专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

1 专题 03 导数及其应用 易错点 1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量    1 2W t W t, 与时间 t(天)的关系如图 所示，则一定有 A．两机关单位节能效果一样好 B．A 机关单位比 B 机关单位节能效果好 C．A 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率大 D．A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选 C. 因为在(0，t0)上，  1W t 的图象比  2W t 的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比 B 机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢 等要弄清． 【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量 在 0[0 ]t, 上的平均变化率都小于 0，故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好．故选 B. 【参考答案】B 1．平均变化率 2 函数 ( )y f x 从 1x 到 2x 的平均变化率为 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   ，若 2 1x x x   ， 2( )y f x   1( )f x ，则平 均变化率可表示为 y x   . 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数 ( )s s t 来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到t t  这段时间内，当 t 无限趋近于 0 时， s t   无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十 八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比 较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭 程度吗？ 【答案】见解析. 易错点 2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点 P(2,8)作曲线 3y x 的切线，则切线方程为 A．12 16 0x y   B．3 2 0x y   3 C．12 16 0x y   或3 2 0x y   D．12 16 0x y   或3 2 0x y   【错解】设   3f x x ，由定义得 f ′(2)=12， ∴所求切线方程为  8 12 2y x   ，即12 16 0x y   . 【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同．求曲线过点 P 的切线时，应注意检验点 P 是否在 曲线上，若点 P 在曲线上，应分 P 为切点和 P 不是切点讨论． 【试题解析】①易知 P 点在曲线 3y x 上，当 P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12 16 0x y   . ②当 P 点不是切点时，设切点为 A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为 2 03k x . ∵A 在曲线上，∴ 3 0 0y x ，∴ 3 20 0 0 8 32 x xx   ，∴ 3 2 0 03 4 0x x   ， ∴  2 0 01 2 0x x   ，解得 0 1x   或 x0=2(舍去)， ∴ 0 1y   ，k=3，此时切线方程为 y+1=3(x+1)，即 3 2 0x y   . 故经过点 P 的曲线的切线有两条，方程为12 16 0x y   或3 2 0x y   . 【参考答案】D 1．导数的几何意义 函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率 k . 2．曲线的切线的求法 若已知曲线过点 0 0( ),P x y ，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点 0 0( ),P x y 是切点时，切线方程为  0 0 0( )y y f x x x   ； （2）当点 0 0( ),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过  1 1( )P x f x ， 的切线方程为     1 1 1 y f x f x x x    ； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1 的值代入方程     1 1 1 y f x f x x x    ，可得过点 0 0( ),P x y 的切线方程． 4 2．过点 e, e 作曲线 exy x  的切线，则切线方程为 A．   21 e ey x    B．   2e 1 ey x   C．  e 1 e 2e 1 ey x    D．  e e 1e 1 ey x    【答案】C 在求曲线  y f x 的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线 ( )f x 上） 的切线方程，前者的切线方程为     0 0 0y f x f x x x    ，其中切点   0 0,x f x ，后者一般先设出切 点坐标，再求解. 易错点 3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数： （1） 2 2( ) 2f x a ax x   ； （2） sin( ) ln x xf x x  . 【错解】（1） 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x      ； 5 （2） 2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln ) x x x x x x xf x x x x xx x x        . 【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是 x，a 是常量；（2）商 的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分 子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1） 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x      ； （2） 2 2 sin ( sin ) ln sin (ln ) sin ln cos ln sin( ) ( )ln (ln ) ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x          . 【参考答案】（1） ( ) 2 2f x a x   ；（2） 2 sin ln cos ln sin( ) ln x x x x x xf x x    . 