2018-2019学年四川省内江市高二上学期期末检测数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（　　）‎ A． B． C． D．1，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间坐标的对称性进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数， ‎ 即点A关于坐标原点对称的点的坐标为， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（　　）‎ A．45 B．54 C．90 D．126‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．‎ ‎【详解】‎ 解：A种型号产品所占的比例为，‎ ‎，故样本容量n=90．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．‎ ‎3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．‎ ‎【详解】‎ 根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，‎ 故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．‎ ‎4．如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．32 B． C．48 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．‎ ‎【详解】‎ 解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，‎ 所以该四棱锥的斜高为；‎ 所以该四棱锥的侧面积为 ‎4××4×2=16，‎ 底面积为4×4=16，‎ 所以几何体的表面积为16+16．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．‎ ‎5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角就是直线B1C和BC1的夹角，由此求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵AD1∥BC1，‎ ‎∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角 就是直线B1C和BC1的夹角，‎ ‎∵四边形BCC1B1是正方形，‎ ‎∴直线B1C和BC1垂直，‎ ‎∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角为90°．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎6．已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c则a∥c；‎ ‎②若a∥b，b⊥c则a⊥c；‎ ‎③若a∥β，b⊂β，则a∥b；‎ ‎④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①利用正方体的棱的位置关系即可得出； ‎ ‎②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c； ‎ ‎③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线； ‎ ‎④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c 可以平行、相交或为异面直线，故不正确； ‎ ‎②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确； ‎ ‎③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确； ‎ ‎④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确． ‎ 综上可知：只有②正确． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．‎ ‎7．直线关于直线对称的直线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D． ‎ 解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线选答案D ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．‎ ‎8．已知直线 ，直线 ，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：‎ 因式概率为，选A．‎ 考点：古典概型概率 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎（1）列举法．‎ ‎（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．‎ ‎（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．‎ ‎（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．‎ ‎9．若变量x，y满足，则的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，根据图形知是阴影内的点P（x，y）与点A（-1，-1）的直线的斜率k，求出k的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的平面区域，‎ 如图阴影部分所示；‎ 则可看成过阴影内的点P（x，y）与点A（-1，-1）连线的直线的斜率k，‎ 易知点P（0，2），点P′（0，-3），‎ 则kPA=3，kP′A=-2，则-2≤k≤3，‎ 即的取值范围是[-2，3]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划问题，也考查了特定目标函数的几何意义，是中档题．‎ ‎10．与圆和圆都相切的直线条数是（ ）‎ A．3 B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为(−2,2),半径为1, 圆心是(2,5)，半径为4‎ 故两圆相外切 ‎∴与圆和都相切的直线共有3条。‎ 故选：C.‎ ‎11．在三棱柱中，已知, ，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中， ，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，‎ 所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中， ，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.‎ 考点：组合体的结构特征；球的体积公式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎12．已知P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线（A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，由于四边形PACB面积等于PA，由于PA=，故求解PC最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ 圆C：x2+y2-2x-2y+1=0 即，‎ 表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆．‎ 由于四边形PACB面积等于2×PA×AC=PA，而PA=，‎ 故当PC最小时，四边形PACB面积最小．‎ 又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+8=0的距离d，而=3，‎ 故四边形PACB面积的最小的最小值为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断故当PC最小时，四边形 PACB面积最小，是解题的关键．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．‎ ‎【答案】5 8 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图中的数据，得：‎ ‎∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；‎ 又∵乙组数据的平均数为16.8，‎ ‎∴16.8，‎ 解得：y＝8；‎ 综上，x、y的值分别为5、8．‎ 故答案为：(1). 5 (2). 8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．‎ ‎14．执行如下图所示的程序框图，若输入，则输出的值为____． ‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 根据题意，本程序框图为求y的最值，‎ 循环体为“直到型”循环结构，输入x=3，‎ 第一次循环：y=2×3+1=7，|7−3|=4，x=7；‎ 第二次循环：y=2×7+1=15，|15−7|=8>7，‎ ‎∴结束循环，输出y=15.‎ 故答案为：15.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】（x-2）2+y2=8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2） ‎ 设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0）， ‎ 分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP， ‎ 此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8， ‎ 则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8， ‎ 故答案为：（x-2）2+y2=8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．