河北省石家庄市元氏县第四中学2019-2020学年高二第二学期摸底考试数学试卷

河北省石家庄市元氏县第四中学2019-2020学年高二第二学期摸底考试数学试卷

数学试题 ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知复数z满足（z+2）（1+i）＝2i，则＝（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．1+i ‎2．设X～N（ì1，σ1），Y～N（ì2，σ2），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．ì1＞ì2，σ1＜σ2 B．ì1＜ì2，σ1＜σ2 ‎ C．ì1＜ì2，σ1＞σ2 D．ì1＞ì2，σ1＞σ2‎ ‎3．已知（x+）8展开式中x4项的系数为112，其中a∈R，则此二项式展开式中各项系数之和是（　　）‎ A．38 B．1或‎38 ‎ C．28 D．1或28‎ ‎4．若z＝，则z在复平面内对应点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．随机变量î服从二项分布î～B（n，p），且Eî＝300，Dî＝200，则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将两颗骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知复数（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（　　）‎ ‎①复数z在复平面内对应的点在第四象限；‎ ‎②；‎ ‎③z的虛部为﹣2i；‎ ‎④．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（　　）‎ A．48 B．‎72 ‎C．90 D．96‎ ‎9．二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（　　）‎ A．﹣160 B．﹣‎80 ‎C．80 D．160‎ ‎10．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（　　）‎ A．300 B．‎216 ‎C．180 D．162‎ ‎11．对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），则下列说法不正确的是（　　）‎ A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ‎ B．由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心（x，y） ‎ C．若变量x与y之间的相关系数r＝0.80，则变量x与y之间具有很强的线性相关性 ‎ D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 ‎12. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为î，则î的数学期望为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．某车队有7辆车，现在要调出4‎ 辆，再按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有　 　种．（用数字作答）‎ ‎14．展开式中，二项式系数最大的项是　 　．‎ ‎15．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X≤2）＝　 　．‎ ‎16．设随机变量X～N（3，4），且P（X＞2）＝0.7，则P（X≥4）＝　 　．‎ 三．解答题 ‎17．已知m∈R，复数z＝（m﹣2）+（m2﹣9）i．‎ ‎（1）若z对应的点在第一象限，求m的取值范围；‎ ‎（2）若z的共轭复数与复数相等，求m的值．‎ ‎18．已知的展开式中第7项是常数项．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项，‎ ‎19．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）写出a的值；‎ ‎（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；‎ ‎（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．如表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格（单位：千元/‎ 吨）数据：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 平均价格y（单位：千元/吨）‎ ‎2.96‎ ‎3.22‎ ‎3.49‎ ‎3.70‎ ‎4.05‎ ‎4.46‎ ‎4.81‎ ‎（1）从表中数据可认为x和y线性相关性较强，求出以x为解释变量y为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格．预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨？‎ 参考数据：，，，；‎ 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝＝，＝﹣．‎ ‎21．某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]的分组作出频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；‎ ‎（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全如表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？‎ 男生 女生 总计 不合格 合格 ‎70‎ 总计 ‎140‎ ‎160‎ ‎300‎ 参考公式：，其中n＝a+b+c+d．‎ 参考附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎22．某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表：‎ 一次购物款（单位：元）‎ ‎[0，50）‎ ‎[50，100）‎ ‎[100，150）‎ ‎[150，200）‎ ‎[200，+∞）‎ 顾客人数 ‎20‎ a ‎30‎ ‎20‎ b 统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．‎ ‎（Ⅰ）试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；‎ ‎（Ⅱ）现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量î的分布列与数学期望．‎ 数学参考答案与解析（答案仅供参考）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1【解答】解：（z+2）（1+i）＝2i，‎ ‎∴（z+2）（1+i）（1﹣i）＝2i（1﹣i），‎ ‎∴z+2＝i+1，可得z＝﹣1+i．‎ 则＝﹣1﹣i．‎ 故选：B．‎ ‎2．【解答】解：由图可知，X的正态分布曲线的的对称轴小于Y的正态分布曲线的对称轴，则ì1＜ì2；‎ 再由正态分布曲线的图象满足方差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，‎ 方差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得σ1＜σ2，‎ 故选：B．‎ ‎3．【解答】解：（x+）8展开式的通项为．‎ 令8﹣2r＝4，‎ ‎∴r＝2．‎ ‎∴，‎ ‎∴a＝±2．‎ 当a＝2时，令x＝1，则展开式系数和为（1+）8＝38．‎ 当a＝﹣2时，令x＝1，则展开式系数和为（1﹣）8＝1．‎ 故选：B．‎ ‎4．【解答】解：∵z＝＝‎ ‎＝，‎ ‎∴z在复平面内对应点的坐标为（2，1），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎5．【解答】解：随机变量î服从二项分布î～B（n，p），且Eî＝300，Dî＝200，‎ 可得：np＝300，np（1﹣p）＝200，‎ 解得p＝．‎ 故选：B．‎ ‎6．【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，‎ 即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，‎ ‎“至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5＝11，‎ ‎“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C21×5＝10种，‎ 故P（A|B）＝．