2013-2014学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷（文科）
2013-2014学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题
1. 数列{an}的通项公式为an=nn+1，则45是数列{an}的第（ ）项．
A.2 B.3 C.4 D.5
2. 在△ABC中，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（ ）
A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:1 D.1:3:2
3. △ABC中，a=3,b=7，c=2，则∠B=( )
A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3
4. 2与22的等比中项为（ ）
A.2 B.4 C.2或−2 D.4或−4
5. 若1a<1b<0，则不等式：①a+b
2中正确的不等式个数（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
6. △ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2+b2<c2，则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形
7. 若不等式(x−a)(x−b)<0的解集为{x|1b，c>d，则a+c>b+d；
②若a>b，c>d，则a−c>b−d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，c>0，则ac>bc．
其中正确命题的序号是（ ）
A.①②④ B.①④ C.①③④ D.②③
9. 在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为( )
A.45 B.90 C.180 D.300
10. 在等比数列{an}中，公比q≠1，a5=p，则a8为（ ）
A.p⋅q7 B.p⋅q2 C.p⋅q4 D.p⋅q3
11. 不等式2x−y−4≤0表示的平面区域是（ ）
A. B.
C. D.
12. △ABC中，A=45∘，C=30∘，c=10，则a等于（ ）
A.10 B.102 C.103 D.1063
13. 在三角形ABC中，如果(a+b+c)(b+c−a)=3bc，那么A等于（ ）
A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘
14. 由首项a1=1，公比q=2确定的等比数列{an}中，当an=64时，序号n等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
15. 若x，y满足x−y+5≥0x+y≥0x≤3，则3x+4y的最小值为（ ）
A.52 B.−10 C.0 D.−3
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16. 若a>b，且1a>1b，则有（ ）
A.a>0，b<0 B.a<0，b>0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
17. △ABC中，若a=52，c=10，A=30∘，则B等于（ ）
A.105∘或15∘ B.15∘ C.60∘或120∘ D.105∘
18. 已知等差数列{an}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝（ ）
A.138 B.135 C.95 D.23
19. 不等式x2−3x−4>0的解集是（ ）
A.{x|−14}
C.{x|x>4} D.⌀
20. 在△ABC中，A=60∘，b=16，面积S=2203，则c=( )
A.106 B.75 C.55 D.49
二、非选择题
三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．
（1）求函数f(x)=x+1x−2，x>2的值域．
（2）已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：1x+1y≥3+22．
如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60∘，∠BCD=135∘ ，求BC的长．
已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝anlog12an，求数列{bn}的前n项和Sn．
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参考答案与试题解析
2013-2014学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
直接由数列的通项公式即可求解n的值．
【解答】
解：∵ 数列{an}的通项公式为an=nn+1，
∴ 由an=nn+1=45，
解得n=4，
故则45是数列{an}的第4项，
故选：C．
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
根据三角形内角和定理，结合A:B:C=1:2:3，算出A=π6，B=π3且C=π2，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=3a，即可得到a:b:c的值．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，A:B:C=1:2:3，
∴ 设A=x，则B=2x，C=3x，
由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=π6
∴ A=π6，B=π3且C=π2，可得△ABC是直角三角形
∵ sinA=ac=12，∴ c=2a，得b=c2−a2=3a
因此，a:b:c=1:3:2
故选：D
3.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
根据余弦定理求cosB的表达式，代入题中的数据算出cosB=12，结合B∈(0, π)即可得到角B的大小．
【解答】
解：∵ △ABC中，a=3,b=7，c=2，
∴ 由余弦定理，可得cosB=a2+c2−b22ac=9+4−72×3×2=12．
又∵ B∈(0, π)，∴ B=π3．
故选：A
4.
【答案】
C
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．
【解答】
解：2与22的等比中项为x，
∴ x2=2×22=4，
∴ x=−2或2，
∴ 2与22的等比中项为−2或2．
故选：C．
5.
