高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测（一）b卷word版含解析

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阶段质量检测(一) B 卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.如图，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC 相似的三角形有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 C 根据相似三角形的预备定理可得 △OEF∽△OAD，△CHG∽△CBO，△OAD∽△OBC. 2.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 中点，AE⊥AD 交 CB 延长线于点 E，则下列结论正确的是( ) A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 解析：选 C ∵D 为 BC 的中点，∠CAB＝90°， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA， ∴∠C＝∠BAE，又∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE. 3．已知矩形 ABCD，R、P 分别在边 CD、BC 上，E、F 分别为 AP、 PR 的中点，当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在 CD 上固定不变，设 BP＝x，EF＝y 那么下列结论中正确的是( ) A．y 是 x 的增函数 B．y 是 x 的减函数 C．y 随 x 的增大先增加后减小 D．无论 x 怎样变化，y 为常数 解析：选 D 连接 AR，∵E、F 分别为 AP、PR 的中点， ∴EF 是△APR 的中位线， ∴EF＝1 2AR， ∵当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时， 点 R 在 CD 上固定不变，故选 D. 4．如图，G 点是△ABC 的重心，GE∥BC，那么 AB 是 BE 的( ) A．3 倍 B．6 倍 C．2 倍 D．4 倍 解析：选 A ∵G 是△ABC 的重心， ∴GC＝2DG，∵GE∥BC，∴BE＝2ED. ∴BE＝2 3BD，即 BD＝3 2BE. ∵AB＝2BD，∴AB＝2×3 2BE＝3BE. 5．在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A．2∶3 B．4∶9 C. 6∶3 D．不确定 解析：选 C 如右图，在 Rt△ACB 中，CD⊥AB，由射影定理得 CD2 ＝AD·BD， 即CD AD ＝BD CD. 又∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令 AD＝2x， BD＝3x(x>0)．∴CD2＝6x2，∴CD＝ 6x. 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝ 2x 6x ＝ 6 3 . 6.如右图，过梯形 ABCD 的腰 AD 的中点 E 的直线 EF 平行于底边，交 BC 于 F，若 AE 的长是 BF 的长的2 3 ，则 FC 是 ED 的________倍．( ) A.2 3 B.3 2 C．1 D.1 2 解析：选 B ∵AB∥EF∥DC，且 AE＝DE， ∴BF＝FC.又∵AE＝2 3BF， ∴FC＝3 2ED. 7.如图，在正三角形 ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且AD AC ＝1 3 ， AE＝BE，则有( ) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析：选 B 直接法，注意到∠A＝∠C＝60°，可设 AD＝a， 则 AC＝3a，而 AB＝AC＝BC＝3a. 所以 AE＝BE＝3 2a.所以AD AE ＝ a 3 2a ＝2 3. 又CD BC ＝2a 3a ＝2 3 ，所以AD AE ＝CD CB ， ∠A＝∠C＝60°， 故△AED∽△CBD，选 B. 8．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 解析：选 B 连接梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所 以平行四边形的各边相等，由此可以判定此四边形必定为菱形． 9．如图，锐角三角形 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O，图中与△ODB 相似的三角形的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C ∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE 都是直角三角形． 又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC， ∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC， ∴与△ODB 相似的三角形有 3 个． 10.如图所示，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 60°至 AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为( ) A．4 B．2－ 3 C．2＋ 3 D. 3－1 解析：选 B 如图，过 B′点作 EF∥BC， 分别交 AB、DC 于 E、F，连接 AK. 由基本图形知， Rt△KFB′∽Rt△B′EA. 在 Rt△AB′E 中， ∠EAB′＝60°，AB′＝1， ∴B′E＝ 3 2 . ∴KB′ AB′ ＝B′F AE ＝1－B′E AE ＝ 1－ 3 2 1 2 ＝2－ 3 ∴KB′＝2－ 3. 