高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评13 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评13 word版含答案

学业分层测评(十三) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所 成的角； ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 根据二面角的定义知①②③都不正确． 【答案】 A 2．如图 2326，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图中与平面 PCD 垂直的平面是( ) 图 2326 A．平面 ABCD B．平面 PBC C．平面 PAD D．平面 PBC 【解析】 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥CD，由四边形 ABCD 为矩 形得 CD⊥AD，从而有 CD⊥平面 PAD，所以平面 PCD⊥平面 PAD.故 选 C. 【答案】 C 3．在四面体 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝ 90°，ABDC 为直二面角，E 是 CD 的中点，则∠AED 的度数为( ) A．45° B．30° C．60° D．90° 【解析】 如图，设 AB＝BC＝CD＝AD＝a， 取 BD 的中点为 F，连接 AF，CF， 则由题意可得 AF＝CF＝ 2 2 a. 在 Rt△AFC 中，易得 AC＝a， ∴△ACD 为正三角形． 又∵E 是 CD 的中点， ∴AE⊥CD，即∠AED＝90°. 【答案】 D 4．如图 2327，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是 圆上一点(不同于 A、B)且 PA＝AC，则二面角 PBCA 的大小为( ) 【导学号：09960079】 图 2327 A．60° B．30° C．45° D．15° 【解析】 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，∴∠PCA 为二面角 PBCA 的平面角．在 Rt△PAC 中，由 PA＝AC 得∠PCA＝45°， ∴C 对． 【答案】 C 5．如图 2328，在三棱锥 PABC 中，已知 PC⊥BC，PC⊥AC， 点 E，F，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( ) 图 2328 A．平面 EFG∥平面 PBC B．平面 EFG⊥平面 ABC C．∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角 D．∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角 【解析】 A 正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB ＝C，∴平面 EFG∥平面 PBC； B 正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF， ∴GF⊥BC，GF⊥AC，又 BC∩AC＝C， ∴GF⊥平面 ABC，∴平面 EFG⊥平面 ABC； C 正确，易知 EF∥BP，∴∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角； D 错误，∵GE 与 AB 不垂直，∴∠FEG 不是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角． 【答案】 D 二、填空题 6．矩形 ABCD 的两边 AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 ABCD，且 PA ＝4 3 5 ，则二面角 ABDP 的度数为________． 【解析】 过点 A 作 AE⊥BD，连接 PE，则∠AEP 为所求角． ∵由 AB＝3，AD＝4 知 BD＝5， 又 AB·AD＝BD·AE， ∴AE＝12 5 . ∴tan ∠AEP＝ 4 3 5 12 5 ＝ 3 3 .∴∠AEP＝30°. 【答案】 30° 7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两 边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几 何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面 分别垂直，那么这两个二面角相等或互补． 你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”) 【解析】 如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 ABC1D1⊥ 平面 BCC1B1，平面 CDD1C1⊥平面 ABCD，而二面角 AC1D1C 为 45°， 二面角 ABCC1 为 90°. 则这两个二面角既不相等又不互补． 【答案】 错误 三、解答题 8．如图 2329，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD∥BC， ∠ABC＝90°，PA⊥平面 ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2 3，BC ＝6.求证：平面 PBD⊥平面 PAC. 图 2329 【证明】 ∵PA⊥平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD， ∴BD⊥PA.又 tan ∠ABD＝AD AB ＝ 3 3 ， tan ∠BAC＝BC AB ＝ 3，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝ 90°，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面 PAC. 又 BD⊂平面 PBD，∴平面 PBD⊥平面 PAC. 9．(2016·临沂高一检测)如图 2330，在三棱锥 PABC 中，PC⊥ 底面 ABC，AB⊥BC，D，E 分别是 AB，PB 的中点. 【导学号：09960080】 图 2330 (1)求证：DE∥平面 PAC； (2)求证：AB⊥PB； (3)若 PC＝BC，求二面角 PABC 的大小． 【解】 (1)证明：因为 D，E 分别是 AB，PB 的中点， 所以 DE∥PA. 又因为 PA⊂平面 PAC，DE⊄平面 PAC， 所以 DE∥平面 PAC. (2)证明：因为 PC⊥底面 ABC，AB⊂底面 ABC， 所以 PC⊥AB. 又因为 AB⊥BC，PC∩BC＝C， 所以 AB⊥平面 PBC， 又因为 PB⊂平面 PBC， 所以 AB⊥PB. (3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC， 所以∠PBC 即为二面角 PABC 的平面角， 因为 PC＝BC，∠PCB＝90°， 所以∠PBC＝45°， 所以二面角 PABC 的大小为 45°. [自我挑战] 10．如图 2331 所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是 ( ) 图 2331 A．AD⊥平面 BCD B．AB⊥平面 BCD C．平面 BCD⊥平面 ABC D．平面 ADC⊥平面 ABC 【解析】 在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°， ∠BAD＝90°，所以 BD⊥CD， 又平面 ABD⊥平面 BCD，且平面 ABD∩平面 BCD＝BD， 所以 CD⊥平面 ABD，所以 CD⊥AB， 又 AD⊥AB，AD∩CD＝D， 故 AB⊥平面 ADC，从而平面 ABC⊥平面 ADC. 【答案】 D 11．如图 2332 所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝ 3. 图 2332 (1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB； (2)求二面角 ABEP 的大小． 【导学号：09960081】 【解】 (1)证明：如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°，知△BCD 是等边三角形． 因为 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD，所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD， BE⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB＝A， 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE⊂平面 PBE， 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)由(1)知，BE⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB， 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE， 所以∠PBA 是二面角 ABEP 的平面角． 在 Rt△PAB 中，tan∠PBA＝PA AB ＝ 3， 则∠PBA＝60°. 故二面角 ABEP 的大小是 60°.