高中数学必修5教案：2_4等比数例

高中数学必修5教案：2_4等比数例

‎2. 4等比数列教案（一）‎ ‎ 授课类型：新授 教学目标 （一） 知识与技能目标 ‎1.等比数列的定义；‎ ‎2.等比数列的通项公式．‎ （二） 过程与能力目标 ‎1.明确等比数列的定义；‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．‎ 教学重点 ‎1.等比数列概念的理解与掌握；‎ ‎2.等比数列的通项公式的推导及应用．‎ 教学难点 等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．‎ 教学过程 一、情境导入： ‎ 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）‎ ‎1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②‎ ‎1，，…； ③ ④‎ 对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．‎ 对于数列③，= ; =20（n≥2）．‎ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．‎ 二、检查预习 ‎1．等比数列的定义．‎ ‎2.　等比数列的通项公式: ‎ ‎， ， ‎ ‎3．｛an｝成等比数列 ‎4．求下面等比数列的第4项与第5项：‎ ‎（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….‎ 三、合作探究 ‎（1）等比数列中有为0的项吗？ ‎ ‎（2）公比为1的数列是什么数列？‎ ‎（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？‎ ‎（4）常数列都是等比数列吗？‎ 四交流展示 1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）‎ 注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）‎ ‎(2) 隐含：任一项 ‎(3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．‎ ‎2.等比数列的通项公式1: ‎ 观察法：由等比数列的定义，有：；‎ ‎； ；… … … … … … … ‎ ‎．‎ ‎　　迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；‎ ‎　　　　　　所以，即 等比数列的通项公式2: ‎ 五精讲精练 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.‎ 解： ‎ 点评：考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一：教材第52页第1‎ 例2．求下列各等比数列的通项公式：‎ ‎ ‎ 解：(1)‎ ‎ (2)‎ 点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2‎ 例3．教材P50面的例1。‎ 例4． 已知无穷数列，‎ ‎ 求证：（1）这个数列成等比数列；‎ ‎ （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；‎ ‎ （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．‎ 证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．‎ ‎ （2），即：．‎ ‎ （3），∵，∴．‎ ‎ ∴且，‎ ‎∴，（第项）．‎ ‎ 变式训练三：教材第53页第3、4题．‎ 六、课堂小结： ‎ ‎1.等比数列的定义；‎ ‎2.等比数列的通项公式及变形式 七、板书设计 八、课后作业 阅读教材第48～50页；‎ ‎2.4等比数列教案（二）‎ ‎ 授课类型：新授 教学目标 （一） 知识与技能目标 进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；‎ （二） 过程与能力目标 利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质 （三） 方法与价值观 培养学生应用意识．‎ 教学重点，难点 ‎（1）等比数列定义及通项公式的应用；‎ ‎（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．‎ 教学过程 二．问题情境 ‎1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？‎ ‎（2）是否成立？‎ ‎2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？‎ 三．学生活动 对于（1）∵，，∴，成立．‎ 同理 ：成立．‎ 对于（2），，，‎ ‎∴，成立．‎ 一般地：若，则．‎ 四．建构数学 ‎1．若为等比数列，，则．‎ 由等比数列通项公式得：，，‎ 故且，‎ ‎ ∵，∴．‎ ‎2．若为等比数列，则．‎ 由等比数列的通项公式知：，则 ．‎ 五．数学运用 ‎1．例题：‎ 例1．（1）在等比数列中，是否有（）？‎ ‎ （2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，‎ 那么数列一定是等比数列．‎ 解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．‎ ‎（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．‎ 例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。‎ 解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，‎ 则 ．‎ 例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。‎ 解：由题意可以设这三个数分别为，得：‎ ‎∴，即得或，‎ ‎∴或， ‎ 故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．‎ 说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．‎ 例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．‎ 解：设第个图形的边长为，周长为．‎ 由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．‎ ‎∴．‎ 要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．‎ 第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，‎ ‎∴第个图形的边数为．‎ ‎．‎ ‎2．练习：‎ ‎1．已知是等比数列且，，‎ 则 ．‎ ‎2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则 ‎ ．‎ ‎3．已知在等比数列中，，，则 ．‎ 五．回顾小结：‎ ‎1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．‎ 六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．‎ 七板书设计 课内探究学案 ‎（一 ）学习目标 ‎1.明确等比数列的定义；‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．‎ 教学重点 ‎1.等比数列概念的理解与掌握；‎ ‎2.等比数列的通项公式的推导及应用．‎ 教学难点 等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．‎ ‎（二）学习过程 ‎1、自主学习、合作探究 ‎1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。‎ ‎2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。‎ ‎3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。‎ ‎4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。‎ ‎5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。‎ ‎2、精讲点拨 三、典型例题 例1 数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前 项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。‎ 解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：‎ 得即 得或（舍去），。‎ 由知，数列的前项中最大，得。‎ 将代入（1）得 （3），‎ 由得，即 （4），‎ 联立（3）（4）解方程组得。‎ 例2 （1）已知为等比数列，，，求的通项公式。‎ ‎（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。‎ 解：（1）设等比数列的公比为（），，则，‎ 即也即，解此关于的一元方程得或。‎ ‎，或。‎ ‎（2）在等比数列中，有，又，联立解得 或，‎ 由此知，而，从而解得 或。‎ 例3 已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。