‎ ‎16．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为B1C1的中点．分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE∥平面ANO，据此确定点M的轨迹进一步求解其长度即可.‎ ‎【详解】‎ 设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为B1C1的中点．‎ 分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，‎ 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE，‎ AO，AN⊂平面ANO，‎ ‎∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，‎ ‎∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，‎ ‎∴平面A1DE∥平面ANO，‎ 所以NO∥平面A1DE，‎ ‎∴直线NO⊂平面A1DE，‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO．‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO=2．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足AM∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；‎ ‎（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎【答案】（1）2x+y+2=0；（2）3x+y=0或x+y-2=0．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案； ‎ ‎（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）联立，解得，‎ ‎∴两直线的焦点坐标为（-2，2），‎ 直线x-2y-1=0斜率为，则所求直线的斜率为-2．‎ ‎∴直线方程为y-2=-2（x+2），‎ 即2x+y+2=0；‎ ‎（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；‎ 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．‎ 是求直线方程为x+y=2．‎ ‎∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：‎ ‎（1）DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）BC1⊥平面AB1C．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C． ‎ ‎（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC．‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C．‎ ‎（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AA1⊥底面ABC 所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．‎ 因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎19．已知一圆经过点，,且它的圆心在直线上.‎ ‎（I）求此圆的方程；‎ ‎（II）若点为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）（x﹣）2+（y﹣2）2=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程 试题解析：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有，解得：a=2．‎ 于是圆N的圆心N（2，4），半径 所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（6分）‎ ‎（2）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得：． 又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，化简得：‎ 故所求的轨迹方程为 考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系 ‎20．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎ ‎2007 ‎ ‎2008 ‎ ‎2009 ‎ ‎2010 ‎ ‎2011 ‎ ‎2012 ‎ ‎2013 ‎ 年份代号t ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ 人均纯收入y ‎ ‎2.9 ‎ ‎3.3 ‎ ‎3.6 ‎ ‎4.4 ‎ ‎4.8 ‎ ‎5.2 ‎ ‎5.9 ‎ ‎ ‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）；（2）在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查线性回归方程、平均数等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用平均数的计算公式，由所给数据计算和，代入公式中求出和，从而得到线性回归方程；第二问，利用第一问的结论，将代入即可求出所求的收入．‎ 试题解析：（1）由所给数据计算得＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，＝（2．9＋3．3＋3．6＋4．4＋4．8＋5．2＋5．9）＝4．3，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所求回归方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0．5千元．‎ 将2017年的年份代号t＝9，代入（1）中的回归方程，得，‎ 故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．‎ 考点：线性回归方程、平均数．‎ ‎21．如图，四棱锥E-ABCD中，AD∥BC，且BC⊥底面ABE，M为棱CE的中点，‎ ‎（1）求证：直线DM⊥平面CBE；‎ ‎（2）当四面体D-ABE的体积最大时，求四棱锥E-ABCD的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）取的中点N,证平面 详解：（2）设，当四面体的体积最大时，求出，进而求得四棱锥的体积．‎ ‎（Ⅰ）因为，设为的中点，所以，‎ 又平面，平面，所以，又，‎ 所以平面，又，所以平面．‎ ‎（Ⅱ），设，‎ 则四面体的体积 当，即时体积最大 又平面，平面，所以，因为，所以平面 ‎.‎ 点睛：本题主要考查立体几何相关知识，线面垂直的证明以及棱椎体积的求法，属于中档题。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切.‎ ‎(1)求圆的方程。‎ ‎(2)在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且△的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的△的面积；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1). (2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设圆心是，由直线于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求，进而可求圆的方程；（2）把点代入圆的方程可得，的方程，结合原点到直线的距离，可求的范围，根据弦长公式求出，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值．‎ 试题解析：（1）设圆心是，它到直线的距离是，解得 或(舍去),‎ 所以所求圆的方程是.‎ ‎（2）存在，理由如下：因为点在圆上，所以，‎ 且.‎ 又因为原点到直线的距离，‎ 解得，而，‎ 所以,‎ 因为，所以当，即时，取得最大值，‎ 此时点的坐标是或，的面积的最大值是.‎ 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式；3、直线与圆的位置关系． ‎ ‎【方法点睛】求圆的方程的常用方法有待定系数法和几何法：（1）用待定系数法求圆的方程的步骤：①根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式，若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解；②根据条件列出关于或的方程；③解方程组，求出或的值，代入所设方程，即得所求圆的方程.（2）几何法主要是确定圆心坐标和半径.本题主要考查了圆的方程的求法、直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式以及直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力，属于中档题．‎