2012三明3月份质检文数试卷

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2012三明3月份质检文数试卷

‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式:‎ 样本数据,…,的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积,为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积,为高 其中为球的半径 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“”是“”的 ‎ A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.已知平面向量,若,则实数等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知是虚数单位,且复数是纯虚数,则实数的值为 ‎ A. B.‎1 C.0或1 D.0 ‎ ‎5.阅读如图所示的程序框图,运算相应程序,若输入的,则输出应为 ‎ A.    B. C. D. ‎ ‎6.已知,若.则 ‎ A.   B. ‎ C. D.‎ ‎7.若是第四象限角,且,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知是两条不同的直线,是三个不同的 平面,下列命题正确的是 ‎ A.若,则.‎ B.若,则.‎ C.若,则.‎ D.若,则. ‎ ‎9.如图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图.现有如下结论:‎ ‎①; ②乙的成绩较稳定;‎ ‎③甲的中位数为83; ④乙的众数为80。‎ 则正确的结论的序号是 A.①②③    B.②③④   ‎ C.①③④    D.①②④‎ ‎10.已知函数,若,则函数在定义域内 A.有最小值,但无最大值. B.有最大值,但无最小值.‎ C.既有最大值,又有最小值. D.既无最大值,又无最小值.‎ ‎11.若曲线上存在点,使到平面内两点,距离之差为8,则称曲线为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是 A.   B.  C.  D.‎ ‎12.已知线段,,对于自然数(有,则 A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应位置.‎ ‎13.已知圆,过原点的直线被圆所截得的弦长最长,则直线的方程是 .‎ ‎14.在中,,,,则的大小为 .‎ ‎15.若,则函数有零点的概率为 .‎ ‎16.袋内有50个球,其中红球15个,绿球12个,蓝球10个,黄球7个,白球6个.任 意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有8个同色的球,那么从袋内摸出的球的只数至少应是 个.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列满足.‎ ‎(Ⅰ)若,求证数列是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若数列是等差数列,,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级,等级系数依次为,,,,.现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.45‎ ‎(Ⅰ)在所抽取的20件样品中,等级系数为的恰有3件,等级系数为的恰有2件,求的值;‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为D的3件样品记为,等级系数为的2件样品记为,现从这5件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同),试写出所有可能的结果,并求取出的两件样品是同一等级的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图1,正方体的棱长为,是的中点.现截去部分几何体后得到如图2所示的四棱锥.‎ ‎(Ⅰ)求四棱锥的体积;‎ ‎(Ⅱ)求证:面.‎ C A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 图1‎ A1‎ B1‎ D A E 图2‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分) ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)将函数的图象向上平移个单位后得到函数的图象,求的最 大值;‎ ‎(Ⅱ)设,若,问:是否存在直线为坐标原点),使得该直线与曲线相切?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知、分别是椭圆()的左、右焦点,、分别是直线(是大于零的常数)与轴、轴的交点,线段的中点在椭圆上.‎ ‎(Ⅰ)求常数的值;‎ ‎(Ⅱ)试探究直线与椭圆是否还存在异于点的其它公共点?请说明理由;‎ ‎(Ⅲ)当时,试求面积的最大值,并求面积取得最大值时椭圆的方程.‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知函数,是大于零的常数. ‎ ‎(Ⅰ)当时,求的极值;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上为单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)证明:曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立 .‎ ‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C D C B A D C A B C ‎13.  14.   15.    16.35‎ ‎17.解:(Ⅰ)由得,,,‎ 所以是以为首项,为公比的等比数列.------------------------------5分 ‎(Ⅱ)解法一:由,及,‎ 两式相减,得.‎ 又是等差数列,于是,‎ 所以,解得,‎ 于是,代入得,于是.---------------9分 ‎,‎ 于是.---------- ---------------12分 解法二:∵是等差数列,∴设(为常数),‎ ‎ 即 ‎ 从而是常数列,公差,故.-----------------------------------9分 下同解法一.‎ ‎18.解:(Ⅰ)由频率分布表得,即.‎ 因为抽取的20件样品中,等级系数为的恰有3件,所以.‎ 等级系数为的恰有2件,所以.‎ 从而。‎ 所以. -----------------------------------------6分 ‎(Ⅱ)从样品,中任取两件,所有可能的结果为:‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,,,共计10个 设事件表示“从样品,中任取两件,其等级系数相等”,‎ 则包含的基本事件为:,,,,共4个.‎ 故所求的概率. ---------------------------------------12分 ‎19.解:(Ⅰ)如图,将几何体补形成正方体,-----------------------------------------3分 则--------7分 ‎(Ⅱ)在正方体中,截面是矩形,‎ 连接,交于,则为中点。‎ 又是的中点,连接,则是的中位线,于是,‎ 又面, ,于是面。-------------12分 A B C D E O A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ B1‎ C D A E O ‎20.解:(Ⅰ)函数,-------------3分 所以,‎ 从而,此时.-----------------------------------6分 x y O ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ P ‎ (Ⅱ)由知,区域如右图所示.‎ 于是直线的斜率的取值范围是,---------------------------------------9分 又由知,,于是,‎ 因为,所以直线不可能与函数的图象相切.-------------12分 ‎21.解:(Ⅰ)由已知可得、,故的中点为,‎ 又点在椭圆上,∴,所以.---------------------4分 ‎(Ⅱ)(解法一)由(Ⅰ)得,‎ 与方程联立得:,‎ 即,‎ 由于,‎ ‎∴此方程有两个相等实根,‎ 故直线与椭圆相切,切点为,‎ 除此之外,不存在其他公共点. ----------------------------------------------8分 ‎(解法二)由(Ⅰ)得,与方程联立得:‎ 所以则 ‎∴和是方程的两根,‎ 又,∴此方程有两个相等实根,即,‎ ‎∴直线与椭圆的公共点是唯一的点,‎ 即除点以外,不存在其他公共点.-----------------------------------------------------8分 ‎(Ⅲ)当时,,‎ 所以,‎ 当且仅当时,等式成立,故 此时,椭圆的方程为:.-------------------------------------------------12分 ‎22.解:(Ⅰ)‎ ‎,当,‎ 令,得,‎ 在区间,,上分别单调递增,单调递减,单调递增,‎ 于是当时,有极大值;当时有极小值.------------4分 ‎(Ⅱ),若函数在区间上为单调递增,‎ 则在上恒成立,‎ 当,即时,由得;‎ 当,即时,,无解;‎ 当,即时,由得.‎ 综上,当函数在区间上为单调递增时,或.--------10分 ‎(Ⅲ),,‎ 令,得,‎ 在区间,,上分别单调递增,单调递减,单调递增,‎ 于是当时,有极大值;‎ 当时,有极小值.‎ 记,, 的中点, ‎ 设是图象任意一点,由,得,‎ 因为 ‎,‎ 由此可知点在曲线上,即满足的点在曲线上.‎ 所以曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立 . ----------- -----------------------14分 草稿纸
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