人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点

人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点

第三章 函数的应用 一、课程要求 本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模 型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认 识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数 零点与方程根的联系. 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初 步体会算法思想. 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆 炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 . 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知 识解决实际问题的意识. 二、 编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图 象零点与方程根的关系）. 2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还 渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法. 3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学 习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示 logx aa x a与 随 的不同取值而动态变化的 规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率. 4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、 收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养. 5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用 价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 . 三、教学内容与课时的安排建议 全章教学时间约需 9 课时. 3.1 函数与方程 3 课时 3.2 函数模型及其应用 4 课时 实习作业 1 课时 小结 1 课时 §3.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标 1． 知识与技能 ①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的 判定条件． ②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2． 过程与方法 ①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个 区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 3． 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 三、学法与教学用具 1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本 节课的教学目标。 2． 教学用具：投影仪。 四、教学设想 (一)创设情景，揭示课题 1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出） ①方程 0322  xx 与函数 322  xxy ②方程 0122  xx 与函数 122  xxy ③方程 0322  xx 与函数 322  xxy 1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系，引出零点的概 念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ （二） 互动交流 研讨新知 函数零点的概念： 对于函数 ))(( Dxxfy  ，把使 0)( xf 成立的实数 x 叫做函数 ))(( Dxxfy  的零点． 函数零点的意义： 函数 )(xfy  的零点就是方程 0)( xf 实数根，亦即函数 )(xfy  的图象与 x 轴交点的横坐标． 即： 方程 0)( xf 有实数根  函数 )(xfy  的图象与 x 轴有交点  函数 )(xfy  有零点． 函数零点的求法： 求函数 )(xfy  的零点： ①（代数法）求方程 0)( xf 的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy  的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点． 1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法． 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法； ②几何法． 2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 二次函数的零点： 二次函数 )0(2  acbxaxy ． （１）△＞０，方程 02  cbxax 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数 有两个零点． （２）△＝０，方程 02  cbxax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点， 二次函数有一个二重零点或二阶零点． （３）△＜０，方程 02  cbxax 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点． 3．零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数 32)( 2  xxxf 的图象： ① 在区间 ]1,2[ 上有零点______；  )2(f _______， )1(f _______, )2(f · )1(f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间 ]4,2[ 上有零点______； )2(f · )4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数 )(xfy  的图象 ① 在区间 ],[ ba 上______(有/无)零点； )(af · )(bf _____0（＜或＞＝）． ② 在区间 ],[ cb 上______(有/无)零点； )(bf · )(cf _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间 ],[ dc 上______(有/无)零点； )(cf · )(df _____0（＜或＞＝）． 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考． 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间 的关系． 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． （三）、巩固深化，发展思维 1．学生在教师指导下完成下列例题 例 1、求函数 f(x)=㏑ x＋2x －6 的零点个数。 问题： （1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ （2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 例 2．求函数 22 23  xxxy ，并画出它的大致图象． 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对 函数有一个零点形成直观的认识． 生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断 零点的个数． 2．P88 页练习第二题的（1）、（2）小题 （四）、归纳整理，整体认识 1． 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些； 2． 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。 （五）、布置作业 P88 页练习第二题的（3）、（4）小题。