高中数学人教a版选修1-1第三章导数及其应用学业分层测评16word版含答案
学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数 y=f(x)的图象如图 3-3-4 所示,则导函数 y=f′(x)的图
象可能是( )
图 3-3-4
【解析】 由函数 y=f(x)的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+
∞)上,函数 f(x)均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,f′(x)
均小于 0,故选 D.
【答案】 D
2.函数 f(x)=2x-sin x 在(-∞,+∞)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.有最大值 D.有最小值
【解析】 ∵cos x≤1,∴f′(x)=2-cos x>0 恒成立,∴f(x)在(-
∞,+∞)上为增函数.
【答案】 A
3.函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区间是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1)
【解析】 y′=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)ex,令(-x2-2x
+3)ex>0,由于 ex>0,则-x2-2x+3>0,解得-3
0,所以 f(x)
在(0,+∞)上是增函数,所以有 f(2)0;
②若在(a,b)内 f′(x)存在,则 f(x)必为单调函数;
③若在(a,b)内对任意 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)内是增函数;
④若可导函数在(a,b)内有 f′(x)<0,则在(a,b)内有 f(x)<0.
【解析】 对于①,可以存在 x0,使 f′(x0)=0 不影响区间内函数
的单调性;对于②,导数 f′(x)符号不确定,函数不一定是单调函数;
对于④,f′(x)<0 只能得到 f(x)单调递减.
【答案】 ③
三、解答题
9.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=1
2x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
【解】 (1)∵f′(x)=1
2
+cos x,
令 f′(x)>0,得1
2
+cos x>0,即 cos x>-1
2.
又∵x∈(0,2π),∴00,解得 x>1
2
;
令 2-1
x<0,解得 00,
此时原函数为增函数,图象应是上升的;当-10,所
以 f′(x)<0,此时原函数为减函数,图象应是下降的;当 01 时,xf′(x)>0,所以 f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上
升的,由上述分析,可知选 C.
【答案】 C
2.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b
时,有( ) 【导学号:26160085】
A.f(x)>g(x)
B.f(x)<g(x)
C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
【解析】 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0,
∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,
∴当 a<x<b 时,f(x)-g(x)>f(a)-g(a),
∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).故选 C.
【答案】 C
3.若函数 f(x)=ln x-1
2ax2-2x 存在单调递减区间,则实数 a 的取
值范围是________.
【解析】 f′(x)=1
x
-ax-2=-ax2+2x-1
x .
因为函数 f(x)存在单调递减区间,所以 f′(x)≤0 有解.
又因为函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
所以 ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内有解.
①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,
ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内恒有解;
②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,
若 ax2+2x-1≥0 在(0,+∞)内恒有解,
则
Δ=4+4a≥0,
x=-1
a>0,
解得-1≤a<0;
③当 a=0 时,显然符合题意.
综合上述,a 的取值范围是[-1,+∞).
【答案】 [-1,+∞)
4.已知函数 f(x)=x3-ax-1.
(1)若 f(x)在 R 上单调递增,求 a 的取值范围;
(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a
的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)证明:f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.
【解】 (1)f′(x)=3x2-a,∵3x2-a≥0 在 R 上恒成立,即 a≤3x2
在 R 上恒成立,又∵y=3x2≥0,∴当 a≤0 时,f(x)=x3-ax-1 在 R
上是增函数,又 a=0 时,f′(x)=3x2 不恒为 0,∴a≤0.
(2)∵3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x2 在(-1,1)上恒成
立.但当 x∈(-1,1)时,0≤3x2<3,∴a≥3,即当 a≥3 时,f(x)在(-
1,1)上单调递减.
(3)证明:取 x=-1,得 f(-1)=a-2
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