又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK， ∴SAB′KD＝2S△AB′K＝AB′×KB′＝2－ 3. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，在▱ABCD 中，BC＝24，E、F 为 BD 的三等分点，则 BM＝________，DN ＝________. 解析：BM AD ＝BE ED ＝1 2 ， ∴BM＝1 2BC＝12，DN BM ＝DF FB ＝1 2 ， ∴DN＝1 2BM＝6. 答案：12 6 12．如图，已知在△ABC 中，AD∶DC＝1∶1，E 为 BD 的中 点，AE 延长线交 BC 于 F，则 BF 与 FC 的比值为____________． 解析：过 D 作 DG 平行于 BC，交 AF 于点 G，再根据平行线等 分线段定理即可解决． 答案：1 2 13．如图，等边△DEF 内接于△ABC，且 DE∥BC，已知 AH⊥BC 于 H，BC＝4 cm， AH＝2 cm，则△DEF 的边长为________cm. 解析：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC，DE∥BC， ∴AG⊥DE， ∴DE BC ＝AG AH ， 设 DE＝x，则 GH＝ 3 2 x，AG＝AH－GH＝2－ 3 2 x. ∴x 4 ＝2－ 3 2 x 2 . 解得：x＝2 3－2(cm)． 答案：2 3－2 14．(湖北高考)如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的 射影为 E.若 AB＝3AD，则CE EO 的值为________． 解析：连接 AC，BC，则 AC⊥BC. ∵AB＝3AD， ∴AD＝1 3AB，BD＝2 3AB，OD＝1 6AB. 又 AB 是圆 O 的直径，OC 是圆 O 的半径， ∴OC＝1 2AB. 在△ABC 中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝2 9AB2. 在△OCD 中，根据射影 定理有：OD2＝OE·OC， CD2＝CE·OC，可得 OE＝ 1 18AB，CE＝4 9AB， ∴CE EO ＝8. 答案：8 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15．(本小题满分 12 分)如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，M 是 AD 上一点，BM，CM 的延长线分别交 AC，AB 于 F，E. 求证：EF∥BC. 证明：法一：延长 AD 至 G，使 DG＝MD，连接 BG，CG. ∵BD＝DC，MD＝DG， ∴四边形 BGCM 为平行四边形． ∴EC∥BG，FB∥CG. ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG. ∴AE AB ＝AF AC. ∴EF∥BC. 法二：过点 A 作 BC 的平行线， 与 BF，CE 的延长线分别交于 G，H. ∵AH∥DC，AG∥BD， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD. ∴AH DC ＝AG BD. ∵BD＝DC， ∴AH＝AG. ∵HG∥BC， ∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AG BC. ∵AH＝AG， ∴AE EB ＝AF FC. ∴EF∥BC. 16．(本小题满分 12 分)如图所示，已知边长为 12 的正三角形 ABC， DE∥BC，S△BCD∶S△BAC＝4∶9，求 EC 的长． 解：如图，过 D 作 DF⊥BC， 过 A 作 AG⊥BC， S△BCD＝1 2BC·DF， S△BAC＝1 2BC·AG. 因为 S△BCD∶S△BAC＝4∶9， 所以 DF∶AG＝4∶9. 因为△BDF∽△BAG， 所以 BD∶BA＝DF∶AG＝4∶9. 因为 AB＝12， 所以 CE＝BD＝16 3 . 17．(本小题满分 12 分)如图所示，在四边形 ABCD 中，求证： AC·BD≤AB·CD＋AD·BC. 证明：如图所示． 取点 E 使∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD， 连接 AE，BE，DE， 则△ABE∽△ACD. ∴AB AC ＝AE AD ，① AB AC ＝BE CD.② 由①及∠BAC＝∠EAD，得△BAC∽△EAD. ∴BC ED ＝AC AD.③ 由②得 BE＝AB·CD AC ， 由③得 ED＝BC·AD AC . 由于 BE＋ED≥BD， ∴AB·CD AC ＋BC·AD AC ≥BD. ∴AB·CD＋BC·AD≥AC·BD. 18．(本小题满分 14 分)如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与 AE 相交于点 F，EG⊥AB 于 G. 求证：EG2＝FD·EB. 证明：因为∠ACE＝90°，CD⊥AB， 所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°. 因为∠AFD＝∠CFE， 所以∠FAD＋∠CFE＝90°. 又因为∠CAE＝∠FAD， 所以∠AEC＝∠CFE. 所以 CF＝CE. 因为 AE 是∠CAB 的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC， 所以 EC＝EG，CF＝EG. 因为∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°， 所以∠ACF＝∠B. 因为∠CAF＝∠BAE， 所以△AFC∽△AEB，AF AE ＝CF EB. 因为 CD⊥AB，EG⊥AB， 所以 Rt△ADF∽Rt△AGE. 所以AF AE ＝FD EG. 所以CF EB ＝FD EG. 所以 CF·EG＝FD·EB， 即 EG2＝FD·EB.