【数学】2020届一轮复习（文）通用版6-2等差数列及其前n项和作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版6-2等差数列及其前n项和作业

‎§6.2　等差数列及其前n项和 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 等差数列 的定义及 通项公式 ‎①理解等差数列的概念.②掌握等差数列的通项公式.③了解等差数列与一次函数的关系 ‎2016课标全国Ⅱ,17,12分 等差数列基本量计算 数值的计算 ‎★★★‎ 等差数列 的性质 能利用等差数列的性质解决相应问题 ‎2015课标Ⅱ,5,5分 等差数列的性质 下标和定理 ‎★★★‎ 等差数 列的前 n项和 掌握等差数列的前n项和公式 ‎2018课标全国Ⅱ,17,12分 基本量的计算及求前n项和最值 二次函数求最值 ‎★★★‎ ‎2015课标Ⅰ,7,5分 等差数列基本量的计算 ‎—‎ ‎2014课标Ⅱ,5,5分 求等差数列前n项和 等差数列的定义 分析解读　　等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　等差数列的定义及通项公式 ‎1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案　C　‎ ‎2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{an}满足递推关系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且an‎+λ‎2‎n为等差数列,则λ的值是　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎2‎an‎2+‎an.‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an是等差数列;‎ ‎(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)证明:∵an+1=‎2‎an‎2+‎an,∴‎1‎an+1‎=‎2+‎an‎2‎an,‎ ‎∴‎1‎an+1‎-‎1‎an=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴数列‎1‎an是以2为首项,‎1‎‎2‎为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知an=‎2‎n+3‎,∴bn=‎4‎‎(n+3)(n+4)‎=4‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎,‎ ‎∴Sn=4‎‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎‎5‎‎+‎1‎‎5‎‎-‎‎1‎‎6‎+…+‎‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎ ‎=4‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎n+4‎=nn+4‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎　(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{an}满足‎5‎an+1‎=25·‎5‎an,且a2+a4+a6=9,则log‎1‎‎3‎(a5+a7+a9)=(　　)‎ A.-3 B.3 C.-‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ 考点三　等差数列的前n项和 ‎1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8=(　　)‎ A.12 B.4 C.3 D.6‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017河南部分重点中学二联,6)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n=(　　)‎ A.6 B.7 C.10 D.9‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=‎3n‎2n+1‎,则a‎11‎b‎11‎=(　　)‎ A.‎18‎‎13‎ B.‎63‎‎23‎ C.‎33‎‎23‎ D.‎‎63‎‎43‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　等差数列的判定与证明的方法 ‎　(2019届福建三明模拟,17)已知数列{an}中,an=2n-1.‎ ‎(1)证明:数列{an}是等差数列;‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn=25,求n.‎ 解析　(1)证明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,‎ ‎∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.‎ ‎(2)由(1)得数列{an}的前n项和Sn=n+‎(n-1)n‎2‎×2=n2,由Sn=25得n2=25,又n>0,解得n=5.‎ 方法2　等差数列前n项和的最值问题的解决方法 ‎1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正确结论的个数是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列{an}的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立,则实数m=(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,且S6S8,给出下列结论:‎ ‎①数列{an}的公差d<0;②S90 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015北京,16,13分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4-a3=2,所以d=2.‎ 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.‎ 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2=a3=8,b3=a7=16,‎ 所以q=2,b1=4.‎ 所以b6=4×26-1=128.‎ 由128=2n+2得n=63.‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等.‎ ‎4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.‎ ‎(1)求d及Sn;‎ ‎(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.‎ 解析　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,‎ 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.‎ 因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),‎ 所以(2m+k-1)(k+1)=65.‎ 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故‎2m+k-1=13,‎k+1=5,‎ 所以m=5,‎k=4.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(　　)‎ A.5 B.8 C.10 D.14‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. ‎ 答案　5‎ 考点三　等差数列的前n项和 ‎1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ ‎2.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+‎1‎‎2‎(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. ‎ 答案　27‎ C组　教师专用题组 考点一　等差数列的定义及通项公式 ‎1.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.-6 B.-4 C.-2 D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x‎1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　f2 014(x)=‎x‎1+2 014x ‎3.(2015福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=‎2‎an‎-2‎+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得a‎1‎‎+d=4,‎‎(a‎1‎+3d)+(a‎1‎+6d)=15,‎ 解得a‎1‎‎=3,‎d=1.‎ 所以an=a1+(n-1)d=n+2.‎ ‎(2)由(1)可得bn=2n+n.‎ 所以b1+b2+b3+…+b10‎ ‎=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)‎ ‎=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)‎ ‎=‎2(1-‎2‎‎10‎)‎‎1-2‎+‎‎(1+10)×10‎‎2‎ ‎=(211-2)+55=211+53=2 101.‎ ‎4.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎的前n项和.