
1
内切
,
得
|PQ
1
|=r-1;
由圆
P
与圆
Q
2
内切
,
得
|PQ
2
|=9-r.
所以
|PQ
1
|+|PQ
2
|=8>6=|Q
1
Q
2
|.
所以
P
点轨迹是以
Q
1
,Q
2
为焦点的椭圆
,
且
2a=8,2c=6.
即
a=4,c=3,
所以
b
2
=a
2
-c
2
=7.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对椭圆标准方程的
理解
A.
(-9,25)
B.
(-9,8)
∪
(8,25)
C.
(8,25)
D.
(8,+∞)
(2)
若方程
x
2
-3my
2
=1
表示焦点在
x
轴上的椭圆
,
则实数
m
的取值范围是
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
根据椭圆方程求参数的取值
范围
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
(-4,0)
∪
(0,3
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
椭圆中的焦点三角形
问题
思路分析
:
(1)
由
|PF
1
|+|PF
2
|
是定值
,
求
|PF
1
|·|PF
2
|
的最大值
,
可考虑用基本不等式
;(2)
求焦点三角形的面积
,
可考虑用定义
|PF
1
|+|PF
2
|=2a
及余弦定理先求
|PF
1
|·|PF
2
|,
再考虑用三角形面积公式求面积
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当且仅当
|PF
1
|=|PF
2
|=10
时
,
等号成立
,
即
|PF
1
|·|PF
2
|
取到最大值
100.
(2)c
2
=a
2
-b
2
=100-64=36,c=6,
则
F
1
(-6,0),F
2
(6,0).
∵
P
为椭圆上任一点
,
∴
|PF
1
|+|PF
2
|=2a=20.
在
△
PF
1
F
2
中
,|F
1
F
2
|=2c=12,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
即
12
2
=|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
-|PF
1
|·|PF
2
|.
∵
|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=(|PF
1
|+|PF
2
|)
2
-2|PF
1
|·|PF
2
|,
∴
12
2
=(|PF
1
|+|PF
2
|)
2
-3|PF
1
|·|PF
2
|,
∴
12
2
=20
2
-3|PF
1
|·|PF
2
|,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
焦点三角形的概念
如图
,
设
M
是椭圆上一点
,F
1
,F
2
为椭圆的焦点
,
当点
M,F
1
,F
2
不在同一条直线上时
,
它们构成一个三角形
——
焦点三角形
.
2
.
关于椭圆的焦点三角形问题
,
可结合椭圆的定义列出
|PF
1
|+|PF
2
|=2a,
利用这个关系式转化求解
.
因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法
.
在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
焦点三角形的常用公式
(1)
焦点三角形的周长
L=2a+2c.
(2)
在
△
MF
1
F
2
中
,
由余弦定理可
得
|
F
1
F
2
|
2
=|MF
1
|
2
+|MF
2
|
2
-2|MF
1
||MF
2
|
cos
θ
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
垂直于
x
轴
,
交椭圆于
A,B
两点
,F
1
是椭圆的左焦点
.
(1)
求
△
AF
1
B
的周长
.
(2)
如果
AB
不垂直于
x
轴
,
△
AF
1
B
的周长有变化吗
?
为什么
?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
故有
|AF
1
|+|AF
2
|=2a=10,|BF
1
|+|BF
2
|=2a=10,|AF
2
|+|BF
2
|=|AB|,
∴
△
AF
1
B
的周长
=|AF
1
|+|BF
1
|+|AB|=|AF
1
|+|BF
1
|+|AF
2
|+|BF
2
|
=(|
AF
1
|+|AF
2
|)+(|BF
1
|+|BF
2
|)=2a+2a=10+10=20,
∴
△
AF
1
B
的周长为
20.
(2)
如果
AB
不垂直于
x
轴
,
△
AF
1
B
的周长仍为
20
不变
.
理由
:|AF
1
|+|BF
1
|+|AB|=|AF
1
|+|BF
1
|+|AF
2
|+|BF
2
|
=(|
AF
1
|+|AF
2
|)+(|BF
1
|+|BF
2
|)=4a,
和
AB
与
x
轴是否垂直无关
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求与椭圆有关的轨迹问题
典例
已知
B,C
是两个定点
,|BC|=8,
且
△
ABC
的周长等于
18.
求这个三角形的顶点
A
的轨迹方程
.
解
:
以过
B,C
两点的直线为
x
轴
,
线段
BC
的垂直平分线为
y
轴
,
建立平面直角坐标系
xOy,
如图所示
.
由
|BC|=8
可知点
B(-4,0),C(4,0).
由
|AB|+|AC|+|BC|=18,
得
|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此
,
点
A
的轨迹是以
B,C
为焦点的椭圆
,
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和
2a=10,
焦距
2c=8,
但点
A
不在
x
轴上
.
由
a=5,c=4,
得
b
2
=a
2
-c
2
=25-16=9.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法总结
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)
定义法
:
若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹
(
如椭圆、圆等
)
的定义
,
则可用定义直接求解
.
(2)
直接法
:
将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化
,
列出等式后化简
,
得出动点的轨迹方程
.
(3)
相关点法
:
根据相关点所满足的方程
,
通过转换求出动点轨迹的方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
已知
F
1
,F
2
为两定点
,|F
1
F
2
|=6,
动点
M
满足
|MF
1
|+|MF
2
|=16,
则动点
M
的轨迹是
(
)
A.
椭圆
B.
直线
C.
圆
D.
线段
解析
:
因为
|MF
1
|+|MF
2
|=16>|F
1
F
2
|,
所以动点
M
的轨迹是椭圆
.
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
椭圆的两个焦点分别为
F
1
(-8,0),F
2
(8,0),
且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为
20,
则此椭圆的标准方程为
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
求以椭圆
9
x
2
+
5
y
2
=
45
的焦点为焦点
,
且经过点
M
(2, )
的椭圆的标准方程
.