【答案】
A
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
根据1a<1b<0，0>a>b，代入验证可得结论．
【解答】
解：∵ 1a<1b<0，∴ 0>a>b．
①a+b<0，ab>0，故①正确；
②∵ 0>a>b，∴ |a|<|b|，即②正确；
③∵ b<0，0>a>b，∴ ab<b2，即③正确；
④∵ 0>a>b，∴ ba+ab>2正确．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
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三角形的形状判断
【解析】
由条件利用余弦定理求得cosC=a2+b2−c22ab<0，故C为钝角，从而判断△ABC的形状．
【解答】
解：△ABC中，由a2+b2<c2可得cosC=a2+b2−c22ab<0，故C为钝角，
故△ABC的形状是钝角三角形，
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
根据一元二次不等式的解法可知，解集的端点1和2为方程(x−a)(x−b)=0的两个根，从而求得a和b的值，即可解得答案．
【解答】
解：∵ 不等式(x−a)(x−b)<0的解集为{x|1b，c>d，由不等式的可加性得a+c>b+d，故①正确；
②由①正确，可知②不正确；
③取4>−2，−1>−3，则4×(−1)>(−2)×(−3)不成立，故③不正确；
④∵ a>b，c>0，∴ ac>bc．故④正确．
综上可知：只有①④正确．
9.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．
【解答】
解：由a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450，
得到a5=90，
则a2+a8=2a5=180．
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
根据等比数列的性质可知，等比数列中任意两项an和am(n>m)之间的关系式为an=am⋅qn−m，从而求得答案．
【解答】
解：根据等比数列的性质可知，等比数列中任意两项an和am(n>m)之间的关系式为an=am⋅qn−m，
∴ a8=a5⋅q8−5=a5⋅q3，
又∵ a5=p，
∴ a8=p⋅q3．
故选：D．
11.
【答案】
D
【考点】
二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】
根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致，故考虑代(0, 0)进行检验即可．
【解答】
解：根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致
故考虑代(0, 0)进行检验，代入2x−y−4得−4<0
不等式2x−y−4≤0表示的平面区域包括原点，
故选：D．
12.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求得a的值．
【解答】
解：△ABC中，由正弦定理可得asinA=csinC，即asin45∘=10sin30∘，解得a=102，
故选B．
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13.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】
利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】
由(a+b+c)(b+c−a)＝3bc，
变形得：(b+c)2−a2＝3bc，
整理得：b2+c2−a2＝bc，
∴ 由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=12，
又A为三角形的内角，
则A＝60∘．
14.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由等比数列的通项公式可得2n−1=64，解方程可得．
【解答】
解：由题意可得an=a1qn−1=2n−1=64，
解得n−1=6，即n=7
故选D
15.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的可行域，平移目标直线可得直线过点A时取最小值，联立直线方程可得交点A的坐标，代入计算可得．
【解答】
解：作出不等式组对应的可行域，（如图阴影）
平移直线可知，当目标函数z=3x+4y经过点A(3, −3)时，取最小值，
故3x+4y的最小值为：3×3+4×(−3)=−3
故选D
16.
【答案】
A
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
利用不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵ 1a>1b，∴ b−aab>0，
又a>b，∴ b−a<0．
∴ ab<0，
∴ a>0，b<0．
故选：A．
17.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
根据三角形中大边对大角可得C>A，再利用正弦定理求得C的值，从而根据三角形内角和公式求得B的值．
【解答】
解：△ABC中，∵ a=52，c=10，A=30∘，c>a，∴ C>A．
由正弦定理可得 asinA=csinC，即 52sin30∘=10sinC，解得sinC=22，∴ C=45∘或135∘．
再根据B=180∘−A−C，可得B=105∘或15∘，
故选A．
18.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
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等差数列的性质
【解析】
本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4＝4，a3+a5＝10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．
【解答】
∵ (a3+a5)−(a2+a4)＝2d＝6，
∴ d＝3，a1＝−4，
∴ S10＝10a1+10×(10−1)d2=95．
19.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
将不等式进行因式分解变形为(x+1)(x−4)>0，求解即可得到答案．
【解答】
解：不等式x2−3x−4>0可形为(x+1)(x−4)>0，
∴ x<−1或x>4，
∴ 不等式x2−3x−4>0的解集是{x|x<−1或x>4}．
故选：B．
20.
