2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题
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把握三角函数与解三角形中的最值问题
微点聚焦突破
类型一 三角函数的最值
角度1 可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题
【例1－1】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的半径为2，圆心角为，点M是弧AB上异于A，B的点.
(1)若点C(1，0)，且CM＝，求点M的横坐标；
(2)求△MAB面积的最大值.
解 (1)连接OM，依题意可得，在△OCM中，OC＝1，CM＝，OM＝2，
所以cos ∠COM＝＝，
所以点M的横坐标为2×＝.
(2)设∠AOM＝θ，θ∈，则∠BOM＝－θ，
S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB
＝×2×2－×2×2×
＝2sin－，
因为θ∈，所以θ＋∈，
所以当θ＝时，△MAB的面积取得最大值，最大值为.
思维升华 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.
角度2 可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x))型的最值问题
【例1－2】 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.
解析 y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以当t＝时，函数y取得最大值为.
答案
思维升华 可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x))型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域.
【训练1】 (1)(角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.
(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝3sin x＋4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，<φ<.因为0≤x≤π，所以
1.
答案 (1)[－4，5] (2)(1，＋∞)
类型二 三角形中的最值
角度1 转化为三角函数利用三角函数的有界性求解
【例2－1】 (2020·湖北七市联考)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围.
解 (1)由已知条件，得bcos A＋acos B＝bsin C.
由正弦定理，得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C，
即sin(A＋B)＝sin Bsin C.
又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0，
所以sin B＝.因为B是锐角，所以B＝.
(2)由正弦定理，得＝＝＝＝4，
则a＝4sin A，c＝4sin C.
所以a＋c＝4sin A＋4sin C＝4sin A＋4sin
＝6sin A＋2cos A＝4sin.
由00，b>0，a＋b＝4，a＋b≥2，
所以ab≤4(当且仅当a＝b时取等号)，
由(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，
所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，
故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c<4，故选B.
答案 B
分层限时训练
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数y＝cos，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
解析 x∈，x＋∈，
所以y∈.
答案 B
2.如果|x|≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是( )
A. B.－
C.－1 D.
解析 f(x)＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋，当sin x＝－时，ymin＝.
答案 D
3.若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是( )
A.－1 B.－ C.－ D.－
解析 因为f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，则由题意，知f＝2sin＝0.又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，则f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－2sin ＝－.故选B.
答案 B
4.(2020·广州一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵cos C＋cos A＝1，
∴由余弦定理可得·＋·＝1，化简可得b2＝ac，
则cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，取“＝”.
∴≤cos B<1，即cos B∈.故选D.
答案 D
5.(2020·河南六市联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A.4 B.2 C.3 D.
解析 由＝得2acos B－ccos B＝bcos C，
由正弦定理得，2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，
又知sin(B＋C)＝sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2sin Acos B＝sin A，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，
∴cos B＝，又知B∈(0，π)，∴B＝，
又知cos B＝＝≥1－＝1－，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立，
∴S△ABC＝acsin B≤×16×sin ＝×16×＝4，
故△ABC的面积的最大值为4，故选A.
答案 A
二、填空题
6.若函数y＝sin2x＋2cos x在区间上最小值为－，则α的取值范围是________.
解析 y＝2－(cos x－1)2，当x＝－π时，y＝－，根据函数的对称性α∈.
答案
7.(2019·武汉调研)当函数f(x)＝3sin x＋6cos x取得最大值时，sin x的值为________.
解析 f(x)＝3sin x＋6cos x＝3sin(x＋α)，其中sin α＝，cos α＝，当x＋α＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋－α，k∈Z时，f(x)取得最大值3，此时sin x＝sin＝sin＝cos α＝.
答案
8.(多填题)已知函数f(x)＝sin，其中x∈.当α＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则α的取值范围是________.
解析 若－≤x≤，则－≤2x＋≤，此时－≤sin≤1，即f(x)的值域是.若－≤x≤α，则－≤2x＋≤2α＋.因为当2x＋＝－或2x＋＝时，sin＝－，所以要使f(x)的值域是，则有≤2α＋≤，即≤α≤，即α的取值范围是.
答案
三、解答题
9.(2020·长春模拟)设函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值.
解 (1)f(x)＝sin 2x＋＋a
＝sin＋a＋，所以T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.
当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为
＋＝，解得a＝0.
10.(2019·河南中原名校联考)已知△ABC的内角A，B，C满足＝.
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
解 (1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
根据题意及正弦定理，可得＝⇒a2＝b2＋c2－bc，
所以cos A＝＝＝.
又因为00，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0c2，则C>
C.若2ab>(a＋b)c，则C>
D.若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C<
解析 对于A，若C≥，则c2≥a2＋b2，则c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，所以A正确；对于B，由ab>c2得cos C＝>＝，所以C<，故B不正确；对于C，取a＝b＝2，c＝1，满足2ab>(a＋b)c，利用余弦定理得C<<，故C不正确；对于D，因为2abc2≤(a2＋b2)c2<2a2b2，所以有c2＝，所以C<，故D正确.
答案 AD
