【数学】2020届一轮复习人教B版空间向量基本定理作业

【数学】2020届一轮复习人教B版空间向量基本定理作业

‎2020届一轮复习人教B版 空间向量基本定理 作业 ‎1.下列命题是真命题的有(　　)‎ ‎①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析:根据基底的含义可知②③是真命题.‎ 答案:C ‎2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.‎ 答案:B ‎3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是(　　)‎ A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=‎3‎‎2‎,μ=-2,‎ 所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.‎ 答案:C ‎4.‎ 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA‎1‎=a,AB=b,AC=c,则A‎1‎D=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c B.‎1‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c C.‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b-‎1‎‎2‎c D.-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c 解析:　A‎1‎D‎=A‎1‎C‎1‎+C‎1‎D=AC+‎1‎‎2‎(C‎1‎C+‎C‎1‎B‎1‎)=c+‎1‎‎2‎(-AA‎1‎‎+CA+‎AB)=c-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎(-c)+‎1‎‎2‎b=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c.‎ 答案:D ‎5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,OA=a,OO'‎=b,OC=c.若D是四边形OABC的中心,则(　　)‎ A.O'D=-a+b+c B.O'D=-b+‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎c C.O'D‎=‎‎1‎‎2‎a-b-‎1‎‎2‎c D.O'D‎=‎‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎c-‎1‎‎2‎b 解析:　O'D‎=O'O+‎OD=-b+‎1‎‎2‎‎(OA+‎OC)‎ ‎=-b+‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎c.‎ 答案:B ‎6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A‎1‎B‎1‎=a,A‎1‎D‎1‎=b,A‎1‎A=c,且f=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+c,k=‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+c,h=‎1‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b+c,则在f,k,h中与B‎1‎M相等的向量是　　　　　. ‎ 解析:求与B‎1‎M相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示B‎1‎M‎.B‎1‎M=B‎1‎B+BM=A‎1‎A+‎1‎‎2‎(BA+‎BC)=-‎1‎‎2‎A‎1‎B‎1‎‎+‎1‎‎2‎A‎1‎D‎1‎+‎A‎1‎A=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+c=f.‎ 答案:f ‎7.如图,已知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底OA‎,OB,‎OC表示向量MG的表达式为　　　　. ‎ 解析:　MG‎=MA+AG=‎1‎‎2‎OA+‎2‎‎3‎AD=‎1‎‎2‎OA+‎2‎‎3‎(OD-‎OA)=‎1‎‎2‎OA‎+‎‎2‎‎3‎‎1‎‎2‎OB‎+‎1‎‎2‎OC-‎OA=-‎1‎‎6‎OA‎+‎1‎‎3‎OB+‎‎1‎‎3‎OC.‎ 答案:-‎‎1‎‎6‎OA‎+‎1‎‎3‎OB+‎‎1‎‎3‎OC ‎8.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分BC'‎的比是3∶1,设MN=αAB+βAD+γAA'‎,则α,β,γ的值分别为　　　　,　　　　,　　　　. ‎ 解析:∵‎MN‎=MB+BN=‎1‎‎2‎DB+‎‎3‎‎4‎BC'‎ ‎=‎1‎‎2‎‎(DA+‎AB)+‎3‎‎4‎‎(BC+‎CC'‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎(-AD‎+‎AB)+‎3‎‎4‎‎(AD+‎AA'‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎AB‎+‎1‎‎4‎AD+‎‎3‎‎4‎AA'‎,‎ ‎∴α=‎1‎‎2‎,β=‎1‎‎4‎,γ=‎3‎‎4‎.