四川省内江市市中区天立学校2019-2020学年高一下学期第三次月考数学试题

四川省内江市市中区天立学校2019-2020学年高一下学期第三次月考数学试题

内江天立高中第二学期模拟考试 高一年级 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ ‎1．1和4的等差中项和等比中项分别是（ ）‎ A．5，2 B．5，－‎2 ‎C．，4 D．，‎ ‎2．平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）‎ A． B． C．19 D．‎ ‎3．已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A．- B． C． D．‎ ‎4．设，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．中，角所对应的边分别为，表示三角形的面积，且满足，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎7．等差数列的前项和为，若，，则（ ）.‎ A．39 B．‎29 ‎C．28 D．24‎ ‎8．在中，角所对应的边分别为，且满足，则的形状为（ ）‎ A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎9．如图，在中，，，点为的中点，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）‎ A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 ‎11．如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在锐角中，，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知向量，则在方向上的投影为______．‎ ‎14．已知数列的前项和，则______‎ ‎15．（5分）的内角的对边分别为，若其外接圆半径，，，则__________．‎ ‎16．已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知平面向量.‎ ‎(1)若,求x的值;‎ ‎(2)若,求与的夹角的余弦值.‎ ‎18．等比数列的各项均为正数，且,.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列前项和.‎ ‎19．如图，在平面四边形中，，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎20．（12分）已知数列满足，．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（I）当时，求的值域；‎ ‎（II）已知的内角的对边分别为，，，求的面积．‎ ‎22．已知各项均为正数的数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设.且数列的前项为，求证：.‎ 参考答案 ‎1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．A8．A 由正弦定理得，则，‎ 因此在中，或，即或.‎ ‎9．A.‎ ‎10．C解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,‎ ‎∴,解得,,‎ ‎∴小满日影长为（尺）.‎ ‎11．D详解：设,则,,‎ 在中,由余弦定理知,‎ 解得米,(舍去).故铁塔的高度为‎600米.‎ ‎12．D在锐角中，‎ 可得，，‎ 所以由正弦定理可知 ‎，故选D.‎ ‎13．在方向上的投影为 ‎ ‎14．当时，，当时，，‎ 因为，不适合上式，所以.‎ ‎15．由得，由得，则，．‎ ‎16．分析：先判断，可得，，根据等差数列的通项公式可得结果.‎ 详解：是递增数列，，，‎ ‎，‎ ‎，又成立，‎ 由是递减数列，，同理可得，‎ ‎，，是首项为，公差为的等差数列，故，故答案为.‎ ‎17．(1)平面向量，若,则，解得；‎ ‎(2)若,则，即,解得，∴，∴与的夹角的余弦值为.‎ ‎18．（1）设等比数列的公比为，则，由题意得，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2），，‎ 所以，数列是等差数列，首项为，‎ 设数列前项和为，则.‎ ‎19．【详解】（1）因为，，‎ 所以 ‎ 在中，，所以 ‎（2）在中，由正弦定理得，即，解得 因为，，所以， ‎ 在中，，根据余弦定理，‎ 解得 ‎20．【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴＝，‎ 要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．‎ ‎∴的范围为:．‎ ‎21．解析：（I）由题意知，由．‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ ‎（II）∵，∴，∵，∴，‎ ‎∵，∴由余弦定理可得，∴，∴．‎ ‎22．（1）由题意得，两式作差得，‎ 又数列各项均为正数，，即，‎ 当时，有，得，则，‎ 故数列为首项为2公差为2的等差数列，.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，从而左边不等式得证；‎ 又关于递减，①.‎ 而 ‎②‎ 结合①②，，从而右边不等式得证；综上，不等式得证.‎