【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形课时作业

三角恒等变换与解三角形 ‎1．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】D ‎【解析】因为tan 120°＝＝－，‎ 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.‎ ‎2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A＝，则该三角形为(　　)‎ A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由cos A＝，即＝，‎ 化简得c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．4＋ D．5＋ ‎【答案】D ‎【解析】在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，‎ 则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，‎ 即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，‎ ‎∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，‎ 由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，‎ 即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，‎ 又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，‎ ‎∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，‎ ‎∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ ‎4．已知α为锐角，则2tan α＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C. D. ‎【答案】D ‎【解析】方法一　由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°，‎ ‎∵α为锐角，∴tan α>0，‎ ‎∴2tan α＋＝2tan α＋ ‎＝≥×2＝，‎ 当且仅当tan α＝，即tan α＝，α＝时等号成立．故选D.‎ 方法二　∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0，‎ ‎∴2tan α＋＝＋ ‎＝＝ ‎＝≥×2＝，‎ 当且仅当＝，‎ 即α＝时等号成立．故选D.‎ ‎5．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于(　　)‎ A．－或0 B.或0‎ C．－ D. ‎【答案】A ‎【解析】因为2sin θ＝1－cos θ，‎ 所以4sin cos ＝1－＝2sin2，‎ 解得sin ＝0或2cos ＝sin ，即tan ＝0或2，‎ 又tan θ＝，‎ 当tan ＝0时，tan θ＝0；‎ 当tan ＝2时，tan θ＝－.‎ ‎6．在锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论：‎ ‎①sin A＝2sin Bsin C；‎ ‎②tan B＋tan C＝2tan Btan C；‎ ‎③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；‎ ‎④tan Atan Btan C有最小值8.‎ 其中正确结论的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由S＝＝absin C，得a＝2bsin C，‎ 又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正确；‎ 由sin A＝2sin Bsin C，‎ 得sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，‎ 两边同时除以cos Bcos C，‎ 可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正确；‎ 由tan(A＋B)＝，‎ 且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，‎ 所以＝－tan C，‎ 整理移项得tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，‎ 故③正确；‎ 由tan B＋tan C＝2tan Btan C，‎ tan A＝－tan(B＋C)＝，‎ 且tan A，tan B，tan C都是正数，‎ 得tan Atan Btan C＝·tan Btan C ‎＝·tan Btan C＝，‎ 设m＝tan Btan C－1，则m>0，‎ tan Atan Btan C＝ ‎＝2＋4≥4＋4＝8，‎ 当且仅当m＝tan Btan C－1＝1，‎ 即tan Btan C＝2时取“＝”，‎ 此时tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4，‎ 所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正确，故选D.‎ ‎7．已知sin＋cosα＝－，则cos＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　C ‎8．已知sin＝，则cos的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－.‎ ‎【答案】　D ‎9．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A等于(　　)‎ A. B. C. D.或 ‎【解析】由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝或.又a0，∴cosB＝.‎ ‎(1)由cosB＝，得sinB＝，‎ ‎∵sinA＝，∴＝＝.‎ 又∵a＋b＝10，∴a＝4.‎ ‎(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝3，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)，‎ ‎∴S＝acsinB＝15.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝2c；‎ ‎(2)求cosC的最小值．‎ ‎(2)由(1)知c＝，‎ 所以cosC＝＝ ‎＝－≥，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故cosC的最小值为.‎ ‎18．设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________．‎ ‎【答案】－　 ‎【解析】∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，‎ ‎∴a∶b∶c＝2∶3∶4.‎ 令a＝2t，b＝3t，c＝4t，‎ 则cos C＝＝－，‎ ‎∴sin C＝.‎ 当BC＝1时，AC＝，‎ ‎∴S△ABC＝×1××＝.‎ ‎19．如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE＝，则BE2＝________.‎ ‎【答案】＋ ‎【解析】如图，连接CD，由题设，有∠BDC＝2A，‎ 所以＝＝，‎ 故CD＝.‎ 又DE＝CDsin A＝＝，‎ 所以cos A＝，而A∈(0，π)，故A＝，‎ 因此△ADE为等腰直角三角形，‎ 所以AE＝DE＝.‎ 在△ABC中，∠ACB＝75°，所以＝，‎ 故AB＝＋1，‎ 在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2×(＋1)××＝＋.‎ ‎20．已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积．‎ 解　(1)f(x)＝a·b＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ ‎＝sin(2x＋θ)，‎ ‎∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴θ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又|θ|<，∴θ＝.‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵f(A)＝sin＝，‎ ‎∴sin＝1.‎ ‎∵A∈(0，π)，‎ ‎∴2A＋∈，‎ ‎∴2A＋＝，‎ ‎∴A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ‎＝25＋12－2×5×2cos ＝7，‎ ‎∴a＝.‎ 设△ABC外接圆的半径为R，‎ 由正弦定理得＝2R＝＝2，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.‎ ‎21．如图，在△ABC中，D，F分别为BC，AC的中点，AD⊥BF，若sin2C＝sin∠BAC·sin∠ABC，则cos C＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，‎ 由sin2C＝sin∠BAC·sin∠ABC可得，c2＝ab，‎ 由AD⊥BF可得，‎ ·＝·＝0，‎ 整理可得，2－2－·＝0，‎ 即b2－c2－bccos∠BAC＝0，‎ 即2b2－4c2－2bccos∠BAC＝0，‎ ‎2b2－4c2－(b2＋c2－a2)＝0，‎ 即a2＋b2－c2＝4c2＝ab，‎ 所以cos C＝＝.‎ ‎22．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.‎ ‎(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；‎ ‎(2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．‎ ‎(2)设∠BAD＝α.‎ 在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.‎ 由正弦定理得＝，解得sin α＝.‎ 因为AD>BD，所以α为锐角，‎ 从而cos α＝＝.‎ 因此sin∠ADC＝sin ‎＝sin αcos ＋cos αsin ‎＝＝.‎ 所以△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC ‎＝×6×2×＝(1＋)． ‎