【数学】2019届一轮复习北师大版基本不等式及其应用学案
7.4 基本不等式及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
题组二 教材改编
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为x m，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
题组三 易错自纠
4．“x>0”是“x＋≥2成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 当x>0时，x＋≥2＝2.
因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.
5．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B.
C．1 D.
答案 A
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．
∴函数的最小值为0.故选A.
6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·
＝
≥(4＋9＋2)＝5，
当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，
故4x＋3y的最小值为5.故选D.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
典例 (1)已知01)的最小值为________．
答案 2＋2
解析 y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
典例 (2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 C
解析 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．
跟踪训练 (1)若对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝，因此对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝，故实数a的取值范围是.
(2)(2017·武汉模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．
答案 8
解析 由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.
∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8，
当且仅当x＝2y时等号成立．
题型二 基本不等式的实际应用
典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得当00)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为
x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，
即当b＝，c＝时，＋取得最小值9.
(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N＋)，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
答案
解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是.
命题点2 求参数值或取值范围
典例 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
答案 B
解析 由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12
，
∴m≤12，∴m的最大值为12.
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，
即≥3恒成立，即知a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，
∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
跟踪训练 (1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由题意可得a>0，
①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；
②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1，故选C.
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
所以q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，
所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.
所以＋＝(m＋n)
＝
≥＝.
当且仅当＝时，等号成立，
又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．
故＋的最小值为.
利用基本不等式求最值
典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．
错解展示：
(1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 ，
∴≥2，∴x＋y≥2＝4，
∴x＋y的最小值为4.
(2)∵2x＋≥2，∴y＝1－2x－≤1－2.
∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－2]．
错误答案 (1)4 (2)(－∞，1－2]
现场纠错
解析 (1)∵x>0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)
＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，
∴当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋2，＋∞)．
答案 (1)3＋2 (2)[1＋2，＋∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．
1．(2017·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ab<，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立，故选A.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠ π， ∈ )
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg x(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，
而当x≠ π， ∈ 时，sin x的正负不定，
故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．(2018·青岛质检)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
答案 C
解析 依题意，得＋＝·(a＋b)
＝≥＝，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，
即＋的最小值是.
4．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
答案 B
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
解析 由＋＝知，a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当
即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
6．(2018·平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a> C．a< D．a≤
答案 A
解析 因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对任意x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对任意x∈(0，＋∞)，
＝≤＝，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴a≥.
7．(2018·天津滨海新区八校联考)已知a>b>0，且ab＝1，那么取最小值时，b＝________.
答案
解析 ＝＝(a－b)＋≥2，
当且仅当a－b＝时取等号，所以－b＝，
解得b＝.
8．(2017·襄阳一调)已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
答案
解析 ∵x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，
∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，
∴＋＝[(x＋1)＋2y]
＝＋
≥＋×2＝，
当且仅当即时取等号，
故＋的最小值为.
9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则 ＝x2＋4y2的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，∴ ＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当x＝－2y时取等号)．
综上可知，4≤x2＋4y2≤12.
10．(2017·成都诊断
)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
答案 2 20
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，
则y1＝ 1x( 1≠0)，y2＝( 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴ 1＝5， 2＝20，
∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·
＝≥
＝，
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
12．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
解 (1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3,
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x>3，y>3)．
(2)方法一 S＝1 808－3x－×
＝1 808－
≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
方法二 设S＝f(x)＝1 808－(x>3)，
则f′(x)＝－3＝，
令f′(x)＝0，则x＝40，
当00；
当x>40时，f′(x)<0.
所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.
13．(2017·广东清远一中一模)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9 C．6 D．1
答案 C
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，
∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，
∴b>1，a>1，
则＋≥2
＝2＝6(当且仅当a＝，b＝4时等号成立)，∴＋的最小值为6，故选C.
14．(2017·东莞调研)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，
由A在直线mx＋ny＋1＝0上，
可得－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立)．
15．设正实数x，y， 满足x2－3xy＋4y2－ ＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是( )
A．0 B．1
C. D．3
答案 B
解析 ＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时 ＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
16．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．
答案 27
解析 因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝.
又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15.
因为a－1>0，所以6(a－1)＋＋15
≥2＋15＝27，
当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.
