【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第七章　第1讲　不等关系与不等式学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第七章　第1讲　不等关系与不等式学案

第1讲　不等关系与不等式 ‎　　　　　　　‎ 一、知识梳理 ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法.‎ ‎(2)作商法.‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 对乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ 常用结论 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<；‎ ‎②a<0b>0，0；‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)；‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ 二、教材衍化 ‎1．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　　‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选A.－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0－>0.‎ ‎2． ______(填“>”“<”或“＝”)．‎ 解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.‎ 答案：<‎ ‎3．若0b，a＝b，a1，则a>b.(　　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)‎ ‎(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)‎ ‎(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√‎ 二、易错纠偏 (1)乱用不等式的相乘性致错；‎ ‎(2)命题的必要性出错；‎ ‎(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．‎ ‎1．若a>b>0，c0 B．－<0‎ C.> D．< 解析：选D.因为cac，‎ 又因为cd>0，所以>，即>.‎ ‎2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．‎ 解析：若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．‎ 答案：充分不必要 ‎3．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．‎ 解析：由－<α<，－<－β<，α<β，‎ 得－π<α－β<0.‎ 答案：(－π，0)‎ ‎　　　　　比较两个数(式)的大小(自主练透)‎ ‎1． 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．MN ‎ C．M＝N D．不确定 解析：选B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)‎ ‎＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，‎ 所以a1－1<0，a2－1<0.‎ 所以(a1－1)(a2－1)>0，‎ 即M－N>0，所以M>N.‎ ‎2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)‎ A．A≤B B．A≥B ‎ C．AB 解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.‎ ‎3．(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．ab；‎ ＝＝log6251 024>1.‎ 所以b>c.即ce时，函数f(x)是减少的．‎ 因为e<3<4<5，‎ 所以f(3)>f(4)>f(5)，即cb且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为c>d，所以c－d>0.又a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．‎ ‎2．已知a0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．‎ ‎3．若<<0，则下列不等式①a＋b|b|；③a0，所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c ‎)中，成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.因为a>0>b，c0，‎ 所以ad0>b>－a，‎ 所以a>－b>0，‎ 因为c－d>0，‎ 所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，‎ 所以＋＝<0，故②正确．‎ 因为c－d，‎ 因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，‎ a－c>b－d，故③正确．‎ 因为a>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，‎ 故④正确，故选C. ‎ 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．‎ ‎[提醒]　利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．　 ‎ ‎　　　　　　不等式性质的应用(典例迁移)‎ ‎　已知－1a2b C.< D．< 解析：选C.若ab2，故A错；若0，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C.‎ ‎2．(一题多解)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a2<－ab B．|a|<|b|‎ C.> D．> 解析：选C.法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.‎ 法二：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立，故选C.‎ ‎3．(一题多解)若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是　(　　)‎ A．－n0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的条件有3个．‎ ‎5．下列四个命题中，正确命题的个数为(　　)‎ ‎①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；‎ ‎③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>.‎ A．3 B．2 ‎ C．1 D．0‎ 解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个．‎ ‎6．设实数x，y满足02且y>2 B．x<2且y<2‎ C．02且00，‎ 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.‎ 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1‎ ‎8．设a>b，有下列不等式①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有________．(填正确的序号)‎ 解析：对于①，>0，故①成立；‎ 对于②，a>0，b<0时不成立；‎ 对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；‎ 对于④，|c|≥0，故④成立．‎ 答案：①④‎ ‎9．已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是________．‎ 解析：依题意可得4<<8，又1y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．‎ 解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.‎ 符合题设条件x>y，a>b.‎ 因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.‎ 所以a－x＝b－y，因此①不成立．‎ 因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立．‎ 因为＝＝－1，＝＝－1，‎ 所以＝，因此⑤不成立．‎ 由不等式的性质可推出②④成立．‎ 答案：②④‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若6b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a＋<b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有cn≥2，所以mn≥4；结合定义及p⊕q≤2，可得或即qa>ab，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，‎ 当a>0时，b2>1>b，‎ 即解得b<－1；‎ 当a<0时，b2<1
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