- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
人教A版高中数学3-1-1方程的根与函数的零点教案新人教版必修1
3.1.1 方程的根与函数的零点(教学设计) 教学目标: 知识与技能:理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定 条件. 过程与方法:零点存在性的判定. 情感、态度、价值观:在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点:零点的概念及存在性的判定. 难点:零点的确定. 一、复习回顾,新课导入 讨论:一元二次方程 )0(02 acbxax 的根与二次函数 )0(2 acbxaxy 数的图象有什么关系? 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数,分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种 类型. 方程 0322 xx 与函数 322 xxy ; 方程 0122 xx 与函数 122 xxy ; 方程 0322 xx 与函数 322 xxy ; 再请同学们解方程,并分别画出三个函数的草图. 一元二次方程 )0(02 acbxax 有两不同根就是相应的二次函数 02 cbxaxy 的图象与 x 轴有 两个不同交点,且其横坐标就是根; 一元二次方程 )0(02 acbxax 有两个重根就是相应的二次函数 02 cbxaxy 的图象与 x 轴一 个交点,且其横坐标就是根; 一元二次方程 )0(02 acbxax 无实数根就是相应的二次函数 02 cbxaxy 的图象与 x 轴没有 交点; 总之,一元二次方程 )0(02 acbxax 的根就是相应的二次函数 02 cbxaxy 的图象与 x 轴的 交点的横坐标. 二、师生互动,新课讲解: 1、函数的零点 对于函数 )(xfy ,我们把使 0)( xf 的实数 x 叫做函数 )(xfy 的零点(zero point). 显然,函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 的实数根,也就是函数 )(xfy 的图象与 x 轴的交点的横坐 标. 方程 0)( xf 有实数根函数 )(xfy 的图象与 x 轴有交点函数 )(xfy 有零点. 2、函数零点的判定: 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点,也就是研究函数的图象与 x 轴的交点情况。 问题 1: 如果把函数比作一部电影, 那么函数的零点就像是电影的一个瞬间,一个镜头。有时我们会忽略一些 镜头,但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(如图,第一组第一行两图,第二组第二行两图), 哪一组能说明他的行程一定曾渡过河? 第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河,而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。 问题 2:将河流抽象成 x 轴,将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴怎样的位置关系时,AB 间的 一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点? A、B 两点在 x 轴的两侧。 问题 3: A、B 与 x 轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示? A、B 两点在 x 轴的两侧。可以用 f(a)·f(b)<0 来表示。 问题 4: 满足条件的函数图象与 x 轴的交点一定在(a,b)内吗?即函数的零点一定在(a,b )内吗? 一定在区间(a,b)上。若交点不在(a,b)上,则它不是函数图象。 通过上述探究,让学生自己概括出零点存在性定理: 一般地,我们有: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. ⑴函数零点的意义: 函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 实数根,亦即函数 )(xfy 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即:方程 0)( xf 有实数根 函数 )(xfy 的图象与 x 轴有交点 函数 )(xfy 有零点. ⑵函数零点的求法:求函数 )(xfy 的零点: ①(代数法)求方程 0)( xf 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零 点. ⑶二次函数的零点: )0(2 acbxaxy . ① △>0,方程 02 cbxax 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. ② △=0,方程 02 cbxax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个 二重零点或二阶零点. ③ △<0,方程 02 cbxax 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 课堂练习:(课本 P88 练习 NO:1) 例 1: 观察下表,分析函数 5( ) 3 6 1f x x x 在定义域内是否存在零点? -2 -1 0 1 2 -109 -10 -1 8 107 分析:函数 图象是连续不断的,又因为 ,所以在区间(0,1)上必存在零点。 我们也可以通过计算机作图(如图)帮助了解零点大致的情况。 变式训练 1: (1)已知函数 f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表,则函数在哪几个区间内有零点?为什么? x 1 2 3 4 6 10 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 (2)函数 f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5,6]上是否存在零点?若存在,有几个? (3)观察下面函数 )(xfy 的图象 ○1 在区间 ],[ ba 上______(有/无)零点; )(af · )(bf _____0(<或>). ○2 在区间 ],[ cb 上______(有/无)零点; )(bf · )(cf _____0(<或>). ○3 在区 间 ],[ dc 上______(有/无)零点; )(cf · )(df _____0(<或>) 例 2(课本 P88 例 1): 求函数 ( ) ln 2 6f x x x 的零点个数. 分析:用计算器或计算机作出 x, 的对应值表和图象。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 由表可知,f (2)<0,f (3)>0,则 ,这说明函数 在区间(2,3)内有零点。结合函数 的 单调性,进而说明 零点是只有唯一一个. 变式训练 2:利用函数图象判断下列方程有几个根 (1)2x(x-2)=-3 (2) 0xe x 例 3:已知函数 13)( 3 xxxf ,问该函数在区间 )1,2( 内是否有零点? 解:因为 01)2( f , 03)1( f ,所以 0)1()2( ff ,又函数 13)( 3 xxxf 是连续的曲线, 所以 )(xf 在区间 )1,2( 内有零点. 变式训练 3:函数 xxxf 2ln)( 的零点所在的大致区间是( B ) (A) )2,1( (B) )3,2( (C) )3,(e (D) ),( e 三、课堂小结,巩固反思: 如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,那么,函 数 )(xfy 在区间 ),( ba 内至少有一个零点,即相应的方程 0)( xf 在区间 ),( ba 内至少有一个实数解. 会用代数法或几何法(特别转化为两条曲线的交点)来判断零点的个数。 四、布置作业: A 组: 1. (课本 P92 习题 3.1 A 组 NO:2) 2. 求下列函数的零点: (1) 452 xxy ;(2) 202 xxy ;(3) )13)(1( 2 xxxy ; (4) )23)(2()( 22 xxxxf . 3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐 标,画出各自的简图,并指出函数值在哪些区间上大于零,哪些区间上小 于零: (1) 123 1 2 xxy ;(2) 142 2 xxy . 4. 已知 124)1(2)( 2 mmxxmxf : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) 92 xy ;(2) 432 xxy ;(3) 1242 xxy 6.设函数 ( ) ln 1f x x x .求函数 )(xf 的零 点个数。 B 组: 1、函数 f(x)=x+1 x 的零点个数为( A ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.若 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( ) A.若 f(a)f(b) <0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 答案 D 3.方程 2x+x=0 在下列哪个区间内有实数根( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2 ) D.(-1,0) 答案 D 4.若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下列说法中错误的是( ) A.函数 f(x) 在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 答案 C 5.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 答案 B 解析 f(3)=log 33-8+2×3=-1<0, f(4)=log34-8+2×4=log34>0. 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以其零点一定位于区间(3,4).查看更多