1．导数计算的原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法 ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 3．若函数  f x 满足    3 21 13f x x f x x    ，则  1f  的值为 A．0 B．2 C．1 D． 1 【答案】A 【解析】    2 2 1 1,f x x f x    令 x=1,则        21 1 2 1 1 1 2 1 , 1 0.f f f f          故答案为 A. 6 （1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数 ( )y x  Q 与指数函数 ( 0xy a a  且 1)a  的导数公式， siny x 与 cosy x 的导数， lny x 与 lgy x 的导数及积与商的导数公式记混弄 错． （2）本题中  1f  要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解． 易错点 4 审题不细致误 设函数   2lnaf x ax xx    . （1）若  2 0f   ，求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( )f x 在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围． 【错解】（1）∵   2 2af x a x x     ，∴  2 1 04 af a     ，∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        ， 令   0f x  ，得 2x  或 1 2x  ，令   0f x  ，得 1 22 x  ， ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 1 22( ) ( )  ， ， ，单调递减区间为 1( )2 2， ． （2）∵ ( )f x 在定义域上为增函数，∴   0f x  恒成立， ∵   2 2 2 2 2a ax x af x a x x x       ，∴ 2 2 0ax x a   恒成立， ∴ 2 0 4 4 0 a a      ，∴ 1a  ，即实数 a 的取值范围是[1, ) . 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是 将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有 限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分． 7 【试题解析】（1）由已知得 x>0，故函数 ( )f x 的定义域为(0，+∞)． ∵   2 2af x a x x     ， ∴  2 1 04 af a     ， ∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        ， 令   0f x  ，得 2x  或 1 2x  ，令   0f x  ，得 1 22 x  ， ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ，单调递减区间为 1( )2 2， ． 【参考答案】（1）函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ，单调递减区间为 1( )2 2， ；（2）[1, ) . 用导数求函数 ( )f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式   0f x  (或   0f x  )可解时， ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数  y f x   ； ③解不等式   0f x  ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式   0f x  ，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程   0f x  可解时， 8 ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数  y f x   ，令   0f x  ，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数 ( )f x 的间断点(即 ( )f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数 ( )f x 的定义区间分成若干个小区间； ④确定  f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式   0f x  (或   0f x  )及方程   0f x  均不可解时， ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数并化简，根据  f x 的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定  f x 的符号； ③得单调区间． 4．已知函数   2 lnf x x a x  . （1）若函数  f x 在点   3, 3f 处切线的斜率为 4，求实数 a 的值； （2）求函数  f x 的单调区间； （3）若函数     2 1 ln 22 2 a ag x x f x x        在 1,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）6；（2）见解析；（3） 7 ,16      . 【解析】（1）   2 af x x x   ，而  3 4f   ，即 2 3 43 a   ，解得 6a  . （2）函数  f x 的定义域为 0, . ①当 0a  时，   0f x  ，  f x 的单调递增区间为 0, ； ②当 0a  时，   2 2 22 2 222 a ax x a x af x x x x x              . 当 x 变化时，    ,f x f x 的变化情况如下: 9 由此可知，函数  f x 的单调递减区间是 20, 2 a      ，单调递增区间是 2 ,2 a     . （3）   21ln 22g x x ax x   ，于是   21 2 12 ax xg x axx x       . 因为函数  g x 在 1,4 上是减函数， 所以   0g x  在 1,4 上恒成立，即 2 2 1 0ax x x    在 1,4 上恒成立. 又因为函数  g x 的定义域为 0, ， 所以有 2 2 1 0ax x   在 1,4 上恒成立. 于是有 2 1 2a x x   在 1,4 上恒成立， 设 1t x  ，则 1 14 t  ， 所以有  22 2 1 1a t t t     ， 1 14 t  ， 当 1 4t  时， 21 1t   有最大值 7 16  ，学+科网 于是要使   0g x  在 1,4 上恒成立，只需 7 16a   ，即实数 a 的取值范围是 7 ,16      . 