高中数学必修5教案:3_4基本不等式

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高中数学必修5教案:3_4基本不等式

‎ 3.4.1基本不等式(1)‎ ‎【教学目标】‎ ‎1学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;‎ ‎2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;‎ ‎3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 ‎【教学重点】‎ 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;‎ ‎【教学难点】‎ 基本不等式等号成立条件 ‎【教学过程】‎ ‎1.课题导入 基本不等式的几何背景:‎ 探究:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,‎ 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色 的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。‎ ‎2 合作探究 ‎(1)问题 1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?‎ ‎(教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。‎ ‎ 系)‎ 提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?‎ 生答:,‎ 提问3:那4个直角三角形的面积和呢?‎ 生答:‎ 提问4:好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式,。什么时候这两部分面积相等呢?‎ 生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即时,正方形EFGH变成一个点,这时有 结论:(板书)一般地,对于任意实数 、,我们有,当且仅当 时,等号成立。‎ 提问5:你能给出它的证明吗?‎ ‎(学生尝试证明后口答,老师板书)‎ 证明: ‎ 所以 ‎ 注意强调 当且仅当时, ‎ ‎(2)特别地,如果,也可写成 ‎,引导学生利用不等式的性质推导 ‎(板书,请学生上台板演):‎ 要证: ①‎ 即证 ②‎ 要证②,只要证 ③‎ 要证③,只要证 ( - ) ④‎ 显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立 ‎(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探究:课本中的“探究”‎ 在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?‎ 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB 即CD=.‎ 这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.‎ 因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”‎ 评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.‎ 即学即练:‎ ‎1若且,则下列四个数中最大的是      ( )‎ A.      B.     C.2ab      D.a ‎ ‎2 ‎a‎,b是正数,则三个数的大小顺序是 (   )‎ A.   B.  ‎ C.   D. ‎ 答案 B C 例题分析:‎ ‎ (1)=2即≥2.‎ ‎(2)x+y≥2>0 x2+y2≥2>0 x3+y3≥2>0‎ ‎∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3‎ 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.‎ 变式训练:‎ ‎ X>0,当X取何值时X+有最小值,最小值是多少 ‎ 解析:因为X>0, ‎ ‎ X+ ≥2=2 ‎ ‎ 当且仅当X=时即x=1时有最小值2‎ ‎ 点评:此题恰好符合基本不等式的用法,1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。‎ 当堂检测: ‎ ‎1.下列叙述中正确的是( ).‎ ‎(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ‎(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 ‎(C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值 ‎(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值 ‎12下面给出的解答中,正确的是( ).‎ ‎(A)y=x+≥2=2,∴y有最小值2‎ ‎(B)y=|sinx|+≥2=4,∴y有最小值4‎ ‎(C)y=x(-2x+3)≤=,又由x=-2x+3得x=1,∴当x=1时,y有最大值=1‎ ‎(D)y=3-- ≤3-2=-3,y有最大值-3‎ ‎3.已知x>0,则x++3的最小值为( ).‎ ‎(A)4 (B)7 (C)8 (D)11‎ ‎4.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)( ).‎ ‎(A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数 (D)是减函数 ‎1 B 2.D 3 B 4 .A ‎ ‎ 基本不等式 ‎ ‎ 第一课时 课前预习学案 一、预习目标 不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理。‎ 二、预习内容 一般地,对于任意实数 、,我们有,当 ,等号成立。‎ 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,字母表示: 。‎ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ 课内探究学案 教学目标 ,不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】‎ 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;‎ ‎【教学难点】‎ 基本不等式等号成立条件 合作探究 1 证; ‎ ‎ 强调:当且仅当时, ‎ ‎ 特别地,如果,也可写成 ‎,引导学生利用不等式的性质推导 ‎ 证明: ‎ ‎ 结论:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探究2:课本中的“探究”‎ 在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释 练习 ‎1若且,则下列四个数中最大的是      ( )‎ A.      B.     C.2ab      D.a ‎ ‎2 ‎a‎,b是正数,则三个数的大小顺序是 (   )‎ A.   B.  ‎ C.   D. ‎ ‎ 答案 B C 例题分析:‎ 已知x、y都是正数,求证:‎ ‎(1)≥2;‎ ‎ ( 2) X>0,当X取何值时X+有最小值,最小值是多少 ‎ 分析:,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形. 1正2定3相等 变式训练:1已知x<,则函数f(x)=4x+的最大值是多少?‎ ‎ 2 证明:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.‎ ‎ 分析:注意凑位法的使用。 ‎ 注意基本不等式的用法。‎ ‎ 当堂检测: ‎ ‎1.下列叙述中正确的是( ).‎ ‎(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ‎(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 ‎(C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值 ‎(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值 ‎2下面给出的解答中,正确的是( ).‎ ‎(A)y=x+≥2=2,∴y有最小值2‎ ‎(B)y=|sinx|+≥2=4,∴y有最小值4‎ ‎(C)y=x(-2x+3)≤=,又由x=-2x+3得x=1,∴当x=1时,y有最大值=1‎ ‎(D)y=3-- ≤3-2=-3,y有最大值-3‎ ‎3.已知x>0,则x++3的最小值为( ).‎ ‎(A)4 (B)7 (C)8 (D)11‎ ‎4.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)( ).‎ ‎(A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数 (D)是减函数 答案 1 B 2.D 3 B 4.A 课后练习与提高 ‎ 1 已知 ① 如果积 ② 如果和 ‎ [拓展探究]‎ ‎2. 