江西省南昌市2019年高三一模考试 理科数学（扫描版）

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1 2 3 江西省南昌市 2019 年高三一模考试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B C D D A C D A A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分． 13． 1 2 14. 3 3 15. 7 9 16. 33 2 三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．【解析】（Ⅰ）由已知 3sin2)0( == f ， 又 2||   ，所以 3  = ，所以 )3sin(2)(  += xxf ………3 分 由 (2)0f = ，即 2sin(2)0 3  +=，所以 2 3 k+= ， kZ ， 解得 26 k =−， kZ ，而0 2 ，所以 3  = . ………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， )33sin(2)(  += xxf ， 令 ()3fx= ， 得 2333xk +=+ 或 22333xk +=+ ， Zk  ， 所以 6xk= 或 61xk=+，由图可知， (1,3)B . ………8 分 所以 )3,1(),3,2( −=−= CBCA ，所以 2||,7|| == CBCA ， ………10 分 所以 14 75 72 5 |||| cos === CBCA CBCAACB . ……………………………………………12 分 18．【解析】（Ⅰ）证明：因为 ⊥1CC 底面 ABCD ，所以 BDCC ⊥1 . 因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD ⊥ . 又 CCCAC =1 ，所以 ⊥BD 平面 1ACC .………3 分 又由四棱台 1111 DCBAABCD − 知， 11 ,,, CCAA 四点共面. 所以 1AABD ⊥ . ………5 分 （Ⅱ）如图，设 AC 交 BD 于点O ，依题意， OCCA //11 且 OCCA =11 ， 所以 11 //CCOA ，且 11 CCOA = . 所以 ⊥OA1 底面 . 以O 为原点， 1,, OAOBOA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 11(2 3,0), (0,0,4), ( 2 3,0,4), (0,2,0)A A C B− ， 由 11 1 2A B AB= 得， 1( 3,1,4)B − .因为 E 是棱 1BB 的中点，所以 )2,2 3,2 3(−E .………8 分 所以 )0,0,32(),2,2 3,2 3( 111 −=−= CAEA . 设 ),,(1 zyxn = 为平面 11CEA 的法向量，则    = = 0 ,0 11 111 EAn CAn ，即    =+− =− 022 3 2 3 ,032 zyx x ， 取 3=z ，则 )3,4,0(1 =n . 又因为 )0,1,0(2 =n 为平面 CCA 11 的法向量， 所以 5 4 |||| ,cos 21 21 21 == nn nnnn ， 又由图可知，二面角 CCAE −− 11 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 5 4 . ……………………………………………12 分 19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知， B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的频率为 2.0 ， 用频率估计概率，得 型节能灯使用寿命超过 小时的概率为 5 1 . 所以一年内一支 型节能灯在使用期间需更换的概率为 5 4 ，. ………3 分 所以一年内 5 支恰好更换了 2 支灯的概率为 223 5 4132()()55625C =.. ………5 分 （Ⅱ）共需要安装 5 支同种灯管， 若选择 A 型节能灯，一年共需花费 3512036005200.7510870 −+= 元；………7 分 若选择 B 型节能灯，由于 B 型节能灯一年内需更换服从二项分布 4( 5 , )5B ， 故一年需更换灯的支数的期望为 4545=支， ………9 分 故一年共需花费 34(55)2536005550.75 10967.55 −++ = 元. ………11 分 因为967.5870 ，所以该商家应选择 A 型节能灯. ………………………………………12 分 20．【解析】（Ⅰ）椭圆 E 与圆 O ： 221xy+=相切，知 2 1b = ； ……………………………2 分 又椭圆 上动点与圆 上动点间距离最大值为 26 2 + ，即椭圆中心 到椭圆最远距离为 6 2 ， 得椭圆长半轴长 6 2a = ，即 2 3 2a = ； 所以轨迹 E 的方程为 2 22 13 x y+=. ……………………………………………………………5 分 （Ⅱ）①当 1l 与 x 轴重合时， 2l 与圆相切，不合题意. ②当 xl ⊥1 轴时， )0,1(−M ， 1:1 =xl ， 3|| =AB ，此时 3 3223 32 2 1 ==ABMS .