【答案】
C
【考点】
三角形求面积
【解析】
利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S=12bcsinA，把sinA，已知的面积和b的值代入求出c的值
【解答】
解：∵ A=60∘，b=16，面积S=2203，
由S=12bcsinA=43c=2203，
得c=55，
故选：C
二、非选择题
【答案】
解：设三个数分别为：3x，4x，5x，(x≠0)，
∵ 最小数加上1，则三数成等比数列，
①当x>0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，
∴ (4x)2=5x(3x+1)，
化简可得x2−5x=0，即x(x−5)=0，
解得x=0（舍去）或x=5，
∴ 原三个数是15，20，25；
②当x<0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，
∴ (4x)2=(5x+1)⋅3x，
化简可得x2−3x=0，即x(x−3)=0，
解得x=0（舍去）或x=3，
又∵ x<0，
∴ x无解．
综合①②可得，原三个数为15，20，25．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
【解析】
根据题意，可以设三个数为3x，4x，5x，根据最小数加上1，则三数成等比数列，对x进行分类讨论，列出关于x的方程，求解即可得到答案．
【解答】
解：设三个数分别为：3x，4x，5x，(x≠0)，
∵ 最小数加上1，则三数成等比数列，
①当x>0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，
∴ (4x)2=5x(3x+1)，
化简可得x2−5x=0，即x(x−5)=0，
解得x=0（舍去）或x=5，
∴ 原三个数是15，20，25；
②当x<0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，
∴ (4x)2=(5x+1)⋅3x，
化简可得x2−3x=0，即x(x−3)=0，
解得x=0（舍去）或x=3，
又∵ x<0，
∴ x无解．
综合①②可得，原三个数为15，20，25．
【答案】
（1）解：当x>2时，x−2>0，则f(x)=x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2+2=4，当且仅当x=3时，取等号，
∴ 函数的值域为[4, +∞)；
（2）证明：∵ x>0，y>0，2x+y=1，
∴ 1x+1y=(1x+1y)(2x+y)=3+2xy+yx≥3+22，当且仅当2xy=yx时，取等号．
【考点】
基本不等式
函数的值域及其求法
【解析】
（1）利用基本不等式，可求函数的值域；
（2）利用“1”的代换，化简利用基本不等式，可得结论．
【解答】
（1）解：当x>2时，x−2>0，则f(x)=x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2+2=4，当且仅当x=3时，取等号，
∴ 函数的值域为[4, +∞)；
（2）证明：∵ x>0，y>0，2x+y=1，
∴ 1x+1y=(1x+1y)(2x+y)=3+2xy+yx≥3+22
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，当且仅当2xy=yx时，取等号．
【答案】
解：在△ABD中，设BD=x，
则BA2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cos∠BDA，
即142=x2+102−2⋅10x⋅cos60∘，
整理得：x2−10x−96=0，
解得：x1=16，x2=−6（舍去）．
由正弦定理得：BCsin∠CDB=BDsin∠BCD，
∴ BC=16sin135∘⋅sin30∘=82．
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．
【解答】
解：在△ABD中，设BD=x，
则BA2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cos∠BDA，
即142=x2+102−2⋅10x⋅cos60∘，
整理得：x2−10x−96=0，
解得：x1=16，x2=−6（舍去）．
由正弦定理得：BCsin∠CDB=BDsin∠BCD，
∴ BC=16sin135∘⋅sin30∘=82．
【答案】
（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵ a3+2是a2，a4的等差中项
∴ 2(a3+2)＝a2+a4
代入a2+a3+a4＝28，得a3＝8
∴ a2+a4＝20
∴ a1q+a1q3=20a3=a1q2=8
∴ q=2a1=2 或q=12a1=32
∵ 数列{an}单调递增
∴ an＝2n
(II)∵ an＝2n
∴ bn=2n⋅log122n=−n⋅2n
∴ −sn＝1×2+2×22+...+n×2n①
∴ −2sn＝1×22+2×23+...+(n−1)×2n+n2n+1②
∴ ①-②得，
sn＝2+22+23+...+2n−n⋅2n+1＝2n+1−n⋅2n+1−2
【考点】
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
【解析】
（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4＝28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；
(II)先求出数列{bn}的通项公式，然后求出−Sn−(−2Sn)，即可求得的前n项和Sn．
【解答】
（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵ a3+2是a2，a4的等差中项
∴ 2(a3+2)＝a2+a4
代入a2+a3+a4＝28，得a3＝8
∴ a2+a4＝20
∴ a1q+a1q3=20a3=a1q2=8
∴ q=2a1=2 或q=12a1=32
∵ 数列{an}单调递增
∴ an＝2n
(II)∵ an＝2n
∴ bn=2n⋅log122n=−n⋅2n
∴ −sn＝1×2+2×22+...+n×2n①
∴ −2sn＝1×22+2×23+...+(n−1)×2n+n2n+1②
∴ ①-②得，
sn＝2+22+23+...+2n−n⋅2n+1＝2n+1−n⋅2n+1−2
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