【数学】2019届一轮复习人教A版 与三角变换、平面向量综合的三角形问题学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版 与三角变换、平面向量综合的三角形问题学案

‎ 12分 难点一 ‎ 与三角变换、平面向量综合的三角形问题 ‎(对应 生用书第62页)‎ 高考数 命题注重知识的整体性和综合性,重视在知识的交汇处考察,对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合,它们之间互相联系、互相交叉,不仅考察三角变换,同时深化了向量的运算,体现了向量的工具作用,试题综合性较高,所以要求 生有综合处理问题的能力,纵观最近几年高考,试题难度不大,但是如果某一知识点掌握不到位,必会影响到整个解题过程 ,本文从以下几个方面阐述解题思路,以达到抛砖引玉的目的.‎ ‎1.向量运算与三角形问题的综合运用 解答这类题,首先向量的基本概念和运算必须熟练,要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件,其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示,体现向量的工具作用.‎ ‎【例1】 (镇江市2017届高三上 期期末)已知向量m=(cos α,-1),‎ ‎ n=(2,sin α),其中α∈,且m⊥n.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=,且β∈,求角β的值.‎ ‎[解] 法一(1)由m⊥n得,2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,‎ 代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,‎ 且α∈,‎ 则cos α=,sin α=,‎ 则cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-.‎ ‎(2)由α∈,β∈得,α-β∈.‎ 因sin(α-β)=,则cos(α-β)=.‎ 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) ‎ ‎=×-×=,‎ 因β∈,则β=.‎ 法二(1)由m⊥n得,2cos α-sin α=0,tan α=2,‎ 故cos 2α=cos2α-sin2α====-.‎ ‎(2)由(1)知,2cos α-sin α=0,‎ 且cos2α+sin2α=1,α∈,β∈,‎ 则sin α=,cos α=,‎ 由α∈,β∈得,α-β∈.‎ 因sin(α-β)=,则cos(α-β)=.‎ 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)‎ ‎=×-×=,‎ 因β∈,则β=.‎ ‎2.三角函数与三角形问题的结合 三角函数的起 ‎ 是三角形,所以经常会联系到三角形,这类型题是在三角形这个载体上的三角变换,第一:既然是三角形问题,就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论,及时边角转换,可以帮助发现问题解决思路;第二:它也是一种三角变换,只不过角的范围缩小了,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.‎ ‎【例2】 (2017·江苏省无锡市高考数 一模)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B=.‎ ‎(1)求边c的长;‎ ‎(2)求角B的大小. ‎ ‎【导 号:56394089】‎ ‎[解] (1)∵acos B=3,bcos A=1,∴a×=3,b×=1,‎ 化为:a2+c2-b2=‎6c,b2+c2-a2=‎2c.‎ 相加可得:‎2c2=‎8c,解得c=4.‎ ‎(2)由(1)可得:a2-b2=8.‎ 由正弦定理可得:==,‎ 又A-B=,∴A=B+,C=π-(A+B)=π-,可得sin C=sin.‎ ‎∴a=,b=.‎ ‎∴16sin2-16sin2B=8sin2,‎ ‎∴1-cos-(1-cos 2B)=sin2,即cos 2B-cos=sin2,‎ ‎∴-2sinsin=sin2,‎ ‎∴sin=0或sin=1,B∈.‎ 解得:B=.‎ ‎3.三角变换、向量、三角形问题的综合 高考会将几方面结合起 命题,三角函数主要考察它的图象、常见性质;三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质;向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线,体现向量的工具作用,三角变换主要考察求值、化简、变形.‎ ‎【例3】 (扬州市2017届高三上 期期中)在△ABC中,AB=6,AC=3,·=-18.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求tan 2B的值.‎ ‎[解] (1)因为·=AB×AC×cos A=-18,且AB=6,AC=3,‎ BC= ‎==3.‎ ‎(2)法一:在△ABC中,AB=6,AC=3,BC=3,‎ cos B===,‎ 又B∈(0,π),所以sin B==,‎ 所以tan B==,‎ 所以tan 2B===.