2012三明3月份质检理数试卷

2012三明3月份质检理数试卷

‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，且，则等于　　　　　　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若等差数列的前5项和，则等于　　　　　　　　　 ‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎3．“”是“直线与直线互相垂直”的 A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件　　　　　　　D．既不充分也不必要条件 开始 结束 输入a,b,c a=b a=c a>b?‎ a>c?‎ 输出a Y Y N N ‎4．右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是 A．找出、、三个数中最大的数 ‎ B．找出、、三个数中最小的数 ‎ C．找出、、三个数中第二大的数 ‎ D．把的值赋给a ‎5．若是空间中互不相同的直线，是不重合的两平面，则下列命题中为真命题的是 A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C． 若，则 ‎ D．若，则 ‎6．已知双曲线：的离心率，过双曲线的左焦点作：的两条切线，切点分别为、，则的大小等于 ‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎7．已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x图象的一条对称轴方程为，则实数a的值为 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． ‎ ‎8．已知正实数,满足不等式,则函数的图象可能为 ‎9．在Rt△PAB中，PA＝PB，点C、D分别在PA、PB上，且CD∥AB，AB＝3，AC＝，则 的值为 A．－7 B．‎0 C．－3 D．3‎ ‎10．若数列满足，其中、是常数，则称数列为有界数列，是数列的下界，是数列的上界．现要在区间中取出20个数构成有界数列，并使数列有且仅有两项差的绝对值小于，那么正数的最小取值是 A． B． C．7 D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．已知复数在复平面内的对应点分别为点A、B，则A、B的中点所对应的复数是 ．‎ ‎12．已知函数，且则函数g(x)的最小值是 ．‎ ‎13．若，且，则 ．‎ ‎14．已知函数(其中，且)的图象恒过定点A，而点A恰好在直 线上（其中），则的最小值为 ．‎ ‎15．如图，标识为①、②、③、④的四张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写 上一个英文字母．现在规定：当牌的一面写的是数字3时，它的另一面必须写字母M．为了检查这四张牌是否符合规定，你仅需翻看的牌的标识为 ．‎ ‎6‎ ‎3‎ M U ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 某工厂共有工人40人，在一次产品大检查中每人 的产品合格率（百分比）绘制成频率分布直方图，‎ 如图所示．‎ ‎(Ⅰ) 求合格率在［50，60）内的工人人数；‎ ‎(Ⅱ)为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70）内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X表示所选工人合格率在[ 60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 侧视 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明： ‎ AE∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角 为60°，求四棱锥P－ABCD的侧 视图的面积．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．‎ ‎ (Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎ (Ⅱ）动直线恒过点与抛物线交于A、B两点，与轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知函数的导函数是，在处取得极值，且 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求的极大值和极小值；‎ ‎（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有 成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最 小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB表示窗户上、下边框的距离，AB=m，CD表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为（）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD和遮阳篷与窗户上边框的距离BC各为多少？‎ 图1‎ 图2‎ 冬天光线 夏天光线 ‎　　　　　　　　　‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵．‎ ‎（I）若，求矩阵M的逆矩阵；‎ ‎（II）若曲线C：在矩阵M的作用下变换成曲线：，‎ 求的值．K*S&5#U.C^OM ‎(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为（为参数），点Q极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．‎ ‎(3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎(Ⅰ)求的最小值；‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，求集合．‎ ‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D C A B D B A B C B 二、填空题：‎ ‎11． 3－i. 12． 0 13．7 14．9 15． ②、④‎ 三、解答题：‎ ‎16．解：（Ⅰ）产品合格率在［50，60）内的频率为：‎ ‎1－（0.035＋0.03＋0.0225＋0.0075）×10＝0.05，　 ………………………2分 所以产品合格率在［50，60）内的人数共有40×0.05＝2人．　