高中数学人教a版选修4-4阶段质量检测（一）a卷word版含解析

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阶段质量检测（一）A卷 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 6分，满分 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A．(1,0) B．(－1,0) C．(0,1) D．(0，－1) 解析：选 B x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)． 2．已知曲线 C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点 P 0，π 2 ，Q(2，π)，则有( ) A．P在曲线 C上，Q不在曲线 C上 B．P，Q都不在曲线 C上 C．P不在曲线 C上，Q在曲线 C上 D．P，Q都在曲线 C上 解析：选 C 当θ＝π 2 时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点 P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点 Q在曲线上． 3．在同一坐标系中，将曲线 y＝2sin 3x变为曲线 y＝sin x的伸缩变换是( ) A. x＝3x′ y＝1 2 y′ B. x′＝3xy′＝ 1 2 y C. x＝3x′ y＝2y′ D. x′＝3x y′＝2y 解析：选 B 将 x′＝λx， y′＝μy 代入 y＝sin x，得μy＝sin λx， 即 y＝1 μ sin λx，与 y＝2sin 3x比较，得μ＝1 2 ，λ＝3， 即变换公式为 x′＝3x， y′＝ 1 2 y. 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( ) A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4 解析：选 B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方 程是 x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4. 5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1 6，π 2 ，5 ，则此长方 体的体积为( ) A．100 B．120 C．160 D．240 解析：选 B 由长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1 6，π 2 ，5 ，可知|OA|＝4，|OC| ＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为 4×5×6＝120. 6．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则点 P 的轨迹所围成 的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选 B 设 P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]． 即(x－2)2＋y2＝4. 故 P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以 2为半径的圆，它的面积为 4π. 7．在极坐标系中，过点 A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A．2 B．6 C．2 3 D．2 15 解析：选 C 圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝ 42－22＝ 12＝2 3. 8．极坐标方程θ＝π 3 ，θ＝2 3 π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( ) A.16 3 π B.8 3 π C.4 3 π D.2 3 π 解析：选 B 三条曲线围成一个扇形，半径为 4，圆心角为 2π 3 － π 3 ＝ π 3 . ∴扇形面积为： 1 2 ×4×π 3 ×4＝8π 3 . 9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin θ－π 3 关于( ) A．θ＝π 3 轴对称 B．θ＝5π 6 轴对称 C. 2，π 3 中心对称 D．极点中心对称 解析：选 B ρ＝4sin θ－π 3 可化为ρ＝4cos θ－5π 6 ，可知此曲线是以 2，5π 6 为圆心的 圆，故圆关于θ＝5π 6 对称． 10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点 P与定点 Q 1，π 2 的最近距离等于( ) A. 2－1 B. 5－1 C．1 D. 2 解析：选 A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点 Q的直角坐标为 (0,1)，则 P到 Q的最短距离为点 Q与圆心的距离减去半径，即 2－1. 二、填空题(本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(陕西高考)直线 2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 解析：直线的方程为 2x＝1，圆的方程为 x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径 r＝1，圆 心到直线的距离为 d＝ |2－1| 22＋0 ＝ 1 2 ，设所求的弦长为 l，则 12＝ 1 2 2＋ l 2 2，解得 l＝ 3. 答案： 3 12．点 A的直角坐标为 3 3 2 ， 9 2 ，3 ，则它的球坐标为________． 解析：r＝ 3 3 2 2＋ 9 2 2＋32＝6.cos φ＝3 6 ＝ 1 2 ， ∴φ＝π 3 .tan θ＝ 9 2 3 3 2 ＝ 3，∴θ＝π 3 . ∴它的球坐标为 6，π 3 ， π 3 . 答案： 6，π 3 ， π 3 13．在极坐标系中，点A 2，π 2 关于直线 l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________． 