【数学】2021届一轮复习人教版文45圆的方程作业
课时作业45 圆的方程
[基础达标]
一、选择题
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由得
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
3．[2020·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，
即>，所以原点在圆外．
答案：B
4．[2020·湖南长沙一模]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A.
答案：A
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝，
当k＝0时，rmax＝＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案：D
二、填空题
6．已知方程x2＋y2－2mx＋2y＝3m－5表示圆，则实数m的取值范围为________．
解析：由D2＋E2－4F＝4m2＋4－4(－3m＋5)>0，解得m>1或m<－4.
答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞)
7．[2020·天津七校联考]已知M(0,2)，N(2，－2)，以线段MN为直径的圆的标准方程为________．
解析：由题意易得圆心的坐标为(1,0)，|MN|＝＝2，所以圆的半径为，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝5.
答案：(x－1)2＋y2＝5
8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
解析：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，
即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
答案：(－∞，1)
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．
解析：解法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2
－4F>0)，则圆心坐标为.
由题意可得
消去F得，
解得，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
解法二 因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线l的方程是
y＋＝－，
即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组的解，
解得，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长
r＝|AC|＝＝5，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解上式得，16－2≤t≤16＋2，
所以所求的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2,3)，因为表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，所以的最大为2＋，最小值为2－.
[能力挑战]
11．[2020·河南豫北名校联考]圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
答案：D
12．[2020·湖南雅礼中学月考]若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a＝( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：由题意知圆心为(3,1)，半径是2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0的距离为1，所以圆心到直线ax－y＋1＝0的距离是1，即＝1，得a＝±，故选B.
答案：B
13．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
解析：设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由＝1，解得k＝±.
答案： －