……………………4分 ‎（Ⅱ）同（1）可得产品合格率在[ 60，70）内的人数有40×0.0225×10＝9，‎ 所以产品合格率在[50，70）内的人数共有11人. 　　　　　‎ 依题意，X的可能取值是1，2，3.　　　　　　　　　　　　………………………6分 P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝P(A)＝. 　……10分 则X分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………11分　‎ 所以EX＝1×＋2×＋3×＝.　　　　　　　　………………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）解法一：在四棱锥P－ABCD中，取PC的中点F，连结EF、FB，‎ 因为E是PD的中点，所以EFCDAB，　　　………………………………2分 所以四边形AEFB是平行四边形，　　　　　…………………………………………3分 则AE∥FB，‎ 而AE平面PBC，FB平面PBC，　　　…………………………………………5分 ‎∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　……………………………………………6分 解法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设PB＝， 则P（0,0，t），D（－1,2，0），‎ C（1,2，0），A（－1,0，0），所以E（－，1，），，…………２分 设平面PBC的法向量为，则所以即 取，得到平面PBC的法向量为．‎ 所以＝0，而AE平面PBC，则AE∥平面PBC.　 　　……………………6分 ‎（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，‎ 设（t＞0），则P（0,0，t），‎ D（－1,2，0），C（1，2，0），‎ 所以＝（－1,2，－t），＝（1,2，0），‎ 则||＝，||＝，　　…………9分 由已知异面直线BC与PD成60°角，‎ 所以·＝＝，‎ 又·＝－1×1＋2×2＋(－t)×0＝3， ‎ 所以＝3，解得t＝，即PB＝，‎ 所以侧视图的面积为S＝×2×＝.　　　　　　 ……………………13分 ‎18．解：（Ⅰ）∵椭圆方程为：，∴， ………………2分 所以，即椭圆的右焦点为（1 , 0），‎ 因为抛物线的焦点为（，0），所以＝2， ……………………3分 则抛物线的方程为. …………………………4分 ‎（Ⅱ）解法一：设直线l：，则C（－，0）， ‎ 由　得， ………………………………………6分 因为△＝，所以k＜1， ………………………………7分 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， ………………8分 所以由弦长公式得：，，，‎ ‎， ………………10分 通过观察得：＝()·＝()·＝. ………………11分 若＝，则，不满足题目要求. ………………12‎ 分 所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列.　　 ………………………………13分 解法二：同法一得，　　　　　　 …………………………………………8分 而＝＝‎ ‎＝＝＝，‎ 因为C（－，0），所以＝1＋.　　　　　　 …………………………10分 因为M、A、B三点共线，且向量、同向，‎ 所以＝＝，　　　　 ……………………11分 因此＝＝.‎ 所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列.　　 ………………………………13分解法三：设直线l：，则C（－，0），‎ 由　得，　　　　　　…………………………………6分 由△＝16－16k＞0，得到k＜1，‎ 所以，，，　　　……………………………8分 所以＝＝‎ ‎＝＋－（）＋1‎ ‎＝＝，　　　　　　　　　 ………………10分 下同解法二.‎ ‎19．解：（I）依题意，，解得，　　 ……………………1分 由已知可设，‎ 因为，所以，‎ 则，导函数．　　…………………………3分 列表：‎ ‎1‎ ‎（1,3）‎ ‎3‎ ‎（3，＋∞）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值4‎ 递减 极小值0‎ 递增 由上表可知在处取得极大值为，‎ 在处取得极小值为．　　　　 …………………………………5分 ‎（Ⅱ）①当时，由（I）知在上递增，‎ 所以的最大值，　　　　　 ……………………6分 由对任意的恒成立，得，‎ 则，　　　　　　　‎ 因为，所以，则，‎ 因此的取值范围是．　　　　　　　　　　………………………………8分 ‎②当时，因为，所以的最大值，‎ 由对任意的恒成立，得， ∴，‎ 因为，所以，因此的取值范围是，‎ 综上①②可知，的取值范围是．　　　　　　　　……………………10分 ‎（Ⅲ）当时，直线斜率，‎ 因为，所以，则，‎ 即直线斜率的最小值为4．　　　　　　　　…………………………………11分 首先，由，得.‎ 其次，当时，有，所以，　　………………12分 证明如下：‎ 记，则，‎ 所以在递增，又，‎ 则在恒成立，即，所以 .……………13分 ‎19．解：如图所示，设， ，‎ 依题意∠ADC＝，∠BDC＝. …………2分 在△BCD中，∠BCD＝，‎ ‎，‎ 由正弦定理得， ① …………4分 在△ACD中，，‎ AB＝m，，‎ 由正弦定理得　，②　　　…………6分 由①②得　，　　　　 ……………………8分 所以，　　　　 ………………………………11分 ‎.　　 ……………………13分 答：遮阳篷的伸出长度CD为，遮阳篷与窗户上边框的距离BC为. ……………………14分 ‎21． (1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 ‎　解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则又，‎ 所以，所以，‎ ‎，即 故所求的逆矩阵.　　　　　　　　………………………………4分 ‎（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点 ‎，则，即，　　　　……………………5分 又点在曲线上，所以，则，‎ 即为曲线C的方程，‎ 又已知曲线C的方程为，‎ 比较系数可得，解得，∴.　……………………7分 ‎(2)(本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（I）圆直角坐标方程为，‎ 展开得， ……………………………2分 化为极坐标方程为． ………………………4分 ‎（II）点Q的直角坐标为，且点Q在圆内，‎ ‎ 因为，所以P，Q两点距离的最小值为． ……………7分 ‎ (3)(本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 解：(I)所以的最小值为3．……………4分 ‎ (II) 由(I)可知，当时，，即，此时；‎ ‎ 当时，，即，此时．‎ 因此不等式的解集为为或． …………………7分