…6 分 ③当 1l 的斜率存在且不为 0 时，设 1:1 += myxl ， 0m ，则 11:2 +−= ymxl ， 4 设 ),(),,( 2211 yxByxA ，由 2 2 1, 2 13 x my x y =+ += 得， 22(23)410mymy++−= ， 所以 1212 22 41,2323 myyyy mm+= −= − ++ ， ……………8 分 所以 22 2 21 2 23121||1|| 23 mmABmyy m ++=+−= + . 由    =+ +−= 1 ,11 22 yx ymx 得， 02)11( 2 2 =−+ ymym ，解得 1 2 2 += m my M ， …………9 分 所以 2 2 12||1|| 1MMNy m m =+= + ， 所以 22 2 2 11231212||||2223 1ABM mmSABMN m m ++== + + 2 2 2 2 232123 223 21 21 m m m m +==+ ++ + ， ……………10 分 因为 2211m +， 所以 2 2 22122 21 m m ++ + ， 当且仅当 2 2m = 时取等号. 所以 6 2ABMS  （ 236 32 ） 综上， ABM 面积的最大值为 6 2 ，此时直线 1l 的方程为 2 12xy=+ . ……………12 分 21．【解析】（Ⅰ） )11(lne)( −++−= axxxxf x ， ……………2 分 令 )e,1(,11ln)( −++−= xaxxxxg ，则 )(e)( xgxf x= ， 01)( 2 2 +−−= x xxxg 恒成立，所以 )(xg 在 )e,1( 上单调递减， ……………4 分 所以 ( )(1)10g xga=−  ，所以 ( ) 0fx = 在 内无解. 所以函数 )(xf 在区间 )e,1( 内无极值点. ……………5 分 （Ⅱ）当 2ln=a 时， )2lnln(e)( ++−= xxxf x ，定义域为 ),0( + ， )12ln1(lne)( −++−= xxxxf x ，令 12ln1ln)( −++−= xxxxh ， ……………6 分 由（Ⅰ）知， )(xh 在 ),0( + 上单调递减，又 02 1)2 1( =h ， 012ln)1( −=h ， 所以存在 )1,2 1(1 x ，使得 0)( 1 =xh ，且当 ),0( 1xx 时， 0)( xh ，即 0)(  xf ， 当 ),( 1 + xx 时， 0)( xh ，即 0)(  xf . ……………8 分 所以 )(xf 在 ),0( 1x 上单调递增，在 ),( 1 +x 上单调递减， 所以 )2lnln(e)()( 111max 1 ++−== xxxfxf x . ……………9 分 由 0)( 1 =xh 得 012ln1ln 1 11 =−++− xxx ，即 1 11 112lnln xxx −=+− ， 所以 )11(e)( 1 1 1 xxf x −= ， )1,2 1(1 x ……………10 分 令 )1,2 1(),11(e)( −= xxxr x ，则 0)111(e)( 2 +−= xxxr x 恒成立，所以 )( xr 在 )1,2 1( 上 单调递增，所以 1e()()(1)02rrxr−== ，所以 0)( max xf ，………11 分 又因为 12 e)2ln2ln2 1(e)2 1( 2 1 −−=+−−=f ， 所以 0)(1 max − xf ， 所以若 )()( Zkkxf  恒成立，则 k 的最小值为 0 . …12 分 22．【解析】（Ⅰ）由参数方程    += +=   s in23 c os24 y x ，得普通方程 22(4)(3)4xy-+-= ， 所以极坐标方程 2 8cos6sin210rrqrq--+= . ……………5 分 （Ⅱ）设点 ,AB对应的参数分别为 1t 、 2t ，将    += += ty tx 31 ,2 代入得 01)13(2 =++− tt ， 所以 121 =tt ， ……………8 分 直线    += += ty txl 31 ,2: （t 为参数）可化为      += += )2(2 31 ),2(2 12 ty tx ， 所以 121 2|| || | 2|| 2|4 ||4MAMBttt t=== . ……………10 分 23．【解析】（Ⅰ）因为 22( ) | | | 2 3| | ( ) ( 2 3) |f x x m x m x m x m= + + - - ? - - - ， 所以 22( )|23|(1)22fxmmm++=++ . ……………5 分 （Ⅱ）由已知， |12|2)2( 2 +++= mmf ， ①当 2 1−m 时， (2)16f £ 等价于 16322 ++ mm ，即 14)1( 2 +m ， 解得 114114 −−− m ，所以 1142 1 −− m ； ……………7 分 ②当 2 1−m 时， 等价于 16122 +− mm ， 解得 53 − m ，所以 2 13 −− m . ……………9 分 综上，实数 m 的取值范围是 ]114,3[ −− . ……………10 分