‎ 故选：A．‎ ‎7．【解答】解：∵＝，‎ ‎∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限；‎ ‎|z|＝；z的虚部为﹣2；．‎ 故①②正确；③④错误．‎ 故选：B．‎ ‎8．【解答】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44＝24种情况，‎ ‎②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，‎ 在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43＝24种选法，‎ 则此时共有3×24＝72种选法，‎ 则有24+72＝96种不同的参赛方案；‎ 故选：D．‎ ‎9．【解答】解：二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，‎ 即﹣＝9，∴n＝6，或n＝﹣3（舍去）．‎ 故展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r．‎ 令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得该展开式中的常数项为﹣160，‎ 故选：A．‎ ‎10．【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，‎ 第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，‎ 组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44＝72‎ 第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，‎ 组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]＝108‎ ‎∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72＝180‎ 故选：C．‎ ‎11. 【解答】解：对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据．‎ 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确；‎ 由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心（x，y），故B正确；‎ 若变量x与y之间的相关系数r＝0.80＞0.75，则变量x与y之间具有很强的线性相关性，故C正确；‎ 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎12．【解答】解：由题意得：（0.006+0.006+0.01+0.054+x+0.006）×10＝1，解得x＝0.018，‎ 由题意得[80，90）内的人数为50×0.018×10＝9人，‎ ‎[90，100]内的人数为50×0.006×10＝3人，‎ 从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，‎ 记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为î，‎ 则î的可能取值为0，1，2，‎ P（î＝0）＝＝，‎ P（î＝1）＝＝，‎ P（î＝2）＝＝，‎ 则î的数学期望Eî＝＝．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：由题意知，本题是一个计数原理的应用，‎ 当甲车排第①个时，乙车可排2、3、4号，有3种选择；‎ 当甲车排第②个时，乙车可排3、4号，有2种选择；‎ 当甲车排第③个时，乙车只可排4号，只有1种选择；‎ 除甲、乙两车外，在其余5辆车中任意选取2辆按顺序排列，有A52种选法；‎ 因此共有：（3+2+1）A52＝120种不同的调度方案．‎ 故答案为：120‎ ‎14．【解答】解：∵展开式中，通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•，它的二项式系数的最大值为，此时，r＝3，该项为﹣•x﹣2＝﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎15．【解答】解：有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），‎ 每次取到次品的概率为，‎ X表示取得次品的次数，则X～B（3，），‎ P（X≤2）＝1﹣P（X＝3）＝1﹣＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16.【解答】解：由题意可得P（X≥4）＝P（X≤2）＝1﹣P（X＞2）＝1﹣0.7＝0.3．‎ 故答案为：0.3．‎ 三、解答题 ‎17. 【解答】解：（1）由题意得，解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是m＞3；‎ ‎（2）∵z＝（m﹣2）+（m2﹣9）i ‎∴，‎ ‎∵与复数相等，‎ ‎18.【解答】解：（1）展开式的通项为 因为第7项为常数项，‎ 所以r＝6时为常数项，‎ 所以n﹣9＝0，‎ 即n＝9．‎ ‎（2）因为n＝9，根据展开式中间项的二项式系数最大，‎ 所以二项系数最大的项为T5与T6，‎ 即，．‎ ‎19.【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，‎ a＝0.03，‎ ‎（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，‎ ‎∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，‎ ‎∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，‎ 同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，‎ 学生人数约为0.35×1200＝420人，‎ 所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，‎ ‎（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，‎ 同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，‎ 故X的可能取值为：1，2，3，‎ P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（X）＝1×+2×+3×＝．‎ ‎20. 【解答】解：（1），＝．‎ ‎＝＝＝≈0.31，‎ ‎＝﹣＝3.81﹣0.31×4＝2.57．‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为；‎ ‎（2）2030年对应的年份代号为20，‎ 由（1）可知，．‎ 故预测2030年该原料的价格为8.77千克．‎ 又解不等式0.31x+2.57≥10，得x≥23.9．‎ 故年份代号至少为24时，该原料价格才能突破1万元/吨．‎ 年份代号为24时，对应2036年．‎ 故预估该原料价格在2036年突破1万元/吨．‎ ‎21. 【解答】解：（I）平均每天学习时，‎ ‎（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：‎ 男生 女生 总计 不合格 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ 合格 ‎70‎ ‎110‎ ‎180‎ 总计 ‎140‎ ‎160‎ ‎300‎ ‎，‎ 所以有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关．‎ ‎22. 【解答】解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有 b+20＝100×30%，b＝10；a＝100﹣（20+30+20+10）＝20．‎ 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 4000×＝2400．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝＝，‎ 故4人购物获得纪念品的数量î服从二项分布î～B（4，），‎ P（î＝0）＝＝，‎ P（î＝1）＝＝，‎ P（î＝2）＝＝，‎ P（î＝3）＝＝，‎ P（î＝4）＝＝，‎ ‎∴î的分布列为：‎ î ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴î数学期望为Eî＝4×＝．‎