设a, b, c且a+b+c=1,求证:‎ 答案:1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ,然后化简利用基本不等式。‎ ‎ §‎3.4.2‎ 基本不等式的应用 ‎【教学目标】‎ ‎1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;‎ ‎2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。‎ ‎3 能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.‎ 教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 教学过程:‎ 一、创设情景,引入课题 提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把叫做正数的算术平均数,把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。‎ 讲解:已知都是正数,①如果是定值,那么当时,和有最小值;‎ ‎②如果和是定值,那么当时,积有最大值 二、探求新知,质疑答辩,排难解惑 1、 新课讲授 例1、(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?‎ ‎(2)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?‎ 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 ‎(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 解:(1)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2()‎ 由 ,‎ 可得 ‎ ‎2()‎ 等号当且仅当,因此,这个矩形的长、宽为‎10 m时,所用篱笆最短,最短篱笆为‎40m ‎ (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2()=36,‎ ‎=18,矩形菜园的面积为,‎ 由 可得 ,‎ 可得等号当且仅当 ‎ 点评:此题用到了 如果是定值,那么当时,和有最小值;‎ 如果和是定值,那么当时,积有最大值 变式训练: 用长为的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?‎ 解:设矩形的长为,则宽为,矩形面,且.‎ 由.(当且近当,即时取等号),‎ 由此可知,当时,有最大值.答:将铁丝围成正方形时,才能有最大面积.‎ 例2(教材例2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为‎4800m3‎,深为‎3m,如果池底每‎1m2‎的造价为150元,池壁每‎1m2‎的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?‎ 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。‎ 解:设水池底面一边的长度为,水池的总造价为元,根据题意,得 ‎ ‎ 当 因此,当水池的底面是边长为‎40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。‎ 变题:某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是立方分米,用来做底的金属每平方分米价值3元,做侧面的金属每平方米价值2元,按着怎样的尺寸制造,才能使圆桶的成本最低。‎ 解:设圆桶的底半径为分米,高为分米,圆桶的成本为元,则3‎ 求桶成本最低,即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式,得 ‎=‎ 当且仅当时,取“=”号。‎ ‎∴当1(分米),(分米)时,圆桶的成本最低为9(元)。‎ 点评:分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解,‎ 归纳整理,整体认识 ‎1.求最值常用的不等式:,,.‎ ‎2.注意点:一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小.‎ ‎3.建立不等式模型解决实际问题 当堂检测:‎ ‎1 下列函数中,最小值为4的是: (   )‎ A. B. ‎ C.     D.‎ ‎2. 设的最小值是( )‎ ‎ A. 10 B. C. D. ‎ ‎ 3函数的最大值为 .‎ ‎4建造一个容积为‎18m3‎, 深为‎2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为 元.‎ ‎5某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?‎ 答案:‎1C 2 D 3 4 3600 5 时,有最小值,‎ 基本不等式的应用 课前预习学案 一、预习目标 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题 二、预习内容 ‎1如果是定值,那么当时,和有最 ‎ ‎2如果和是定值,那么当时,积有最 ‎ ‎3若,则=_____时,有最小值,最小值为_____.‎ ‎4.若实数a、b满足a+b=2,则‎3a+3b的最小值是_____.‎ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ 课内探究学案 一、学习目标 ‎ 1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.‎ ‎2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.‎ ‎ 教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 二、学习过程 例题分析:‎ 例1、(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?‎ ‎(2)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?‎ 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 ‎(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 ‎ 解:‎ 变式训练:1用长为的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?‎ ‎ 2一份印刷品的排版面积(矩形)为它的两边都留有宽为的空白,顶部和底部都留有宽为的空白,如何选择纸张的尺寸,才能使用纸量最少?‎ 变式训练 答案 1 时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是和.‎ 例2:)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为‎4800m3‎,深为‎3m,如果池底每‎1m2‎的造价为150元,池壁每‎1m2‎ 的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?‎ ‎ 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。‎ 答案:底面一边长为40时,总造价最低2976000。‎ 变式训练:建造一个容积为‎18m3‎, 深为‎2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为 元.‎ ‎ 答案:3600‎ 当堂检测:1若x, y是正数,且,则xy有         (3   )‎ A.最大值16  B.最小值 C.最小值16  D.最大值 ‎2已知且满足,求的最小值.4‎ A.16  B20. C.14  D.18‎ ‎3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?‎ 答案:‎1 C 2 D 3 时,有最小值, ‎ ‎ 课后复习学案 ‎1已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值.‎ ‎2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试)某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元,年维修费用第一年是万元,以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?‎ ‎3某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距车站‎10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站多少公里处?‎ ‎ ‎
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