若 ( )f x 的单调减区间为 ,m n ，则在 ( )x m x n  的两侧函数值异号，且    0( )0f m f n    ； 若 ( )f x 在区间 ,m n 上单调递减，则   0f x  在 ,m n 上恒成立． 易错点 5 极值的概念理解不透彻 10 已知   3 2 2f x x ax bx a    在 1x  处有极值10，则 a b  ________. 【错解】 7 或 0 由题得， 2( ) 3 2f x x ax b    ，由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ， 所以 a b＋ 等于 7 或 0 . 【错因分析】极值点的导数值为 0，但导数值为 0 的点不一定为极值点，错解忽视了“  1 0 1f x    是 f(x)的极值点”的情况． 【试题解析】由题得， 2( ) 3 2f x x ax b    ，由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ，所以 a b＋ 等于 7 或 0 . 当 4, 11a b   时， 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x       在 x=1 两侧的符号相反，符合题意. 当 3, 3a b   时， 2( ) 3( 1)f x x   在 x=1 两侧的符号相同，所以 3, 3a b   不合题意，舍去. 综上可知， 4, 11a b   ， 所以 7a b   . 【参考答案】 7 对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑  0 0f x ＝ ，又要考虑在 0x x 两侧的导数值符号不同，否 则容易产生增根． 1．函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数 ( )f x 极值的方法： 11 ①确定函数 ( )f x 的定义域． ②求导函数  f x ． ③求方程   0f x  的根． ④检查  f x 在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 ( )f x 在这个根处取得极 大值，如果左负右正，那么 ( )f x 在这个根处取得极小值，如果  f x 在这个根的左右两侧符号不变，则 ( )f x 在这个根处没有极值． 3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数  f x ，求方程   0f x  的根的情况，得关 于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 5．若函数    2 3 exf x x ax   在 0, 内有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 A． , 2 2   B． , 2 2  C． , 3  D． , 3  【答案】C 【解析】    2 2 3 e xf x x a x a        ，因为函数  f x 在  0, 内有且只有一个极值点，所以  0 0f   ，即3 0, 3a a    ，又当 3a   时，    2 exf x x x   ，当 0x  时，令   0, 1f x x   ， 满足题意.所以 3a   ，故选 C. （1） ( )f x 在 0x x 处有极值时，一定有  0 0f x  ，  0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验 ( )f x 在 0x x 两侧的符号后才可下结论； （2）若  0 0f x  ，则 ( )f x 未必在 0x x 处取得极值，只有确认 1 0 2x x x  时，    1 2 0f x f x  ，才 可确定 ( )f x 在 0x x 处取得极值． 12 （3）在本题中，不要遗漏掉 3a   这种特殊情况. 一、导数的概念及计算 1．导数的定义： 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x y f x+ x f xf x x x          . 2．导数的几何意义：函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数  0f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线 的斜率 k ，即 0( )k f x . 求曲线 ( )y f x 的切线方程的类型及方法 （1）已知切点  0 0,P x y ，求 ( )y f x 过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 ( )y f x 的切线方程：设切点  0 0,P x y ，通过方程  0k f x  解得 x0，再 由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求 ( )y f x 的切线方程：设切点  0 0,P x y ，利用导数求得切线斜率  0f x ， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率， 再由  0k f x  求出切点坐标 0 0,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线， P 一定在曲线上. ②过点 P 的切线即切线过点 P ，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C 为常数) ( )f x =0 *( )= ( )nf x x n N 1 *( )= ( )nf x nx n N 13 f (x)=sin x ( )=cosf x x f (x)=cos x ( )= sinf x x  ( ) ( 0 1)xf x a a > a 且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a  且 ( ) exf x  ( ) exf x  ( ) log ( 0 1)af x x a a  且 1( ) = ( 0 1) ln f x a a x a   且 f (x)=ln x 1( )=f x x  4．导数的运算法则 （1）        u x v x u x v x     ＝ . （2）            ·u x v x u x v x u x v x    ＝ ＋ . （3） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x     . 5．复合函数的导数 复合函数   y f g x 的导数和函数    y f u u g x , 的导数间的关系为 x u xy y u    ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 二、导数的应用 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内： ①如果 ( ) 0f x  ，函数 f (x)在这个区间内单调递增; ②如果 ( ) 0f x  ，函数 f (x)在这个区间内单调递减; ③如果 ( )=0f x ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数． （1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内， ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条 14 件.