【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

‎【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程 例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎ 【变式探究】[2015·全国卷] 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．‎ ‎【变式探究】 ‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C：(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l与C相交于A，B两点．‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；‎ ‎(2)设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．‎ ‎【解析】：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，‎ 则直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 曲线C的普通方程为y＝x2－6.‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将代入y＝x2－6，得t2－2 t－24＝0，‎ ‎∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2 ，‎ ‎∴＝，即点M所对应的参数为，‎ ‎∴点M的直角坐标为(，)，‎ ‎∴点M的极坐标为(，)． : xx ]‎ ‎【命题热点突破二】简单曲线的参数方程 例2、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎ ‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以.‎ ‎【变式探究】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)设l与圆(θ为参数)相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎【解析】：(1)直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4中，整理得t2＋(＋1)t－2＝0.①‎ 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，‎ 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎【特别提醒】直线的参数方程(其中t为参数，α为直线的倾斜角)中t的几何意义是点P(x0，y0)到参数t对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中t的系数是否符合上述参数方程．‎ ‎【变式探究】‎ 已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合 例3、【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【变式探究】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(4 ，)，曲线C的极坐标方程为ρ2＋4 ρsin θ＝4.‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最大值．‎ ‎【解析】：(1)x＝ρcos θ＝6，y＝ρsin θ＝2 ，‎ ‎∴点P的直角坐标为(6，2 )．‎ 由ρ2＋4 ρsin θ＝4得x2＋y2＋4 y＝4，即x2＋(y＋2 )2＝16，‎ ‎∴曲线C的普通方程为x2＋(y＋2 )2＝16.‎ ‎(2)由l：可得直线l的普通方程为x－y－5＝0，‎ 由曲线C的普通方程x2＋(y＋2 )2＝16可设点Q(4cos θ，4sin θ－2 )，‎ ‎∴则点M的坐标为(2cos θ＋3，2sin θ)，‎ ‎∴点M到直线l的距离d＝＝，‎ 当cos(θ＋)＝－1时，d取得最大值2＋，‎ ‎∴点M到直线l距离的最大值为2＋.‎ ‎【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题．‎ ‎【变式探究】‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知圆C的参数方程是(φ为参数)，直线l的极坐标方程是2ρcos θ＋ρsin θ＝6.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值与最小值．‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2[ : xx ]‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1[ :学 ]‎ ‎ ‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为[ :学 ]‎ 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 ‎[ :学 ]‎ 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ ‎ ‎ ‎1．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.‎ ‎2．(2015·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．‎ ‎【答案】　1‎ ‎【解析】　在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.‎ ‎3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ ‎【答案】　6‎ ‎【解析】　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6. 学 ‎ ‎4．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎ 5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【解析】　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎ ‎ ‎7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ ‎【解析】　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0. ‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎1. 【2014高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2014高考北京卷理第3题】曲线，（为参数）的对称中心（ ） ‎ A．在直线上 B．在直线上 ‎ C．在直线上 D．在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.‎ ‎3. 【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.学 ‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5.【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据，得：‎ 解得，选A.‎ ‎6. 【2014重庆高考理第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 7. 【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1. ‎ ‎8. 【2014天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为 ，代入圆的方程可得．‎ ‎9.【2014高考福建理第21（2）题】 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ‎ ，（为常数）.‎ ‎ （I）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）,;（II）‎ ‎ 10. 【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. ‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1） （t为参数）；（2） .‎ ‎ 12. 【2014高考全国1第23题】已知曲线，直线：（为参数）. ‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； ‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．‎ ‎（II）曲线C上任意一点到的距离为．则 ‎．其中为锐角，且．‎ 当时，取到最大值，最大值为．‎ 当时，取到最小值，最小值为．‎ ‎13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）是参数，；（Ⅱ）‎ ‎ 14. 【2014高考上海理 】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，，所以所求距离为.‎ ‎（2013·新课标I理）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）因为，消去参数，得，即 ‎，‎ 故极坐标方程为；‎ ‎（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.‎ ‎ ‎