‎ 解析　(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d.‎ 由已知可得‎3a‎1‎+3d=0,‎‎5a‎1‎+10d=-5.‎解得a1=1,d=-1.‎ 故{an}的通项公式为an=2-n.‎ ‎(2)由(1)知‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎=‎1‎‎(3-2n)(1-2n)‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-3‎‎-‎‎1‎‎2n-1‎,‎ 从而数列‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎的前n项和为 ‎1‎‎2‎‎1‎‎-1‎‎-‎1‎‎1‎+‎1‎‎1‎-‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2n-3‎-‎1‎‎2n-1‎=n‎1-2n.‎ ‎5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.‎ ‎(1)求证:a,b,c成等差数列;‎ ‎(2)若C=‎2π‎3‎,求ab的值.‎ 解析　(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,‎ 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,‎ 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.‎ ‎(2)由C=‎2π‎3‎,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=‎3‎‎5‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎　(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:‎ p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;‎ p3:数列ann是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1,p2 B.p3,p4‎ C.p2,p3 D.p1,p4‎ 答案　D　‎ 考点三　等差数列的前n项和 ‎1.(2014天津,5,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(　　)‎ A.2 B.-2 C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014重庆,16,13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 解析　(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a‎1‎+an)‎‎2‎=n(1+2n-1)‎‎2‎=n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,‎ 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn=b‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=‎2‎‎3‎(4n-1).‎ ‎3.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.‎ ‎(1)求d,an;‎ ‎(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ 解析　(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.‎ 所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n≤11时,‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-‎1‎‎2‎n2+‎21‎‎2‎n.‎ 当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=‎1‎‎2‎n2-‎21‎‎2‎n+110.‎ 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|‎ ‎=‎‎-‎1‎‎2‎n‎2‎+‎21‎‎2‎n,　　　　n≤11,‎‎1‎‎2‎n‎2‎‎-‎21‎‎2‎n+110,n≥12.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:60分 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的正整数n,都有SnTn=‎2n-3‎‎4n-1‎,则a‎3‎‎+‎a‎15‎‎2(b‎3‎+b‎9‎)‎+a‎3‎b‎2‎‎+‎b‎10‎=(　　)‎ A.‎19‎‎43‎ B.‎17‎‎40‎ C.‎9‎‎20‎ D.‎‎27‎‎50‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018云南玉溪模拟,9)若{an}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2 013(a2 012+a2 013)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)‎ A.4 027 B.4 026 C.4 025 D.4 024‎ 答案　D　‎ ‎4.(2017广东惠州二调,7)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a‎6‎a‎5‎=‎9‎‎11‎,则S‎11‎S‎9‎=(　　)‎ A.1 B.-1 C.2 D.‎‎1‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列{an}的前n项和Sn=2+λan,且a1=1,则S5=(　　)‎ A.27 B.‎53‎‎27‎ C.‎31‎‎16‎ D.31‎ 答案　C　‎ ‎6.(2019届浙江温州模拟,9)已知{an},{bn}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共项组成新数列{cn},则c10=(　　)‎ A.18 B.24 C.30 D.36‎ 答案　C　‎ ‎7.(2019届河北唐山模拟,6)设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是　　　　. ‎ 答案　195‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{an}的公差不为0,前n项和为Sn(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.‎ ‎(1)求an与Sn;‎ ‎(2)设bn=‎1‎SnSn+1‎,求证:b1+b2+b3+…+bn<1.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),‎ 则由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5①,‎ 又S1,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,‎ 所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,‎ 因为d≠0,所以d=2a1②,‎ 联立①②,解得a1=1,d=2,‎ 所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+2n-1)‎‎2‎=n2.‎ ‎(2)证明:由(1)得bn=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎1‎n+1‎,‎ 所以b1+b2+b3+…+bn=‎1‎‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎ ‎=1-‎1‎n+1‎.‎ 又∵n∈N*,∴1-‎1‎n+1‎<1.∴b1+b2+b3+…+bn<1.‎ ‎10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn为数列{bn}前n项的和,其中bn=|an|,n∈N*,若Tn≥1 464,求n的最小值.‎ 解析　(1)∵等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,‎ ‎∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,‎ ‎∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,‎ 解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,‎ ‎∴a‎1‎‎+2d=-1,‎a‎1‎‎+4d=-7,‎解得a1=5,d=-3.‎ ‎∴an=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.‎ ‎(2)由(1)知{an}的前n项和Sn=5n+n(n-1)‎‎2‎×(-3)=-‎3‎‎2‎n2+‎13‎‎2‎n.‎ ‎∵bn=|an|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,‎ 当n≥3时,bn=|an|=3n-8.‎ 当n<3时,T1=5,T2=7;‎ 当n≥3时,Tn=-Sn+2S2=‎3‎n‎2‎‎2‎-‎13n‎2‎+14.‎ ‎∵Tn≥1 464,∴Tn=‎3‎n‎2‎‎2‎-‎13n‎2‎+14≥1 464,‎ 即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥‎100‎‎3‎,‎ ‎∴n的最小值为34.‎