例如，函数 3( )f x x 在定义域 ( , )  上是增函数，但 2( ) 3 0f x x   . （3）函数 ( )f x 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )在(a,b)内恒成立，且 ( )f x 在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ( ) 0f x  ,不影响函数 ( )f x 在区间内 的单调性. 2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数 ( )y f x ， ①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0，且在点 x= a 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ，右侧 ( ) 0f ' x  ，则称 x= a 为 f(x)的极 小值点； ( )f a 叫做函数 f (x)的极小值. ②若在点 x=b 处有 ( )f ' b =0，且在点 x=b 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ，右侧 ( ) 0f ' x  ，则称 x= b 为 f(x)的极 大值点， ( )f b 叫做函数 f (x)的极大值． ③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系 ①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言； ②在函数的定义区间[ , ]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者 没有）； ③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数 ( )y f x 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数 ( )y f x 在(a,b)内的极值； ②将函数 ( )y f x 的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值． 15 1．[2018 新课标全国Ⅰ文科]设函数 3 2( ) ( 1)f x x a x ax    .若 ( )f x 为奇函数，则曲线 ( )y f x 在点 (0,0) 处的切线方程为 A． 2y x  B． y x  C． 2y x D． y x 2．[2016 新课标全国Ⅰ卷文]若函数 1( ) sin 2 sin3f x x x a x   在 ( , )  上单调递增，则 a 的取值范围 是 A．[ 1,1] B． 1[ 1, ]3  C． 1 1[ , ]3 3  D． 1[ 1, ]3   3．函数 2lnx xy x  的图象大致是 A． B． C． D． 4．已知函数    2e e ln (ee xf x f x  是自然对数的底数），则  f x 的极大值为 A． 2e 1 B． 1 e  C．1 D． 2ln 2 5．设    f x g x、 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，         0f x g x f x g x    ，且  3 0g   ，则不等式     0f x g x  的解集是 A．  (3,0 3 )   ， B．   3,0 0,3  C． 3( ) ( )3   ， ， D．  3( ) 0,3  ， 16 6．已知定义在  0, 上的函数    2 , 6ln 4f x x m h x x x    ，设两曲线  y f x 与  y h x 在公 共点处的切线相同，则 m 值等于 A．−3 B．1 C．3 D．5 7．若函数    2 5 exf x x ax   在 1 3 2 2      ， 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A． 8,  B． 4,  C． 2,  D． 4,2 8．若方程 3 3 0x x m   在[0,2]上有解，则实数 m 的取值范围是 A． 2,2 B．[0,2] C． 2,0 D． 2( ) ( )2   ， ， 9．设函数   lnf x x ax  ，若存在  0 0,x   ，使  0 0f x  ，则 a 的取值范围是 A． 1 ,1e     B． 1, e     C． 1,  D． 1 ,e      10．[2018 天津文科]已知函数 f(x)=exlnx，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′（1）的值为__________． 11．[2018 新课标全国Ⅱ文科]曲线 2lny x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________． 12．[2017 新课标全国Ⅰ卷文]曲线 2 1y x x   在点（1，2）处的切线方程为______________． 13．[2018 新课标全国Ⅲ文科]已知函数 2 1( ) ex ax xf x   ．学科+网 （1）求曲线 ( )y f x 在点 (0, 1) 处的切线方程； （2）证明：当 1a  时， ( ) e 0f x   ． 17 14．[2018 新课标全国Ⅰ文科]已知函数   e ln 1xf x a x   ． （1）设 2x  是  f x 的极值点，求 a ，并求  f x 的单调区间； （2）证明：当 1 ea≥ 时，   0f x ≥ ． 15．[2018 新课标全国Ⅱ文科]已知函数    3 21 13f x x a x x    ． （1）若 3a  ，求 ( )f x 的单调区间； （2）证明： ( )f x 只有一个零点． 16．[2017 新课标全国Ⅰ卷文]已知函数   2e e( ) x xf x a a x   ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( ) 0f x  ，求 a 的取值范围． 18 17．设函数     23 ex x axf x a  R . （1）若  f x 在 0x  处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （2）若  f x 在 3, 上为减函数，求 a 的取值范围. 18．已知函数 ( ) e 1( 0)xf x ax a    ， e 为自然对数的底数. （1）求函数 )(xf 的最小值； （2）若 0)( xf 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的值； （3）在（2）的条件下，证明： 1 1 11 ln( 1)( )2 3 n nn      N . 19 ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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