四川省内江市2020届高三3月网络自测数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 内江市高中2020届自测试题 数学(理工类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页.全卷满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,根据交集定义即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.‎ ‎2. 设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得在方向上的投影.‎ ‎【详解】在方向上的投影为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.‎ ‎3. 已知复数，则复数的虚部为　　‎ A 1 B. C. i D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.‎ ‎【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.‎ ‎4. 已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A. - B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可知, ,求出,再由即可求解.‎ ‎【详解】∵数列为等差数列，，‎ ‎∴由等差数列的性质可得,，‎ 所以，即,‎ - 24 -‎ 因为,所以，‎ ‎∴‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.‎ ‎5. 已知,,,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,,由得:,即可求得答案.‎ ‎【详解】 根据图像可知:‎ 又 ,‎ 根据图像由 ‎ ‎ 综上所述,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.‎ ‎6. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：‎ - 24 -‎ 针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）‎ A. 获得A等级的人数减少了 B. 获得B等级的人数增加了1.5倍 C. 获得D等级的人数减少了一半 D. 获得E等级的人数相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：‎ 年份 A B C D E ‎2016‎ ‎2018‎ 由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.‎ ‎7. 的展开式中项的系数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 将化简为:,写出二项展开式的通项公式,即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ 二项展开式的通项公式 ‎ 中不含项,无需求解.‎ ‎ 中含项,即当时 中含项,即当时 ‎ 的展开式中项 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.‎ ‎8. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式、辅助角公式化简，求得向左平移个单位后的的解析式，根据为偶函数，求得的表达式，由此求得的最小值.‎ ‎【详解】，向左平移，得，又为偶函数，令，得，由于，，∴‎ - 24 -‎ 最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.‎ ‎9. 数列:称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数时,输出结果恰好为“兔子数列”的第项,则图中空白处应填入（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列:可得数列,.结合程序框图即可得出答案.‎ ‎【详解】 由数列:‎ - 24 -‎ ‎ 可得数列,‎ 结合程序框图可得空白处为:‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原为原图，并通过补形的方法，求得该几何体的外接球的表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示，且两两垂直，所以三棱锥外接球，也即长方体的外接球，长方体的体对角线长为，是外接球的半径.‎ 所以外接球的表面积为.‎ - 24 -‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.‎ ‎11. 已知双曲线:的右焦点为,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出其几何图像,设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且则,,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证,根据双曲线的渐近线为,则,即可求得离心率范围.‎ ‎【详解】根据题意画出其几何图像:‎ - 24 -‎ 设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且 ‎ ,‎ 若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证 ‎,则 ‎ ‎ 根据双曲线的渐近线为,则 ‎ ‎ ‎ 根据双曲线的离心率 ‎ ‎ ‎ ‎ 根据双曲线的离心率 ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎12. 已知函数,,其中,若,,使得成立,则( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得，通过推理可得到，，由题意可知，，列出不等式计算即可.‎ ‎【详解】由题可得，则，故，‎ 则，故，，‎ 因为，，使得成立，即，‎ 故，解得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查逻辑思维能力和转化思想，考查计算能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y=250+4x,当施化肥量为50 kg时,预计小麦产量为_____kg.‎ ‎【答案】450‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x＝50代入回归方程，计算即可得到结论．‎ ‎【详解】根据回归方程为y=250+4x，当施化肥量为50kg，‎ 即x＝50kg时,y＝250+4x＝250+200＝450kg 故答案为450‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎14. 函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】函数的图象在处的切线与直线垂直,‎ 函数的图象在的切线斜率 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎15. 已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为齐次方程的形式，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】由两边平方得，所以，分子分母同时除以得，，，.所以.‎ 故答案为：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查二倍角的正切公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16. 已知梯形中，，，，若平面内一点满足：，，其中，，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断点的轨迹，利用三点共线的方法得到，结合图象求得的最小值，也即是的最小值.‎ ‎【详解】设是中点，连接，在梯形中，，，，所以四边形和四边形都是菱形，且三角形、三角形、三角形都是等边三角形.在菱形中，.‎ 由可知，的轨迹是以为直径的圆，又，，故点只能在劣弧上运动（不含两点.）