‎ 答案:‎‎1‎‎2‎‎　‎1‎‎4‎　‎‎3‎‎4‎ ‎9.导学号90074030如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,AB=i,AD=j,AP=k,试用基底i,j,k表示向量PG‎,‎BG.‎ 解　‎PG‎=‎2‎‎3‎PN=‎‎2‎‎3‎‎1‎‎2‎‎(PC+PD)‎ ‎=‎1‎‎3‎‎(PA+AB+AD+AD-‎AP)‎ ‎=‎‎1‎‎3‎AB‎+‎2‎‎3‎AD-‎‎2‎‎3‎AP ‎=‎1‎‎3‎i+‎2‎‎3‎j-‎2‎‎3‎k.‎ BG‎=BC+CN+NG=BC+CN+‎‎1‎‎3‎NP ‎=‎AD‎-‎1‎‎2‎DC-‎‎1‎‎3‎PN ‎=‎AD‎-‎1‎‎2‎AB-‎‎1‎‎6‎AB‎+‎1‎‎3‎AD-‎‎1‎‎3‎AP ‎=‎‎2‎‎3‎AD‎-‎2‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎AP ‎=-‎2‎‎3‎i+‎2‎‎3‎j+‎1‎‎3‎k.‎ B组 ‎1.在以下3个命题中,真命题的个数是(　　)‎ ‎①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.‎ ‎②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线.‎ ‎③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析:①②是真命题,③是假命题.‎ 答案:C ‎2.‎ 如图,在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OA=2OM,N为BC中点,则MN等于(　　)‎ A.‎1‎‎2‎a-‎2‎‎3‎b+‎1‎‎2‎c B.-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c C.‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b-‎1‎‎2‎c D.-‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b-‎1‎‎2‎c 解析:　MN‎=ON-OM=‎1‎‎2‎(OB+‎OC)-‎1‎‎2‎OA=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c.‎ 答案:B ‎3.已知A-BCD是四面体,O为△BCD内一点,则AO‎=‎1‎‎3‎(AB+AC+‎AD)是O为△BCD的重心的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 解析:若O为△BCD的重心,则AO‎=‎1‎‎3‎(AB+AC+‎AD),反之也成立.‎ 答案:C ‎4.‎ 如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若AG=xAB+yAD+zAP,试求x+y+z的值.‎ 解取CD的中点H,连接PH(图略).∵G为△PCD的重心,‎ ‎∴PG‎=‎‎2‎‎3‎PH.‎ ‎∴‎AG‎=AP+PG=AP+‎‎2‎‎3‎PH ‎=AP‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎(PC+‎PD)=‎AP‎+‎1‎‎3‎PC+‎‎1‎‎3‎PD ‎=AP‎+‎1‎‎3‎(AC-‎AP)+‎1‎‎3‎‎(AD-‎AP)‎ ‎=‎‎1‎‎3‎AP‎+‎1‎‎3‎AC+‎‎1‎‎3‎AD ‎=‎1‎‎3‎AP‎+‎2‎‎3‎AD+‎‎1‎‎3‎AB.‎ ‎∴x=‎1‎‎3‎,y=‎2‎‎3‎,z=‎1‎‎3‎,∴x+y+z=‎4‎‎3‎.‎ ‎5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.‎ 证明∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.‎ ‎∵AB=2EF,‎ ‎∴AC=2EG.‎ ‎∵M为AD的中点,∴MA=‎1‎‎2‎DA.‎ ‎∴MG‎=MA+AE+EG=‎1‎‎2‎DA+AE+‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎2‎CB+‎1‎‎2‎AC+AE=‎1‎‎2‎AB+AE=‎AF.‎ ‎∴MG‎∥‎AF.‎ 又AF⫋平面ABFE,GM⊈平面ABFE,‎ ‎∴GM∥平面ABFE.‎ ‎6.‎ 导学号90074031如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点,且AM=MB,AN=‎1‎‎2‎ND,AR=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP与AG的比.‎ 解设AP=mAG,由AG‎=AB+AD+‎AE=2AM+3AN‎+‎‎3‎‎2‎AR,得AP=2mAM+3mAN‎+‎3‎‎2‎mAR.‎ ‎∵P,M,R,N四点共面,‎ ‎∴2m+‎3‎‎2‎m+3m=1,解得m=‎2‎‎13‎,即APAG‎=‎‎2‎‎13‎.‎