解析：由直线 l的方程可知直线 l过点(1,0)且与极轴垂直，设 A′是点 A关于 l的对称点，则四边形 OBA′A是正方形，∠BOA′＝ π 4 ，且 OA′ ＝2 2， 故 A′的极坐标可以是 2 2，π 4 . 答案： 2 2，π 4 14．已知直线 l的方程为 y＝x＋1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线 l与曲线 C的公共 点的极径 ρ＝________. 解析：直线 l的方程为 y＝x＋1，曲线 C的直角坐标方程为 y2＝4x，故直线 l与曲线 C 的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝ x2＋y2＝ 5. 答案： 5 三、解答题(本大题共 6个小题，满分 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15．(本小题满分 10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x′＝ x 3 ， y′＝ y 2 后的图形． (1)x2－y2＝1；(2)x 2 9 ＋ y2 8 ＝1. 解：由伸缩变换 x′＝ x 3 ， y′＝ y 2 得 x＝3x′， y＝2y′. ① (1)将①代入 x2－y2＝1得 9x′2－4y′2＝1， 因此，经过伸缩变换 x′＝ x 3 ， y′＝ y 2 后， 双曲线 x2－y2＝1变成双曲线 9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示． (2)将①代入 x2 9 ＋ y2 8 ＝ 1 得 x′2＋ y′2 2 ＝ 1，因此，经过伸缩变换 x′＝ x 3 ， y′＝ y 2 后，椭圆 x2 9 ＋ y2 8 ＝1变成椭圆 x′2＋ y′2 2 ＝1，如图(2)所示． 16．(本小题满分 12分)如果点的极坐标为 A 2，π 4 ，B 2，5π 4 ，且△ABC 为等腰直角 三角形，如何求直角顶点 C的极坐标． 解：对于点 A 2，π 4 ，直角坐标为( 2， 2)，点 B 2，5π 4 的直角坐标为(－ 2，－ 2)， 设点 C的直角坐标为(x，y)，由题意得 AC⊥BC，且|AC|＝|BC|， ∴ AC ―→ · BC ―→ ＝0， 即(x－ 2，y－ 2)·(x＋ 2，y＋ 2)＝0， ∴x2＋y2＝4.① 又| AC ―→ |2＝| BC ―→ |2， 于是(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2， ∴y＝－x，代入①，得 x2＝2， 解得 x＝± 2. ∴ x＝ 2， y＝－ 2 或 x＝－ 2， y＝ 2， ∴点 C的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)， ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π 4 或 3π 4 ， ∴点 C的极坐标为 2，3π 4 或 2，7π 4 . 17．(本小题满分 12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线 3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0 相切，求实数 a的值． 解：将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1， 直线的方程为 3x＋4y＋a＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1， 即有 |3×1＋4×0＋a| 32＋42 ＝1，解得 a＝－8或 a＝2. 故 a的值为－8或 2. 18．(本小题满分 12 分)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝ 12cosθ－π 6 上的动点，试求|PQ|的最大值． 解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0，即 x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos θ－π 6 ， ∴ρ2＝12ρ cos θcosπ 6 ＋sin θsinπ 6 ， ∴x2＋y2－6 3x－6y＝0， ∴(x－3 3)2＋(y－3)2＝36. ∴|PQ|max＝6＋6＋ 3 32＋32＝18. 19．(本小题满分 12分)已知线段 BB′＝4，直线 l垂直平分 BB′，交 BB′于点 O， 在属于 l并且以 O 为起点的同一射线上取两点 P、P′，使 OP·OP′＝9，建立适当的坐标 系，求直线 BP与直线 B′P′的交点M的轨迹方程． 解：以 O为原点，BB′为 y轴，l为 x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 B(0,2)，B′(0， －2)，设 P(a,0)(a≠0)，则由 OP·OP′＝9，得 P′(9 a ，0)，直线 BP的方程为 x a ＋ y 2 ＝1，直线 B′P′的方程为 x 9 a ＋ y －2 ＝1，即 lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0. 设M(x，y)，则由 2x＋ay－2a＝0， 2ax－9y－18＝0， 解得 x＝ 18a a2＋9 ， y＝2a2－18 a2＋9 (a为参数)．消去 a，可得 4x2＋9y2＝36(x≠0)， 所以点M的轨迹是焦点在 x轴上，长轴长为 6，短轴长为 4的椭圆(除去点 B，B′)． 20．(本小题满分 12分)已知曲线 C1的方程为 x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把 C1的方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解：(1)将 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， x2＋y2－2y＝0， 解得 x＝1， y＝1 或 x＝0， y＝2. 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2，π 4 ， 2，π 2 .