设与交于点，，则，由于三点共线，所以.而，结合图象可知，当运动至距离最远时，最小，又因为，故点与点重合时最小，此时，所以.也即是的最小值为.‎ 故答案：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用向量求解几何最值问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、简答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知数列满足,.‎ ‎（1）证明:数列为等比数列;‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,可得,根据等比数列概念即可得出答案;‎ ‎（2）由（1）知,可得,采用分组求和方法,即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1） ‎ - 24 -‎ ‎ ，‎ 则，又，‎ 是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 故其前项和为:.‎ ‎ 数列的前项和为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前项和公式和等差数列前项和公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎18. 《中国诗词大会》是由CCTV-10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为,,且两人各道题是否回答正确均相互独立.‎ ‎（1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;‎ ‎（2）比赛进行中,攻擂者暂时以领先,设两人共继续抢答了道题比赛结束,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）答案见解析 ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件,发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;‎ ‎（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为,.根据比赛规则,的所有可能取值分别为,求出,和,即可求得随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件.‎ 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,‎ ‎ ‎ ‎ 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:.‎ ‎（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为,‎ 根据比赛规则,的所有可能取值分别为,‎ 则 的分布列为:‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.‎ ‎19. 如图，在多面体中，平面，平面平面，‎ - 24 -‎ 是边长为2的等边三角形，，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.‎ ‎【详解】证明：（1）取中点，连结，‎ ‎∵，∴， ，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ - 24 -‎ 又，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵是等边三角形，∴，‎ ‎∵平面，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ 解：（2）由（1）得平面，∴，‎ 又，‎ 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 则，取，得，‎ 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，‎ 则．‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.‎ ‎20. 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）离心率为,可得,的面积为,可得,根据椭圆：,可得,即可求得椭圆的方程;‎ ‎（2）设直线:,联立椭圆方程和直线方程,通过韦达定理即可求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1） 离心率为,可得┄①‎ 又的面积为,可得┄②‎ 根据椭圆：,可得┄③‎ 联立①②③解得:,，‎ ‎ 椭圆方程为 - 24 -‎ ‎（2）设直线:，，，‎ 由 ,消掉得:，‎ 根据韦达定理:,,，‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 故，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得（舍）或，‎ ‎ 直线:.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.‎ ‎21. 已知函数 ‎(1)若,求的极值;‎ ‎(2)若,都有成立,求k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据，求出的取值范围即可．‎ ‎【详解】（1）时，，，令，解得，‎ ‎∴时，函数取得极小值，；无极大值；‎ ‎（2），‎ ‎①当时，，‎ 所以，当时，，当时，，‎ 则在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ 所以在区间上的最小值为，且，符合题意；‎ ‎②当时，令，得或，‎ 所以，当时，，在区间上，为增函数，‎ 所以在区间上的的最小值为，且，符合题意；‎ 当时，，‎ 当时，，在区间上是减函数，‎ 所以，不满足对任意的，恒成立，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、极值与最值的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为,圆的直角坐标方程为.‎ - 24 -‎ ‎（1）求与在第一象限的交点的极坐标;‎ ‎（2）若点,分别为圆,上位于第一条限的点,且,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标互化公式,由圆:,可得极坐标方程为,即可求得与在第一象限的交点的极坐标;‎ ‎（2）设点的极坐标为,在中,由余弦定理求得,结合、都要在第一象限,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）圆:,其极坐标方程为,‎ 联立:得,,‎ ‎ 所求点的极坐标为 ‎（2）设点的极坐标为 在中,由余弦定理得:‎ ‎,‎ 又、都要在第一象限,‎ ‎,,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式 ,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等.‎ - 24 -‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）若对任意恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎（2）记函数的最小值为,若,且,证明:.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设,画出其函数图像,当恒成立时,结合函数图像,即可求得实数取值范围;‎ ‎（2）,当且仅当时等号成立,得,故,原不等式等价于,由柯西不等式即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）设 ‎ 恒成立 ‎ 其图像如图所示:‎ 故，‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎，即，‎ 原不等式等价于,由柯西不等式得:‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当,,时等号成立，‎ ‎ 成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,‎ - 24 -‎ - 24 -‎