‎ 法二:由AB=6,AC=3,·=AB×AC×cos A=-18可得cos A=-,‎ 又A∈(0,π),所以A=.‎ 在△ABC中,=,所以sin B===,‎ 又B∈,所以cos B==,所以tan B==,‎ 所以tan 2B===.‎ ‎4.实际应用中的三角形问题 在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题,可以借助平面图形,将上述量放在一个三角形中,借助解三角形知识达到解决问题的目的.‎ ‎【例4】 (2017·江苏省淮安市高考数 二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)‎3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距‎4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击,已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍,假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.‎ 图1‎ ‎(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(参考数据:sin 17°≈,≈5.744 6)‎ ‎(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.‎ ‎[解] (1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图),则AC=3BC.‎ ‎△ABC中,由正弦定理可得sin∠BAC==,‎ ‎∴∠BAC=17°,‎ ‎∴缉私艇应向北偏东47°方向追击,‎ ‎△ABC中,由余弦定理可得cos 120°=,∴BC≈1.686 15.‎ B到边界线l的距离为3.8-4sin 30°=1.8,‎ ‎∵1.686 15<1.8,‎ ‎∴能用最短时间在领海内拦截成功.‎ ‎(2)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则B(2,2),设缉私艇在P(x,y)处与走私船相遇,则PA=3PB,‎ 即x2+y2=9[(x-2)2+(y-2)2],即2+2=,‎ ‎∴P的轨迹是以为圆心,为半径的圆,‎ ‎∵圆心到边界线l:x=3.8的距离为1.55,大于圆的半径,‎ ‎∴无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇总能在领海内成功拦截.‎ ‎5.综合上述几个方面的阐述,解三角形问题不是孤立的,而是跟其他相关知识紧密联系在一起,通过向量的工具作用,将条件集中到三角形中,然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题,是常见的解题思路,为此,熟练掌握向量的基本概念和向量的运算,熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键.‎ ‎6.向量与三角形问题的结合 向量具有“双重身份”,既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换,同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则,这为向量和三角形问题的结合,提供了很好的几何背景.‎ ‎6.1 向量与三角形谈“心”‎ 内心(三角形内切圆圆心 ):三角形三条内角平分线的交点;‎ 外心(三角形外接圆的圆心):三角形各边中垂线的交点;‎ 垂心:三角形各边上高的交点;‎ 重心:三角形各边中线的交点,‎ 用向量形式可表示为如下形式:‎ 若P是△ABC内的一点, ‎⇒P是△ABC的内心;‎ 若D、E两点分别是△ABC的边BC、CA上的中点,且 ⇒P是△ABC的外心;‎ 若++=0,则G是△ABC的重心;‎ 若P是△ABC所在平面内的一点,且·=·=·,则P是△ABC的垂心.‎ ‎【例5】 (2017·江苏省泰州市高考数 一模)在△ABC中,若·+2·=·,则的值为________. ‎ ‎【导 号:56394090】‎ ‎[解析] 在△ABC中,设三条边分别为a、b、c,三角分别为A、B、C,‎ 由·+2·=·,‎ 得ac·cos B+2bc·cos A=ba·cos C,‎ 由余弦定理得:(a2+c2-b2)+(b2+c2-a2)=(b2+a2-c2),‎ 化简得=2,∴=,由正弦定理得==.‎ 故答案为:.‎ ‎[答案]  ‎6.2 判断三角形形状 三角形的边可以看做向量的模长,三角形的内角可以看做向量的夹角,所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算,结合平面几何知识 判断三角形的形状 ‎【例6】 △ABC的三个内角A、B、C成等差数列,(+)·=0,则△ABC一定是________三角形.‎ ‎[解析] △ABC的三个内角A、B、C成等差数列,则有2B=A+C,所以B=,设D是AC边的中点,‎ 则+=2,所以2·=0,⊥,所以△ABC一定是等边三角形.‎ ‎[答案] 等边 ‎ ‎
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