‎ 解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。‎ 例4 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。‎ 解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上 ‎，，，又、，，数列不是等比数列。‎ ‎3、反思总结 ‎4当堂检测 ‎1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )‎ ‎　　　　　 　‎ ‎　　　　　 ‎ ‎2.已知是等比数列，，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）‎ ‎ 无法确定 ‎4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.设数列满足（，，），且 ‎，则__________。‎ ‎6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。‎ ‎7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。‎ ‎8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。‎ ‎9.设数列为等比数列，，已知，。‎ ‎（1）求等比数列的首项和公比；‎ ‎（2）求数列的通项公式。‎ ‎10.设数列的前项和为，已知 ‎（1）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（2）求的通项公式。‎ ‎11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。‎ ‎（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。‎ ‎2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。‎ ‎3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。‎ ‎4. ，，而，‎ ‎，即，解得，而，故公比的取值范围为。‎ ‎5. ‎ 解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。‎ ‎6.‎ 解析：的两根分别为和，，从而、，‎ ‎。。‎ ‎7.‎ 解析：，，‎ ‎。‎ ‎8.‎ 解析：设该等比数列为、、、， ，‎ ‎，从而、、，‎ ‎。‎ ‎9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。‎ ‎（2），则 ①‎ ‎①得 ②‎ ‎②①得：‎ ‎。‎ ‎10.解：（1）证明：由题意知，且，‎ 两式相减得，即 ①‎ 当时，由①知，于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（2）当时，由（1）知，即；‎ ‎ 当时，由①得 ‎11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即 ‎，矛盾。‎ 所以不是等比数列.‎ ‎（2）解： ‎ ‎。又，所以 当时，，这时不是等比数列；‎ 当时，由上可知，。‎ 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。‎ ‎，故知，可得 ‎，‎ 要使对任意正整数成立，即 ‎，‎ 得 ①‎ 令，则 当为正奇数时，；当为正偶数时，。‎ 所以的最大值为，最小值为。‎ 于是，由①式得。‎ 当时，由知，不存在实数满足题目要求；‎ 当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。‎ 等比数列学案 一、课前预习 ‎（一）预习目标 ‎1.理解等比数列的定义；‎ ‎2.了解等比数列的通项公式 ‎（二）自我探究 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）‎ ‎1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②‎ ‎1，，…； ③ ④‎ 对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．‎ 对于数列③，= ; =20（n≥2）．‎ 共同特点： ‎ ‎ (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）‎ ‎(2) 隐含：任一项 ‎(3) q=1时，{an}为常数数列． ‎ ‎（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．‎ ‎（四）提出疑惑 ‎（五）预习内容 ‎1、等比数列的定义 ‎ ‎2、等比数列的通项公式 ‎ ‎1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。‎ ‎2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。‎ ‎3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：‎ ‎①；②（，此结论对于有意义时适用）。‎ ‎4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。‎ ‎5. 如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。‎ ‎6.等比数列的前项和公式 设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和 ‎。‎ ‎7.等比数列的主要性质：‎ ‎（1）在等比数列中，若，则；‎ ‎（2）在等比数列中，若，则；‎ ‎（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；‎ ‎（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；‎ ‎（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；‎ ‎（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；‎ ‎（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；‎ ‎（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；‎ 四、课堂同步训练 ‎1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )‎ ‎　　　　　 　‎ ‎　　　　　 ‎ ‎2.已知是等比数列，，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）‎ ‎ 无法确定 ‎4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.设数列满足（，，），且 ‎，则__________。‎ ‎6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。‎ ‎7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。‎ ‎8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。‎ ‎9.设数列为等比数列，，已知，。‎ ‎（1）求等比数列的首项和公比；‎ ‎（2）求数列的通项公式。‎ ‎10.设数列的前项和为，已知 ‎（1）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（2）求的通项公式。‎ ‎11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。‎ ‎（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。‎ ‎【同步训练参考答案】‎ ‎1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。‎ ‎2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。‎ ‎3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。‎ ‎4. ，，而，‎ ‎，即，解得，而，故公比的取值范围为。‎ ‎5. ‎ 解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。‎ ‎6.‎ 解析：的两根分别为和，，从而、，。。‎ ‎7.‎ 解析：，，‎ ‎。‎ ‎8.‎ 解析：设该等比数列为、、、， ，‎ ‎，从而、、，‎ ‎。‎ ‎9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。‎ ‎（2），则 ①‎ ‎①得 ②‎ ‎②①得：‎ ‎。‎ ‎10.解：（1）证明：由题意知，且，‎ 两式相减得，即 ①‎ 当时，由①知，于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（2）当时，由（1）知，即；‎ ‎ 当时，由①得 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。‎ ‎，故知，可得 ‎，‎ 要使对任意正整数成立，即 ‎，‎ 得 ①‎ 令，则 当为正奇数时，；当为正偶数时，。‎ 所以的最大值为，最小值为。‎ 于是，由①式得。‎ 当时，由知，不存在实数满足题目要求；‎ 当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。 ‎