高中数学人教a版选修1-1第三章导数及其应用学业分层测评16word版含答案

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高中数学人教a版选修1-1第三章导数及其应用学业分层测评16word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=f(x)的图象如图 3-3-4 所示,则导函数 y=f′(x)的图 象可能是( ) 图 3-3-4 【解析】 由函数 y=f(x)的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+ ∞)上,函数 f(x)均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,f′(x) 均小于 0,故选 D. 【答案】 D 2.函数 f(x)=2x-sin x 在(-∞,+∞)上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 【解析】 ∵cos x≤1,∴f′(x)=2-cos x>0 恒成立,∴f(x)在(- ∞,+∞)上为增函数. 【答案】 A 3.函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1) 【解析】 y′=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)ex,令(-x2-2x +3)ex>0,由于 ex>0,则-x2-2x+3>0,解得-30,所以 f(x) 在(0,+∞)上是增函数,所以有 f(2)0; ②若在(a,b)内 f′(x)存在,则 f(x)必为单调函数; ③若在(a,b)内对任意 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)内是增函数; ④若可导函数在(a,b)内有 f′(x)<0,则在(a,b)内有 f(x)<0. 【解析】 对于①,可以存在 x0,使 f′(x0)=0 不影响区间内函数 的单调性;对于②,导数 f′(x)符号不确定,函数不一定是单调函数; 对于④,f′(x)<0 只能得到 f(x)单调递减. 【答案】 ③ 三、解答题 9.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=1 2x+sin x,x∈(0,2π); (2)f(x)=2x-ln x. 【解】 (1)∵f′(x)=1 2 +cos x, 令 f′(x)>0,得1 2 +cos x>0,即 cos x>-1 2. 又∵x∈(0,2π),∴00,解得 x>1 2 ; 令 2-1 x<0,解得 00, 此时原函数为增函数,图象应是上升的;当-10,所 以 f′(x)<0,此时原函数为减函数,图象应是下降的;当 01 时,xf′(x)>0,所以 f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上 升的,由上述分析,可知选 C. 【答案】 C 2.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有( ) 【导学号:26160085】 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 【解析】 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数, ∴当 a<x<b 时,f(x)-g(x)>f(a)-g(a), ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).故选 C. 【答案】 C 3.若函数 f(x)=ln x-1 2ax2-2x 存在单调递减区间,则实数 a 的取 值范围是________. 【解析】 f′(x)=1 x -ax-2=-ax2+2x-1 x . 因为函数 f(x)存在单调递减区间,所以 f′(x)≤0 有解. 又因为函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 所以 ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内有解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线, ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内恒有解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线, 若 ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内恒有解, 则 Δ=4+4a≥0, x=-1 a>0, 解得-1≤a<0; ③当 a=0 时,显然符合题意. 综合上述,a 的取值范围是[-1,+∞). 【答案】 [-1,+∞) 4.已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 【解】 (1)f′(x)=3x2-a,∵3x2-a≥0 在 R 上恒成立,即 a≤3x2 在 R 上恒成立,又∵y=3x2≥0,∴当 a≤0 时,f(x)=x3-ax-1 在 R 上是增函数,又 a=0 时,f′(x)=3x2 不恒为 0,∴a≤0. (2)∵3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x2 在(-1,1)上恒成 立.但当 x∈(-1,1)时,0≤3x2<3,∴a≥3,即当 a≥3 时,f(x)在(- 1,1)上单调递减. (3)证明:取 x=-1,得 f(-1)=a-2
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