【数学】2020届一轮复习（文）通用版8-2空间点、线、面的位置关系作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版8-2空间点、线、面的位置关系作业

‎§8.2　空间点、线、面的位置关系 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 点、线、面的位置关系 ‎①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论;②会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题;③理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论 ‎2016浙江,2,5分 直线、平面的位置关系 线面垂直的性质 ‎★★☆‎ ‎2016山东,6,5分 直线、平面的位置关系 充分条件与必要条件 ‎2016课标全国Ⅰ,11,5分 异面直线所成的角 面面平行的性质 ‎2018课标全国Ⅱ,9,5分 异面直线所成的角 线面垂直的性质 分析解读　　高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象能力,所以在备考时应加强训练.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2019届黑龙江顶级名校11月联考,4)若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是(　　)‎ A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n B.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β C.α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β D.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n⇒α∥β 答案　C　‎ ‎2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019届四川顶级名校10月联考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线DC1和B1C所成角的大小为(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案　C　‎ ‎4.下列说法中,正确的个数是(　　)‎ ‎①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案　C　‎ ‎5.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则(　　)‎ A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面 答案　B　‎ ‎6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1与EF所成的角的大小为　　　　. ‎ 答案　90°‎ ‎7.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.‎ 解析　已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.‎ 求证:直线a,b,c,l共面.‎ 证明:如图所示,因为a∥b,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.‎ 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.‎ 又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.‎ 因为b∥c,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.‎ 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知,平面α与平面β重合,所以直线a,b,c,l共面.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　证明点共线、线共点及点线共面的方法 ‎1.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH.‎ ‎(1)求AH∶HD;‎ ‎(2)求证:EH,FG,BD三线共点.‎ 解析　(1)∵AEEB=CFFB=2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,‎ 又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.‎ 而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CGGD=3.‎ ‎∴AH∶HD=3∶1.‎ ‎(2)证明:∵EF∥GH,且EFAC=‎1‎‎3‎,GHAC=‎1‎‎4‎,∴EF≠GH,‎ ‎∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.‎ 设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,‎ 同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.‎ ‎∴EH,FG,BD三线共点.‎ ‎2.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.‎ 证明　证法一:∵A,C,E不共线,‎ ‎∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,‎ 同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,‎ ‎∴l3⊂α,同理,l4⊂α,‎ 故l1,l2,l3,l4四条直线共面.‎ 证法二:∵点A,C,E不共线,‎ ‎∴它们确定一个平面α,‎ 又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,‎ 又∵F,D,E不共线,‎ ‎∴它们确定一个平面β.‎ 又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,‎ ‎∴l3⊂β,l4⊂β.‎ 而不共线的三点B,C,D可确定一个平面,‎ 又B,C,D既在α内又在β内,‎ 故平面α与平面β重合.‎ ‎∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.‎ 方法2　异面直线所成角的求解方法 ‎1.(2019届广东七校9月联考,10)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AA1=2AB,D是AA1的中点,则BD与A1C1所成角的余弦值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎3.如图,已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为　　　　. ‎ 答案　60°或30°‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎7‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案　C　‎ ‎2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 答案　D　‎ ‎4.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)证明:直线DF⊥平面BEG.‎ 解析　(1)点F,G,H的位置如图所示.‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:‎ 因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,‎ 又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,‎ 于是四边形BCHE为平行四边形.‎ 所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG=B,‎ 所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎(3)证明:连接FH.‎ 因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,‎ 因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.‎ 又EG⊥FH,DH∩FH=H,‎ 所以EG⊥平面BFHD.‎ 又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.‎ 同理DF⊥BG.‎ 又EG∩BG=G,‎ 所以DF⊥平面BEG.‎ C组　教师专用题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m 答案　A　‎ ‎2.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.l1⊥l4 ‎ B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D.l1与l4的位置关系不确定 答案　D　‎ ‎3.(2010全国Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案　C　‎ ‎4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎5.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积;‎ ‎(2)证明:四边形EFGH是矩形.‎ 解析　(1)由该四面体的三视图可知,‎ BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,‎ ‎∴AD⊥平面BDC,‎ ‎∴四面体ABCD的体积V=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×2×1=‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)证明:∵BC∥平面EFGH,‎ 平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,‎ ‎∴BC∥FG,BC∥EH,‎ ‎∴FG∥EH.‎ 同理,EF∥AD,HG∥AD,‎ ‎∴EF∥HG,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形.‎ 又∵AD⊥平面BDC,BC⊂平面BDC,‎ ‎∴AD⊥BC,‎ ‎∴EF⊥FG,‎ ‎∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎6.(2013课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.‎ ‎(1)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(2)若AB=CB=2,A1C=‎6‎,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.‎ 解析　(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,‎ 故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,‎ 所以AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C,‎ 所以AB⊥A1C.‎ ‎(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,‎ 所以OC=OA1=‎3‎.‎ 又A1C=‎6‎,‎ 则A1C2=OC2+OA‎1‎‎2‎,故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB=O,‎ 所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.‎ 又△ABC的面积S△ABC=‎3‎,‎ 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:50分 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届宁夏银川一中11月月考,6)设α、β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α B.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α 答案　D　‎ ‎2.(2019届辽宁顶级名校10月联考,10)设m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是(　　)‎ A.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n B.m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n C.m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n D.m⊥α,n⊥β且α∥β,则m∥n 答案　B　‎ ‎3.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是(　　)‎ A.B,C,A1 B.B1,C1,A ‎ C.A1,B1,C D.A1,B,C1‎ 答案　D　‎ ‎4.(2019届陕西四校期中联考,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎14‎‎14‎ B.‎8‎‎3‎‎14‎ C.‎13‎‎13‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018广东珠海模拟,8)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.2 C.‎1‎‎4‎ D.4‎ 答案　A　‎ ‎6.(2019届福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题错误的是(　　)‎ A.存在P,Q在某一位置时,AB∥PQ B.△BPQ的面积为定值 C.当PA>0时,直线PB1与AQ是异面直线 D.无论P,Q运动到任何位置,均有BC⊥PQ 答案　B　‎ ‎7.(2017山西临汾三模,4)已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是(　　)‎ A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行 B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直 C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直 答案　D　‎ ‎8.(2017河南百校联盟质检,10)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1和AB的中点,平面B1EF交棱AD于点P,则PE=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎15‎‎6‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎13‎‎6‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎9.(2019届河南洛阳期中考试,15)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2,BC=CC1=‎2‎,P是BC1上一动点,则A1P+PC的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎ ‎10.(2017湖北武汉武昌调研,16)在矩形ABCD中,AB

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