高中数学必修5：8_备课资料（2_5_1　等比数列前n项和公式的推导与应用）

高中数学必修5：8_备课资料（2_5_1　等比数列前n项和公式的推导与应用）

备课资料 数学神童维纳的年龄 ‎20世纪著名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了.几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士. 在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄.维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业.” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人，都在议论他的年龄问题. 其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”.不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁.这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个. 剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8 000，有3个重复数字0，不合题意.同理，19的四次方等于130 321，21的四次方等于194 481，都不合题意.最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5 832，四次方等于104 976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！ 这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人. 数学王子——高斯 高斯(1777～1855)，高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称. 他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习.第二年他就发现正十七边形的尺规作图法.并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题. 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理.高斯的数论研究，总结在《算术研究》(1801)中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多 得的经典著作之一.高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径.高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理.他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念,发现了著名的柯西积分定理.他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来.1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论.高斯的曲面理论后来由黎曼发展.高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等. 高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1＋2＋3+…＋100＝？”.这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数(等差级数)的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋99，3＋98，…，49＋52，50＋51,而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：101×50＝5 050. ‎1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧.那年的元旦，有一个后来被证为小行星并被命名为谷神星的天体被发现，当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道.高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置.高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法)，在天文学中这一成就立即得到公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求.高斯在小行星“智神星”的测算方面也获得类似的成功. 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术团体的成员.“数学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂.