北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第3节
第三章 第三节
一、选择题
1．函数 y＝ 4x
x2＋1( )
A．有最大值 2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值 2，有最小值－2
D．无最值
[答案] C
[解析] ∵y′＝4x2＋1－4x·2x
x2＋12
＝－4x2＋4
x2＋12 .
令 y′＝0，得 x＝1 或－1，f(－1)＝－4
2
＝－2，f(1)＝2，故选 C．
2．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图像如图所示，则 y＝f(x)的图像最有可
能是( )
[答案] C
[解析] 由 y＝f ′(x)的图像易知当 x<0 或 x>2 时，f ′(x)>0，故函数 y＝f(x)在区间(－
∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当 0
4.
4．若存在正数 x 使 2x(x－a)<1 成立，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由题意得，a>x－(1
2)x (x>0)，
令 f(x)＝x－(1
2)x，则 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)min>f(0)＝－1，∴a>－1，故选 D．
5．若函数 f(x)＝1
2sin2x＋sinx，则 f ′(x)是( )
A．仅有最小值的奇函数
B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数
D．非奇非偶函数
[答案] C
[解析] f(x)＝sinxcosx＋sinx，则 f ′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋
cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然 f ′(x)是偶函数，又因为 cosx∈[－1,1]，所以函数 f ′(x)既有
最大值又有最小值．
6．(文)如图，某农场要修建 3 个养鱼塘，每个面积为 10 000m2，鱼塘前面要留 4m 的运
料通道，其余各边为 2m 宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )
A．长 102m，宽 5 000
51 m B．长 150m，宽 66m
C．长、宽均为 100 米 D．长 150m，宽 200
3 m
[答案] D
[解析] 设鱼塘长、宽分别为 ym、xm，依题意 xy＝10 000.
设占地面积为 S，则 S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋80 000
x
＋30 048，
令 S′＝18－80 000
x2
＝0，得 x＝200
3 .此时 y＝150.
(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长 20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A． 3
3 cm B．10 3
3 cm
C．16 3
3 cm D．20 3
3 cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2(cm)，其体积为 V＝1
3πx(202－
x2)(00，当20
3 30，所以 x＝1.因为 01 时 f ′(x)>0，所以当 x＝1 时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值 f(1)＝1.
8．函数 f(x)＝ax3＋x 恰有三个单调区间，则 a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] f(x)＝ax3＋x 恰有三个单调区间，即函数 f(x)恰有两个极值点，即 f′(x)＝0 有
两个不等实根．
∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.
要使 f′(x)＝0 有两个不等实根，则 a<0.
9．在直径为 d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为
________．(强度与 bh2 成正比，其中 h 为矩形的长，b 为矩形的宽)
[答案] 6
3 d
[解析] 下图为圆木的横截面，
∵b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
设 f(b)＝b(d2－b2)，∴f ′(b)＝－3b2＋d2.
令 f ′(b)＝0，由于 b>0，∴b＝ 3
3 d，且在(0， 3
3 d]上 f ′(b)>0，在[ 3
3 d，d)上，f ′(b)<0.
∴函数 f(b)在 b＝ 3
3 d 处取得极大值，也是最大值，
即抗弯强度最大，此时长 h＝ 6
3 D．
三、解答题
10．设 f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
(1)求 g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论 g(x)与 g(1
x)的大小关系；
(3)求 a 的取值范围，使得 g(a)－g(x)<1
a
对任意 x>0 成立．
[解析] (1)g(x)＝lnx＋1
x
，g′(x)＝x－1
x2
，由 g′(x)>0，得 g(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
由 g′(x)<0，得 g(x)的单调减区间为(0,1)．因此 x＝1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，
从而是最小值点．所以 g(x)min＝g(1)＝1.
(2)设 h(x)＝g(x)－g(1
x)，则 h′(x)＝－x－12
x2
，
h′(x)≤0，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数．
当 x＝1 时，h(1)＝0，即 g(x)＝g(1
x)；
当 0h(1)＝0，即 g(x)>g(1
x)；
当 x>1 时，h(x)0 成立⇔由 g(a)－1<1
a
，得
00，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥3
x2
－1
x3.设 g(x)＝3
x2
－1
x3
，
则 g′(x)＝31－2x
x4
，
所以 g(x)在区间(0，1
2]上单调递增，在区间[1
2
，1]上单调递减，
因此 g(x)max＝g(1
2)＝4，从而 a≥4.
当 x<0，即 x∈[－1,0)时，同理 a≤3
x2
－1
x3.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4.综上可知 a＝4.
4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的
函数关系为 P＝24200－1
5x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x(元)．则该厂每月生产
________吨产品才能使利润达到最大．最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)
[答案] 200 315
[解析] 每月生产 x 吨时的利润为
f(x)＝(24200－1
5x2)x－(50000＋200x)．
＝－1
5x3＋24000x－50000(x≥0)．
由 f′(x)＝－3
5x2＋24000＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．因 f(x)在[0，＋∞)内只
有一个极值点 x＝200 使 f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为 f(200)＝－1
5
×2003＋
24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产 200 吨产品时的利润达到最大，最大利润
为 315 万元．
三、解答题
5．(文)(2015·临川模拟)已知 x＝2 是函数 f(x)＝1
3x3－bx2＋2x＋a 的一个极值点．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若当 x∈[1，＋∞)时，f(x)－2
3>a2 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)∵f′(x)＝x2－2bx＋2，且 x＝2 是 f(x)的一个极值点，∴f′(2)＝4－4b＋2＝
0，解得 b＝3
2
，
∴f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<1，
∴函数 f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)；
由 f′(x)<0 得 1a2 恒成立等价于 a20，∴m≤2xlnx＋x2＋3
x
，
令 t(x)＝2xlnx＋x2＋3
x
＝2lnx＋x＋3
x
，
∴t′(x)＝2
x
＋1－3
x2
＝x2＋2x－3
x2
＝x＋3x－1
x2
，
令 t′(x)＝0 得 x＝1 或－3(舍)．
当 x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)在(0,1)上单调递减，
当 x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增．
t(x)min＝t(1)＝4，∴m≤t(x)min＝4，即 m 的最大值为 4.
6．(文)(2014·浙江高考)已知函数 f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)．若 f(x)在[－1,1]上的最小值记
为 g(a)．
(1)求 g(a)；
(2)证明：当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4.
[解析] (1)∵a>0，x∈[－1,1]
(ⅰ)当 00，
∴f(x)在[a,1]递增．
∴g(a)＝f(a)＝a3.
(ⅱ)当 a≥1 时，f(x)＝x3＋3(a－x)，
此时 f′(x)＝3x2－3<0，
∴f(x)在[－1,1]单调递减，
∴g(a)＝f(1)＝3a－2.
综上 g(a)＝ a3 00.
∴t(a)在(0,1)递增．
∴t(a)0，
∴h(x)在[a,1]递增，
∴hmax(x)＝h(1)＝4－3a－a3，
∵00，
所以当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，
函数 y＝f(x)单调递减，
当 x∈(2，＋∞)时， f′(x)>0，函数 y＝f(x)单调递增．
所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0 时，函数 f(x)在(0,2)内单调递减，故 f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当 k>0 时，设函数 g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．
因为 g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，
当 00，
y＝g(x)单调递增，故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当 k>1 时，得 x∈(0，lnk)时，g′(x)<0，
函数 y＝g(x)单调递减，
x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递增．
所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(lnk)＝k(1－lnk)．
函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点
当且仅当
g0>0，
glnk<0，
g2>0，
0
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